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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 8 + 2 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 8 = 16
    2. 8 + 16 = 24
    Ergebnis:
    24
  2. ●40
    Rechne: (8 + 4) · 2
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 4 = 12
    2. 12 · 2 = 24
    Ergebnis:
    24

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 8 + 9 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 6 = 54
    2. 8 + 54 = 62
    Ergebnis:
    62
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 21 und erhalte 26. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 5 + 33 + 25 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
53325
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 5 + 25 + 33
  2. 5 + 25 = 30
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 33 = 63
  1. Vertauschen: 5 + 25 + 33
  2. 5 + 25 = 30
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 33 = 63
Ergebnis:
63

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 11 + 83 + 9
    11839
    So fängst du an:
    Vertauschen: 11 + 9 + 83
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 11 + 9 + 83
    2. 11 + 9 = 20
    3. 20 + 83 = 103
    Ergebnis:
    103
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 12 + 79 + 8 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    12798
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 12 + 8 + 79
    2. 12 + 8 = 20
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 79 = 99
    Ergebnis:
    99
  3. ★3
    Rechne geschickt: 54 + 158 + 246
    54158246
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 54 + 246 + 158
    2. 54 + 246 = 300
    3. 300 + 158 = 458
    Ergebnis:
    458

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 67 + 25
6725
Schritt für Schritt
  1. 67 bekommt 3 dazu, 25 gibt 3 ab.
  2. 67 + 25 = 70 + 22
  3. 70 + 22 = 92
  1. 67 bekommt 3 dazu, 25 gibt 3 ab.
  2. 67 + 25 = 70 + 22
  3. 70 + 22 = 92
Ergebnis:
92

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 199 + 73 = 200 + ___
    19973
    So fängst du an:
    199 wird zu 200: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 199 wird zu 200: 1 mehr.
    2. Also muss 73 um 1 kleiner werden: 73 − 1 = 72
    3. 200 + 72 = 272
    Ergebnis:
    72
  2. ●5
    Emma rechnet 68 + 55 als 70 + 55. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
    6855
    Lösung zeigen
    1. Emma hat 68 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 70 + 55 = 125.
    3. 2 wieder abziehen: 125 − 2 = 123
    Ergebnis:
    123
  3. ★6
    Lina rechnet 996 + 529 als 1000 + 529. Was muss Lina danach noch tun? Was kommt heraus?
    996529
    Lösung zeigen
    1. Lina hat 996 um 4 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 4 zu groß: 1000 + 529 = 1529.
    3. 4 wieder abziehen: 1529 − 4 = 1525
    Ergebnis:
    1525

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 9 Hefte mit je 51 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 9 · 51
  2. 51 = 50 + 1
  3. 9 · 50 = 450 und 9 · 1 = 9
  4. 450 + 9 = 459
  1. 9 · 51
  2. 51 = 50 + 1
  3. 9 · 50 = 450 und 9 · 1 = 9
  4. 450 + 9 = 459
Ergebnis:
459 Hefte

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 19
    So fängst du an:
    19 = 20 − 1
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 7 · 20 = 140 und 7 · 1 = 7
    3. 140 − 7 = 133
    Ergebnis:
    133
  2. ●8
    Es gibt 3 Reihen mit je 68 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 68
    2. 68 = 60 + 8
    3. 3 · 60 = 180 und 3 · 8 = 24
    4. 180 + 24 = 204
    Ergebnis:
    204 Stühle
  3. ★9
    Es gibt 8 Tüten mit je 44 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 44
    2. 44 = 40 + 4
    3. 8 · 40 = 320 und 8 · 4 = 32
    4. 320 + 32 = 352
    Ergebnis:
    352 Bonbons

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

78 Bücher werden gleichmäßig auf 6 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 78 : 6
  2. 78 = 60 + 18
  3. 60 : 6 = 10 und 18 : 6 = 3
  4. 10 + 3 = 13
  1. 78 : 6
  2. 78 = 60 + 18
  3. 60 : 6 = 10 und 18 : 6 = 3
  4. 10 + 3 = 13
Ergebnis:
13 Bücher

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 306 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 306 : 9?
    306: 9
    So fängst du an:
    306 = 270 + 36
    Lösung zeigen
    1. 306 = 270 + 36
    2. 270 : 9 = 30 und 36 : 9 = 4
    3. 30 + 4 = 34
    Ergebnis:
    34
  2. ●11
    Zerlege 190 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 190 : 5?
    190: 5
    Lösung zeigen
    1. 190 = 150 + 40
    2. 150 : 5 = 30 und 40 : 5 = 8
    3. 30 + 8 = 38
    Ergebnis:
    38
  3. ★12
    Zerlege 266 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 266 : 7?
    266: 7
    Lösung zeigen
    1. 266 = 210 + 56
    2. 210 : 7 = 30 und 56 : 7 = 8
    3. 30 + 8 = 38
    Ergebnis:
    38

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 61 − 25 = ___ − 35
Schritt für Schritt
  1. 25 wird zu 35: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 61 um 10 größer.
  3. 61 + 10 = 71
  1. 25 wird zu 35: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 61 um 10 größer.
  3. 61 + 10 = 71
Ergebnis:
71

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 94 − 27 = ___ − 28
    So fängst du an:
    27 wird zu 28: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 27 wird zu 28: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 94 um 1 größer.
    3. 94 + 1 = 95
    Ergebnis:
    95
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 44 − 21 = ___ − 31
    Lösung zeigen
    1. 21 wird zu 31: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 44 um 10 größer.
    3. 44 + 10 = 54
    Ergebnis:
    54
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 6 · 33 + 6 · 5 = 6 · ___
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 6.
    2. 6 mal 33 und 6 mal 5 sind zusammen 6 mal (33 + 5).
    3. 33 + 5 = 38
    Ergebnis:
    38

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Paul verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
    Lösung zeigen
    1. 14 · 5 = 7 · 10
    2. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 35
    Lösung zeigen
    1. 14 · 35 = 7 · 70
    2. 7 · 70 = 490
    Ergebnis:
    490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 84? Nenne ihn. Rechne danach.
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 84 = 80 + 4.
  2. 8 · 80 = 640 und 8 · 4 = 32
  3. Zusammen: 672
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 84 = 80 + 4.
  2. 8 · 80 = 640 und 8 · 4 = 32
  3. Zusammen: 672
Ergebnis:
zerlegen, 672

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 175 + 598? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    2. 175 + 598 = 173 + 600
    3. 173 + 600 = 773
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 773
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 9 · 27? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 27 = 20 + 7.
    2. 9 · 20 = 180 und 9 · 7 = 63
    3. Zusammen: 243
    Ergebnis:
    zerlegen, 243
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 24 + 37 + 76? Nenne ihn. Rechne danach.
    24 + 37 + 76zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 24 + 76 = 100
    3. 100 + 37 = 137
    Ergebnis:
    vertauschen, 137

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Zeynep rechnet 466 − 288 und erhält 168. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 168 + 288 = 456
  2. 456 ist nicht 466: Es ist falsch.
  3. 466 − 288 = 178
  1. Umkehraufgabe: 168 + 288 = 456
  2. 456 ist nicht 466: Es ist falsch.
  3. 466 − 288 = 178
Ergebnis:
falsch, richtig ist 178

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Aylin erhält für 23 · 36 das Ergebnis 1028. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 20 · 40 = 800
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 20 · 40 = 800
    2. 1028 liegt zu weit weg. Genau: 23 · 36 = 828
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 828
  2. ●23
    Aylin rechnet 681 − 527 und erhält 254. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 254 + 527 = 781
    2. 781 ist nicht 681: Es ist falsch.
    3. 681 − 527 = 154
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 154
  3. ★24
    Milan erhält für 260 · 17 das Ergebnis 4420. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 300 · 20 = 6000
    2. 4420 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 260 · 17 = 4420
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 4420

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 9 + 32 + 11 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    93211
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 9 + 11 + 32
    2. 9 + 11 = 20
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 32 = 52
    Ergebnis:
    52
  2. ●26
    Rechne geschickt: 14 · 2 · 5
    1425
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 · 2 · 14
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 14 = 140
    Ergebnis:
    140
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 69 + 45
    6945
    Lösung zeigen
    1. 69 bekommt 1 dazu, 45 gibt 1 ab.
    2. 69 + 45 = 70 + 44
    3. 70 + 44 = 114
    Ergebnis:
    114
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 156 − 17
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 3 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 156 − 17 = 159 − 20
    3. 159 − 20 = 139
    Ergebnis:
    139
  5. ●29
    Es gibt 6 Reihen mit je 17 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 6 · 17
    2. 17 = 10 + 7
    3. 6 · 10 = 60 und 6 · 7 = 42
    4. 60 + 42 = 102
    Ergebnis:
    102 Stühle
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 7 · 21?
    2017
    Lösung zeigen
    1. Links: 7 · 20 = 140
    2. Rechts: 7 · 1 = 7
    3. 7 · 21 = 140 + 7 = 147
    Ergebnis:
    7 · 20 und 7 · 1, zusammen 147

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 35 + 51 + 5 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    35515
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    91

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 97 + 95 = 100 + ___
    9795
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    92

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 61
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    366

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    96 Bücher werden gleichmäßig auf 8 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 37 + 25 = 40 + ___
    37 + 25=40 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    22

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    210

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 294 + 299? Nenne ihn. Rechne danach.
    294 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 593

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Noah rechnet 928 − 352 und erhält 576. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 576

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 103
  2. 99
  3. 458
  4. 72
  5. 123
  6. 1525
  7. 133
  8. 204 Stühle
  9. 352 Bonbons
  10. 34
  11. 38
  12. 38
  13. 95
  14. 54
  15. 38
  16. 70
  17. 70
  18. 490
  19. gegensinnig verändern, 773
  20. zerlegen, 243
  21. vertauschen, 137
  22. falsch, richtig ist 828
  23. falsch, richtig ist 154
  24. stimmt, 4420
  25. 52
  26. 140
  27. 114
  28. 139
  29. 102 Stühle
  30. 7 · 20 und 7 · 1, zusammen 147
  31. 91
  32. 92
  33. 366
  34. 12 Bücher
  35. 22
  36. 210
  37. gegensinnig verändern, 593
  38. stimmt, 576
  39. 24
  40. 24
  41. 62
  42. 5