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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 65 − 3 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 9 = 27
    2. 65 − 27 = 38
    Ergebnis:
    38
  2. ●40
    Rechne: (8 + 9) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 9 = 17
    2. 17 · 7 = 119
    Ergebnis:
    119

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 5 + 7 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 7 · 2 = 14
    2. 5 + 14 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 36 und erhalte 78. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    42

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Sofia rechnet 62 + 14 + 38 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
621438
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 62 + 38 + 14
  2. 62 + 38 = 100
  3. 100 + 14 = 114
  1. Vertauschen: 62 + 38 + 14
  2. 62 + 38 = 100
  3. 100 + 14 = 114
Ergebnis:
114

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Noah rechnet 17 + 51 + 13 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    175113
    So fängst du an:
    Vertauschen: 17 + 13 + 51
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 17 + 13 + 51
    2. 17 + 13 = 30
    3. 30 + 51 = 81
    Ergebnis:
    81
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 8 + 39 + 42 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    83942
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 8 + 42 + 39
    2. 8 + 42 = 50
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 39 = 89
    Ergebnis:
    89
  3. ★3
    Rechne geschickt: 107 + 125 + 93
    10712593
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 107 + 93 + 125
    2. 107 + 93 = 200
    3. 200 + 125 = 325
    Ergebnis:
    325

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 69 + 56
6956
Schritt für Schritt
  1. 69 bekommt 1 dazu, 56 gibt 1 ab.
  2. 69 + 56 = 70 + 55
  3. 70 + 55 = 125
  1. 69 bekommt 1 dazu, 56 gibt 1 ab.
  2. 69 + 56 = 70 + 55
  3. 70 + 55 = 125
Ergebnis:
125

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 39 + 47
    3947
    So fängst du an:
    39 bekommt 1 dazu, 47 gibt 1 ab.
    Lösung zeigen
    1. 39 bekommt 1 dazu, 47 gibt 1 ab.
    2. 39 + 47 = 40 + 46
    3. 40 + 46 = 86
    Ergebnis:
    86
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 38
    29838
    Lösung zeigen
    1. 298 bekommt 2 dazu, 38 gibt 2 ab.
    2. 298 + 38 = 300 + 36
    3. 300 + 36 = 336
    Ergebnis:
    336
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 696 + 678
    696678
    Lösung zeigen
    1. 696 bekommt 4 dazu, 678 gibt 4 ab.
    2. 696 + 678 = 700 + 674
    3. 700 + 674 = 1374
    Ergebnis:
    1374

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 8 Reihen mit je 17 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 8 · 17
  2. 17 = 10 + 7
  3. 8 · 10 = 80 und 8 · 7 = 56
  4. 80 + 56 = 136
  1. 8 · 17
  2. 17 = 10 + 7
  3. 8 · 10 = 80 und 8 · 7 = 56
  4. 80 + 56 = 136
Ergebnis:
136 Stühle

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 29
    So fängst du an:
    29 = 20 + 9
    Lösung zeigen
    1. 29 = 20 + 9
    2. 6 · 20 = 120 und 6 · 9 = 54
    3. 120 + 54 = 174
    Ergebnis:
    174
  2. ●8
    Es gibt 9 Hefte mit je 56 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 56
    2. 56 = 50 + 6
    3. 9 · 50 = 450 und 9 · 6 = 54
    4. 450 + 54 = 504
    Ergebnis:
    504 Hefte
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 8 · 116
    Lösung zeigen
    1. 116 = 100 + 10 + 6
    2. 8 · 100 = 800; 8 · 10 = 80; 8 · 6 = 48
    3. 800 + 80 + 48 = 928
    Ergebnis:
    928

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 175 : 5
Schritt für Schritt
  1. 175 = 150 + 25
  2. 150 : 5 = 30 und 25 : 5 = 5
  3. 30 + 5 = 35
  1. 175 = 150 + 25
  2. 150 : 5 = 30 und 25 : 5 = 5
  3. 30 + 5 = 35
Ergebnis:
35

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 189 : 3
    So fängst du an:
    189 = 180 + 9
    Lösung zeigen
    1. 189 = 180 + 9
    2. 180 : 3 = 60 und 9 : 3 = 3
    3. 60 + 3 = 63
    Ergebnis:
    63
  2. ●11
    Zerlege 427 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 427 : 7?
    427: 7
    Lösung zeigen
    1. 427 = 420 + 7
    2. 420 : 7 = 60 und 7 : 7 = 1
    3. 60 + 1 = 61
    Ergebnis:
    61
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 592 : 8
    Lösung zeigen
    1. 592 = 560 + 32
    2. 560 : 8 = 70 und 32 : 8 = 4
    3. 70 + 4 = 74
    Ergebnis:
    74

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 34 + 89 = 24 + ___
Schritt für Schritt
  1. 34 wird zu 24: 10 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 89 um 10 größer.
  3. 89 + 10 = 99
  1. 34 wird zu 24: 10 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 89 um 10 größer.
  3. 89 + 10 = 99
Ergebnis:
99

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 51 − 27 = ___ − 28
    So fängst du an:
    27 wird zu 28: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 27 wird zu 28: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 51 um 1 größer.
    3. 51 + 1 = 52
    Ergebnis:
    52
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 14 · 11 = 7 · ___
    14 · 11=7 · ?
    Lösung zeigen
    1. 14 wird halb so groß: 7.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 11 doppelt so groß.
    3. 11 · 2 = 22
    Ergebnis:
    22
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 7 · 27 + 7 · 9 = 7 · ___
    7 · 27 + 7 · 9=7 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 7.
    2. 7 mal 27 und 7 mal 9 sind zusammen 7 mal (27 + 9).
    3. 27 + 9 = 36
    Ergebnis:
    36

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
Schritt für Schritt
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Sofia verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  2. ●17
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  3. ★18
    Elias verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 14 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
14 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 70

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 384 + 399? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    2. 384 + 399 = 383 + 400
    3. 383 + 400 = 783
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 783
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 14 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 23 + 62 + 77? Nenne ihn. Rechne danach.
    23 + 62 + 77zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 23 + 77 = 100
    3. 100 + 62 = 162
    Ergebnis:
    vertauschen, 162

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Tom rechnet 432 : 9 und erhält 48. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
432 : 9Ergebnis 48?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 48 · 9 = 432
  2. 432 ist genau 432: Es stimmt.
  3. 432 : 9 = 48
  1. Umkehraufgabe: 48 · 9 = 432
  2. 432 ist genau 432: Es stimmt.
  3. 432 : 9 = 48
Ergebnis:
stimmt, 48

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Sofia rechnet 666 : 9 und erhält 84. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    666 : 9Ergebnis 84?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 84 · 9 = 756
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 84 · 9 = 756
    2. 756 ist nicht 666: Es ist falsch.
    3. 666 : 9 = 74
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 74
  2. ●23
    Jonas rechnet 395 : 5 und erhält 79. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    395 : 5Ergebnis 79?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 79 · 5 = 395
    2. 395 ist genau 395: Es stimmt.
    3. 395 : 5 = 79
    Ergebnis:
    stimmt, 79
  3. ★24
    Hanna erhält für 216 · 28 das Ergebnis 6048. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 200 · 30 = 6000
    2. 6048 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 216 · 28 = 6048
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 6048

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 12 + 62 + 28 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    126228
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    1. Vertauschen: 12 + 28 + 62
    2. 12 + 28 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 62 = 102
    Ergebnis:
    102
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 4 · 2 · 5 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    425
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    1. Vertauschen: 5 · 2 · 4
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 4 = 40
    Ergebnis:
    40
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 99 + 79 = 100 + ___
    9979
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    1. 99 wird zu 100: 1 mehr.
    2. Also muss 79 um 1 kleiner werden: 79 − 1 = 78
    3. 100 + 78 = 178
    Ergebnis:
    78
  4. ●28
    Hanna rechnet 97 − 18 als 97 − 20 und erhält 77. Ist das schon das Ergebnis?
    97 − 1897 − 20
    Lösung zeigen
    1. Hanna hat 2 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 77 + 2 = 79
    Ergebnis:
    Nein, 79
  5. ●29
    Es gibt 7 Reihen mit je 46 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 46
    2. 46 = 40 + 6
    3. 7 · 40 = 280 und 7 · 6 = 42
    4. 280 + 42 = 322
    Ergebnis:
    322 Stühle
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 6 · 17?
    1076
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    1. Links: 6 · 10 = 60
    2. Rechts: 6 · 7 = 42
    3. 6 · 17 = 60 + 42 = 102
    Ergebnis:
    6 · 10 und 6 · 7, zusammen 102

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 29 + 26 + 71
    292671
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    Ergebnis:
    126

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 93
    29893
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    Ergebnis:
    391

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 59
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    Ergebnis:
    413

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 207 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 207 : 3?
    207: 3
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    Ergebnis:
    69

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 18 · 7 = 9 · ___
    18 · 7=9 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Sofia verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 16 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    16 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
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    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Aylin rechnet 671 − 427 und erhält 264. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 244

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 81
  2. 89
  3. 325
  4. 86
  5. 336
  6. 1374
  7. 174
  8. 504 Hefte
  9. 928
  10. 63
  11. 61
  12. 74
  13. 52
  14. 22
  15. 36
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  17. 70
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  19. gegensinnig verändern, 783
  20. halbieren und verdoppeln, 70
  21. vertauschen, 162
  22. falsch, richtig ist 74
  23. stimmt, 79
  24. stimmt, 6048
  25. 102
  26. 40
  27. 78
  28. Nein, 79
  29. 322 Stühle
  30. 6 · 10 und 6 · 7, zusammen 102
  31. 126
  32. 391
  33. 413
  34. 69
  35. 14
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  37. halbieren und verdoppeln, 400
  38. falsch, richtig ist 244
  39. 38
  40. 119
  41. 19
  42. 42