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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 3 + 3 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 6 = 18
    2. 3 + 18 = 21
    Ergebnis:
    21
  2. ●40
    Rechne: (5 + 8) · 8
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 5 + 8 = 13
    2. 13 · 8 = 104
    Ergebnis:
    104

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 7 + 3 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 2 = 6
    2. 7 + 6 = 13
    Ergebnis:
    13
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 13 und erhalte 69. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    56

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Aylin rechnet 85 + 77 + 15 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
857715
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 85 + 15 + 77
  2. 85 + 15 = 100
  3. 100 + 77 = 177
  1. Vertauschen: 85 + 15 + 77
  2. 85 + 15 = 100
  3. 100 + 77 = 177
Ergebnis:
177

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 13 + 83 + 87
    138387
    So fängst du an:
    Vertauschen: 13 + 87 + 83
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 13 + 87 + 83
    2. 13 + 87 = 100
    3. 100 + 83 = 183
    Ergebnis:
    183
  2. ●2
    Rechne geschickt: 13 + 78 + 17
    137817
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 13 + 17 + 78
    2. 13 + 17 = 30
    3. 30 + 78 = 108
    Ergebnis:
    108
  3. ★3
    Rechne geschickt: 285 + 374 + 26 + 715 + 74
    2853742671574
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 285 + 715 + 26 + 74 + 374
    2. 285 + 715 = 1000 und 26 + 74 = 100
    3. 1000 + 100 + 374 = 1474
    Ergebnis:
    1474

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 299 + 49
29949
Schritt für Schritt
  1. 299 bekommt 1 dazu, 49 gibt 1 ab.
  2. 299 + 49 = 300 + 48
  3. 300 + 48 = 348
  1. 299 bekommt 1 dazu, 49 gibt 1 ab.
  2. 299 + 49 = 300 + 48
  3. 300 + 48 = 348
Ergebnis:
348

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 98 + 73
    9873
    So fängst du an:
    98 bekommt 2 dazu, 73 gibt 2 ab.
    Lösung zeigen
    1. 98 bekommt 2 dazu, 73 gibt 2 ab.
    2. 98 + 73 = 100 + 71
    3. 100 + 71 = 171
    Ergebnis:
    171
  2. ●5
    Lina rechnet 37 + 48 als 40 + 48. Was muss Lina danach noch tun? Was kommt heraus?
    3748
    Lösung zeigen
    1. Lina hat 37 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 40 + 48 = 88.
    3. 3 wieder abziehen: 88 − 3 = 85
    Ergebnis:
    85
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 698 + 606
    698606
    Lösung zeigen
    1. 698 bekommt 2 dazu, 606 gibt 2 ab.
    2. 698 + 606 = 700 + 604
    3. 700 + 604 = 1304
    Ergebnis:
    1304

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 6 Reihen mit je 48 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 6 · 48
  2. 48 = 40 + 8
  3. 6 · 40 = 240 und 6 · 8 = 48
  4. 240 + 48 = 288
  1. 6 · 48
  2. 48 = 40 + 8
  3. 6 · 40 = 240 und 6 · 8 = 48
  4. 240 + 48 = 288
Ergebnis:
288 Stühle

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 42
    So fängst du an:
    42 = 40 + 2
    Lösung zeigen
    1. 42 = 40 + 2
    2. 5 · 40 = 200 und 5 · 2 = 10
    3. 200 + 10 = 210
    Ergebnis:
    210
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 65
    Lösung zeigen
    1. 65 = 60 + 5
    2. 8 · 60 = 480 und 8 · 5 = 40
    3. 480 + 40 = 520
    Ergebnis:
    520
  3. ★9
    Es gibt 3 Hefte mit je 44 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 44
    2. 44 = 40 + 4
    3. 3 · 40 = 120 und 3 · 4 = 12
    4. 120 + 12 = 132
    Ergebnis:
    132 Hefte

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 75 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 75 : 3?
75: 3
Schritt für Schritt
  1. 75 = 60 + 15
  2. 60 : 3 = 20 und 15 : 3 = 5
  3. 20 + 5 = 25
  1. 75 = 60 + 15
  2. 60 : 3 = 20 und 15 : 3 = 5
  3. 20 + 5 = 25
Ergebnis:
25

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 315 : 5
    So fängst du an:
    315 = 300 + 15
    Lösung zeigen
    1. 315 = 300 + 15
    2. 300 : 5 = 60 und 15 : 5 = 3
    3. 60 + 3 = 63
    Ergebnis:
    63
  2. ●11
    Zerlege 378 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 378 : 7?
    378: 7
    Lösung zeigen
    1. 378 = 350 + 28
    2. 350 : 7 = 50 und 28 : 7 = 4
    3. 50 + 4 = 54
    Ergebnis:
    54
  3. ★12
    434 Sticker werden gleichmäßig auf 7 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 434 : 7
    2. 434 = 420 + 14
    3. 420 : 7 = 60 und 14 : 7 = 2
    4. 60 + 2 = 62
    Ergebnis:
    62 Sticker

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 26 + 67 = 28 + ___
26 + 67=28 + ?
Schritt für Schritt
  1. 26 wird zu 28: 2 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 67 um 2 kleiner.
  3. 67 − 2 = 65
  1. 26 wird zu 28: 2 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 67 um 2 kleiner.
  3. 67 − 2 = 65
Ergebnis:
65

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 40 + 44 = 37 + ___
    40 + 44=37 + ?
    So fängst du an:
    40 wird zu 37: 3 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 40 wird zu 37: 3 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 44 um 3 größer.
    3. 44 + 3 = 47
    Ergebnis:
    47
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 40 + 59 = 39 + ___
    40 + 59=39 + ?
    Lösung zeigen
    1. 40 wird zu 39: 1 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 59 um 1 größer.
    3. 59 + 1 = 60
    Ergebnis:
    60
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 55 − 22 = ___ − 27
    Lösung zeigen
    1. 22 wird zu 27: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 55 um 5 größer.
    3. 55 + 5 = 60
    Ergebnis:
    60

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
Schritt für Schritt
  1. 14 · 5 = 7 · 10
  2. 7 · 10 = 70
  1. 14 · 5 = 7 · 10
  2. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Lina verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  2. ●17
    Tom verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 36 · 5
    Lösung zeigen
    1. 36 · 5 = 18 · 10
    2. 18 · 10 = 180
    Ergebnis:
    180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 149 + 399? Nenne ihn. Rechne danach.
149 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
  2. 149 + 399 = 148 + 400
  3. 148 + 400 = 548
  1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
  2. 149 + 399 = 148 + 400
  3. 148 + 400 = 548
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 548

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 39 + 61 + 61? Nenne ihn. Rechne danach.
    39 + 61 + 61zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 39 + 61 = 100
    3. 100 + 61 = 161
    Ergebnis:
    vertauschen, 161
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 274 + 497? Nenne ihn. Rechne danach.
    274 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 274 + 497 = 271 + 500
    3. 271 + 500 = 771
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 771
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 366 + 399? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    2. 366 + 399 = 365 + 400
    3. 365 + 400 = 765
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 765

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Hanna rechnet 447 − 213 und erhält 234. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 234 + 213 = 447
  2. 447 ist genau 447: Es stimmt.
  3. 447 − 213 = 234
  1. Umkehraufgabe: 234 + 213 = 447
  2. 447 ist genau 447: Es stimmt.
  3. 447 − 213 = 234
Ergebnis:
stimmt, 234

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Emma rechnet 904 − 185 und erhält 719. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 719 + 185 = 904
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 719 + 185 = 904
    2. 904 ist genau 904: Es stimmt.
    3. 904 − 185 = 719
    Ergebnis:
    stimmt, 719
  2. ●23
    Jonas rechnet 300 : 6 und erhält 50. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    300 : 6Ergebnis 50?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 50 · 6 = 300
    2. 300 ist genau 300: Es stimmt.
    3. 300 : 6 = 50
    Ergebnis:
    stimmt, 50
  3. ★24
    Ben erhält für 282 · 26 das Ergebnis 7332. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 300 · 30 = 9000
    2. 7332 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 282 · 26 = 7332
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 7332

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Sofia rechnet 66 + 51 + 34 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    665134
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 66 + 34 + 51
    2. 66 + 34 = 100
    3. 100 + 51 = 151
    Ergebnis:
    151
  2. ●26
    Rechne geschickt: 25 · 16 · 4
    25164
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 16
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 16 = 1600
    Ergebnis:
    1600
  3. ●27
    Paul rechnet 67 + 89 als 70 + 89. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    6789
    Lösung zeigen
    1. Paul hat 67 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 70 + 89 = 159.
    3. 3 wieder abziehen: 159 − 3 = 156
    Ergebnis:
    156
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 77 − 39
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 1 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 77 − 39 = 78 − 40
    3. 78 − 40 = 38
    Ergebnis:
    38
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 15
    Lösung zeigen
    1. 15 = 10 + 5
    2. 6 · 10 = 60 und 6 · 5 = 30
    3. 60 + 30 = 90
    Ergebnis:
    90
  6. ●30
    Tom rechnet 5 · 25 so: erst 5 · 20, dann 5 dazu. Tom erhält 105. Zeige am Bild, was fehlt.
    2055
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 5 Reihen mit je 5 Kästchen, nicht nur 5.
    2. Rechter Teil: 5 · 5 = 25
    3. 100 + 25 = 125
    Ergebnis:
    125

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Tom rechnet 18 + 28 + 42 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    182842
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    88

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Zeynep rechnet 68 + 29 als 70 + 29. Was muss Zeynep danach noch tun? Was kommt heraus?
    6829
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    97

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 29
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    116

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 180 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 180 : 4?
    180: 4
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    45

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 81 − 25 = ___ − 35
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    91

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Sofia verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 134 + 198? Nenne ihn. Rechne danach.
    134 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 332

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Elias erhält für 85 · 12 das Ergebnis 820. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1020

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 183
  2. 108
  3. 1474
  4. 171
  5. 85
  6. 1304
  7. 210
  8. 520
  9. 132 Hefte
  10. 63
  11. 54
  12. 62 Sticker
  13. 47
  14. 60
  15. 60
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  18. 180
  19. vertauschen, 161
  20. gegensinnig verändern, 771
  21. gegensinnig verändern, 765
  22. stimmt, 719
  23. stimmt, 50
  24. stimmt, 7332
  25. 151
  26. 1600
  27. 156
  28. 38
  29. 90
  30. 125
  31. 88
  32. 97
  33. 116
  34. 45
  35. 91
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  37. gegensinnig verändern, 332
  38. falsch, richtig ist 1020
  39. 21
  40. 104
  41. 13
  42. 56