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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 4 + 3 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 5 = 15
    2. 4 + 15 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●40
    Rechne: (5 + 7) · 3
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 5 + 7 = 12
    2. 12 · 3 = 36
    Ergebnis:
    36

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 12 + 4 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 4 = 16
    2. 12 + 16 = 28
    Ergebnis:
    28
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 40 und erhalte 58. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    18

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 49 + 42 + 11
494211
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 49 + 11 + 42
  2. 49 + 11 = 60
  3. 60 + 42 = 102
  1. Vertauschen: 49 + 11 + 42
  2. 49 + 11 = 60
  3. 60 + 42 = 102
Ergebnis:
102

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 17 + 66 + 3
    17663
    So fängst du an:
    Vertauschen: 17 + 3 + 66
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 17 + 3 + 66
    2. 17 + 3 = 20
    3. 20 + 66 = 86
    Ergebnis:
    86
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 39 + 47 + 61 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    394761
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 39 + 61 + 47
    2. 39 + 61 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 47 = 147
    Ergebnis:
    147
  3. ★3
    Rechne geschickt: 162 + 674 + 38
    16267438
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 162 + 38 + 674
    2. 162 + 38 = 200
    3. 200 + 674 = 874
    Ergebnis:
    874

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 197 + 67 = 200 + ___
19767
Schritt für Schritt
  1. 197 wird zu 200: 3 mehr.
  2. Also muss 67 um 3 kleiner werden: 67 − 3 = 64
  3. 200 + 64 = 264
  1. 197 wird zu 200: 3 mehr.
  2. Also muss 67 um 3 kleiner werden: 67 − 3 = 64
  3. 200 + 64 = 264
Ergebnis:
64

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 99 + 76
    9976
    So fängst du an:
    99 bekommt 1 dazu, 76 gibt 1 ab.
    Lösung zeigen
    1. 99 bekommt 1 dazu, 76 gibt 1 ab.
    2. 99 + 76 = 100 + 75
    3. 100 + 75 = 175
    Ergebnis:
    175
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 47 + 74 = 50 + ___
    4774
    Lösung zeigen
    1. 47 wird zu 50: 3 mehr.
    2. Also muss 74 um 3 kleiner werden: 74 − 3 = 71
    3. 50 + 71 = 121
    Ergebnis:
    71
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 698 + 985
    698985
    Lösung zeigen
    1. 698 bekommt 2 dazu, 985 gibt 2 ab.
    2. 698 + 985 = 700 + 983
    3. 700 + 983 = 1683
    Ergebnis:
    1683

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 33
Schritt für Schritt
  1. 33 = 30 + 3
  2. 5 · 30 = 150 und 5 · 3 = 15
  3. 150 + 15 = 165
  1. 33 = 30 + 3
  2. 5 · 30 = 150 und 5 · 3 = 15
  3. 150 + 15 = 165
Ergebnis:
165

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 3 Hefte mit je 38 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    3 · 38
    Lösung zeigen
    1. 3 · 38
    2. 38 = 30 + 8
    3. 3 · 30 = 90 und 3 · 8 = 24
    4. 90 + 24 = 114
    Ergebnis:
    114 Hefte
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 57
    Lösung zeigen
    1. 57 = 50 + 7
    2. 3 · 50 = 150 und 3 · 7 = 21
    3. 150 + 21 = 171
    Ergebnis:
    171
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 85
    Lösung zeigen
    1. 85 = 80 + 5
    2. 9 · 80 = 720 und 9 · 5 = 45
    3. 720 + 45 = 765
    Ergebnis:
    765

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 201 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 201 : 3?
201: 3
Schritt für Schritt
  1. 201 = 180 + 21
  2. 180 : 3 = 60 und 21 : 3 = 7
  3. 60 + 7 = 67
  1. 201 = 180 + 21
  2. 180 : 3 = 60 und 21 : 3 = 7
  3. 60 + 7 = 67
Ergebnis:
67

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 288 : 9
    So fängst du an:
    288 = 270 + 18
    Lösung zeigen
    1. 288 = 270 + 18
    2. 270 : 9 = 30 und 18 : 9 = 2
    3. 30 + 2 = 32
    Ergebnis:
    32
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 85 : 5
    Lösung zeigen
    1. 85 = 50 + 35
    2. 50 : 5 = 10 und 35 : 5 = 7
    3. 10 + 7 = 17
    Ergebnis:
    17
  3. ★12
    Zerlege 265 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 265 : 5?
    265: 5
    Lösung zeigen
    1. 265 = 250 + 15
    2. 250 : 5 = 50 und 15 : 5 = 3
    3. 50 + 3 = 53
    Ergebnis:
    53

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 40 − 23 = ___ − 25
Schritt für Schritt
  1. 23 wird zu 25: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 40 um 2 größer.
  3. 40 + 2 = 42
  1. 23 wird zu 25: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 40 um 2 größer.
  3. 40 + 2 = 42
Ergebnis:
42

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 6 · 8 = 3 · ___
    6 · 8=3 · ?
    So fängst du an:
    6 wird halb so groß: 3.
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
    3. 8 · 2 = 16
    Ergebnis:
    16
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 16 · 7 = 8 · ___
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 7 doppelt so groß.
    3. 7 · 2 = 14
    Ergebnis:
    14
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 6 · 43 + 6 · 2 = 6 · ___
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 6.
    2. 6 mal 43 und 6 mal 2 sind zusammen 6 mal (43 + 2).
    3. 43 + 2 = 45
    Ergebnis:
    45

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
Schritt für Schritt
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Aylin verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  2. ●17
    Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  3. ★18
    Warum ist 32 · 25 dasselbe wie 16 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 32 · 25 = 16 · 50
    3. 16 · 50 = 800
    Ergebnis:
    800

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 8 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 200

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 18 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 12 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    12 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 12 · 25 = 6 · 50
    3. 6 · 50 = 300
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 46 + 41 + 54? Nenne ihn. Rechne danach.
    46 + 41 + 54zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 46 + 54 = 100
    3. 100 + 41 = 141
    Ergebnis:
    vertauschen, 141

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Lina rechnet 693 − 539 und erhält 154. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 154 + 539 = 693
  2. 693 ist genau 693: Es stimmt.
  3. 693 − 539 = 154
  1. Umkehraufgabe: 154 + 539 = 693
  2. 693 ist genau 693: Es stimmt.
  3. 693 − 539 = 154
Ergebnis:
stimmt, 154

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas rechnet 396 : 4 und erhält 98. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    396 : 4Ergebnis 98?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 98 · 4 = 392
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 98 · 4 = 392
    2. 392 ist nicht 396: Es ist falsch.
    3. 396 : 4 = 99
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 99
  2. ●23
    Mia rechnet 339 − 123 und erhält 236. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 236 + 123 = 359
    2. 359 ist nicht 339: Es ist falsch.
    3. 339 − 123 = 216
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 216
  3. ★24
    Jonas rechnet 8568 − 3407 und erhält 5181. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 5181 + 3407 = 8588
    2. 8588 ist nicht 8568: Es ist falsch.
    3. 8568 − 3407 = 5161
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 5161

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 86 + 49 + 14
    864914
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 86 + 14 + 49
    2. 86 + 14 = 100
    3. 100 + 49 = 149
    Ergebnis:
    149
  2. ●26
    In einem Lager stehen 50 Regale mit je 2 Kartons. In jedem Karton sind 17 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    50 Regale2 Kartons17 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 50 · 2 · 17
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 17 = 1700
    Ergebnis:
    1700 Bälle
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 97 + 68
    9768
    Lösung zeigen
    1. 97 bekommt 3 dazu, 68 gibt 3 ab.
    2. 97 + 68 = 100 + 65
    3. 100 + 65 = 165
    Ergebnis:
    165
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 178 − 17 = ___ − 20
    Lösung zeigen
    1. 17 wird zu 20: 3 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 178 um 3 größer: 181.
    3. 181 − 20 = 161
    Ergebnis:
    181
  5. ●29
    Es gibt 3 Hefte mit je 57 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 57
    2. 57 = 50 + 7
    3. 3 · 50 = 150 und 3 · 7 = 21
    4. 150 + 21 = 171
    Ergebnis:
    171 Hefte
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 7 · 12?
    1027
    Lösung zeigen
    1. Links: 7 · 10 = 70
    2. Rechts: 7 · 2 = 14
    3. 7 · 12 = 70 + 14 = 84
    Ergebnis:
    7 · 10 und 7 · 2, zusammen 84

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 12 + 76 + 38 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    127638
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    126

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Paul rechnet 298 + 68 als 300 + 68. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    29868
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    366

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 8 Hefte mit je 23 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    184 Hefte

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 64 : 4
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 14 + 52 = 4 + ___
    14 + 52=4 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    62

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    80

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Elias rechnet 713 − 264 und erhält 449. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 449

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 86
  2. 147
  3. 874
  4. 175
  5. 71
  6. 1683
  7. 114 Hefte
  8. 171
  9. 765
  10. 32
  11. 17
  12. 53
  13. 16
  14. 14
  15. 45
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  17. 80
  18. 800
  19. halbieren und verdoppeln, 90
  20. halbieren und verdoppeln, 300
  21. vertauschen, 141
  22. falsch, richtig ist 99
  23. falsch, richtig ist 216
  24. falsch, richtig ist 5161
  25. 149
  26. 1700 Bälle
  27. 165
  28. 181
  29. 171 Hefte
  30. 7 · 10 und 7 · 2, zusammen 84
  31. 126
  32. 366
  33. 184 Hefte
  34. 16
  35. 62
  36. 80
  37. halbieren und verdoppeln, 200
  38. stimmt, 449
  39. 19
  40. 36
  41. 28
  42. 18