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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 39 − 3 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 6 = 18
    2. 39 − 18 = 21
    Ergebnis:
    21
  2. ●40
    Rechne: (8 + 3) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 3 = 11
    2. 11 · 7 = 77
    Ergebnis:
    77

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 5 + 2 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 7 = 14
    2. 5 + 14 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 26 und erhalte 69. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    43

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Lea rechnet 8 + 83 + 52 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
88352
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 8 + 52 + 83
  2. 8 + 52 = 60
  3. 60 + 83 = 143
  1. Vertauschen: 8 + 52 + 83
  2. 8 + 52 = 60
  3. 60 + 83 = 143
Ergebnis:
143

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Sofia rechnet 58 + 76 + 42 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    587642
    So fängst du an:
    Vertauschen: 58 + 42 + 76
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 58 + 42 + 76
    2. 58 + 42 = 100
    3. 100 + 76 = 176
    Ergebnis:
    176
  2. ●2
    Noah rechnet 16 + 28 + 34 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    162834
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 16 + 34 + 28
    2. 16 + 34 = 50
    3. 50 + 28 = 78
    Ergebnis:
    78
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 37 + 548 + 75 + 263 + 25 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    375487526325
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 37 + 263 + 75 + 25 + 548
    2. 37 + 263 = 300 und 75 + 25 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 300 + 100 + 548 = 948
    Ergebnis:
    948

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 197 + 87
19787
Schritt für Schritt
  1. 197 bekommt 3 dazu, 87 gibt 3 ab.
  2. 197 + 87 = 200 + 84
  3. 200 + 84 = 284
  1. 197 bekommt 3 dazu, 87 gibt 3 ab.
  2. 197 + 87 = 200 + 84
  3. 200 + 84 = 284
Ergebnis:
284

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 99 + 73 = 100 + ___
    9973
    So fängst du an:
    99 wird zu 100: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 99 wird zu 100: 1 mehr.
    2. Also muss 73 um 1 kleiner werden: 73 − 1 = 72
    3. 100 + 72 = 172
    Ergebnis:
    72
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 199 + 72
    19972
    Lösung zeigen
    1. 199 bekommt 1 dazu, 72 gibt 1 ab.
    2. 199 + 72 = 200 + 71
    3. 200 + 71 = 271
    Ergebnis:
    271
  3. ★6
    Aylin rechnet 999 + 422 als 1000 + 422. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
    999422
    Lösung zeigen
    1. Aylin hat 999 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 1000 + 422 = 1422.
    3. 1 wieder abziehen: 1422 − 1 = 1421
    Ergebnis:
    1421

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 59
Schritt für Schritt
  1. 59 = 60 − 1
  2. 3 · 60 = 180 und 3 · 1 = 3
  3. 180 − 3 = 177
  1. 59 = 60 − 1
  2. 3 · 60 = 180 und 3 · 1 = 3
  3. 180 − 3 = 177
Ergebnis:
177

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 6 Tüten mit je 63 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    6 · 63
    Lösung zeigen
    1. 6 · 63
    2. 63 = 60 + 3
    3. 6 · 60 = 360 und 6 · 3 = 18
    4. 360 + 18 = 378
    Ergebnis:
    378 Bonbons
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 22
    Lösung zeigen
    1. 22 = 20 + 2
    2. 5 · 20 = 100 und 5 · 2 = 10
    3. 100 + 10 = 110
    Ergebnis:
    110
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 4 · 60 = 240 und 4 · 1 = 4
    3. 240 − 4 = 236
    Ergebnis:
    236

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

315 Murmeln werden gleichmäßig auf 9 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 315 : 9
  2. 315 = 270 + 45
  3. 270 : 9 = 30 und 45 : 9 = 5
  4. 30 + 5 = 35
  1. 315 : 9
  2. 315 = 270 + 45
  3. 270 : 9 = 30 und 45 : 9 = 5
  4. 30 + 5 = 35
Ergebnis:
35 Murmeln

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 260 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 260 : 4?
    260: 4
    So fängst du an:
    260 = 240 + 20
    Lösung zeigen
    1. 260 = 240 + 20
    2. 240 : 4 = 60 und 20 : 4 = 5
    3. 60 + 5 = 65
    Ergebnis:
    65
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 432 : 9
    Lösung zeigen
    1. 432 = 360 + 72
    2. 360 : 9 = 40 und 72 : 9 = 8
    3. 40 + 8 = 48
    Ergebnis:
    48
  3. ★12
    Zerlege 1001 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 1001 : 7?
    1001: 7
    Lösung zeigen
    1. 1001 = 980 + 21
    2. 980 : 7 = 140 und 21 : 7 = 3
    3. 140 + 3 = 143
    Ergebnis:
    143

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 42 + 78 = 32 + ___
Schritt für Schritt
  1. 42 wird zu 32: 10 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 78 um 10 größer.
  3. 78 + 10 = 88
  1. 42 wird zu 32: 10 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 78 um 10 größer.
  3. 78 + 10 = 88
Ergebnis:
88

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 21 + 48 = 18 + ___
    21 + 48=18 + ?
    So fängst du an:
    21 wird zu 18: 3 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 21 wird zu 18: 3 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 48 um 3 größer.
    3. 48 + 3 = 51
    Ergebnis:
    51
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 49 − 41 = ___ − 43
    Lösung zeigen
    1. 41 wird zu 43: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 49 um 2 größer.
    3. 49 + 2 = 51
    Ergebnis:
    51
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 8 · 10 = 4 · ___
    8 · 10=4 · ?
    Lösung zeigen
    1. 8 wird halb so groß: 4.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
    3. 10 · 2 = 20
    Ergebnis:
    20

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 15 = 7 · 30
  3. 7 · 30 = 210
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 15 = 7 · 30
  3. 7 · 30 = 210
Ergebnis:
210

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Hanna verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  2. ●17
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ★18
    Hanna verdoppelt bei 24 · 125 beide Faktoren und rechnet 48 · 250. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 48 · 250 = 12.000, aber 24 · 125 = 3000
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 3000

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 14 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
14 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 70

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 18 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    18 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 16 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 5 · 54? Nenne ihn. Rechne danach.
    5 · 54zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 54 = 50 + 4.
    2. 5 · 50 = 250 und 5 · 4 = 20
    3. Zusammen: 270
    Ergebnis:
    zerlegen, 270

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Sofia erhält für 86 · 22 das Ergebnis 2092. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 90 · 20 = 1800
  2. 2092 liegt zu weit weg. Genau: 86 · 22 = 1892
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 90 · 20 = 1800
  2. 2092 liegt zu weit weg. Genau: 86 · 22 = 1892
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 1892

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Lea rechnet 564 : 6 und erhält 93. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    564 : 6Ergebnis 93?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 93 · 6 = 558
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 93 · 6 = 558
    2. 558 ist nicht 564: Es ist falsch.
    3. 564 : 6 = 94
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 94
  2. ●23
    Ben erhält für 87 · 33 das Ergebnis 3071. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 90 · 30 = 2700
    2. 3071 liegt zu weit weg. Genau: 87 · 33 = 2871
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2871
  3. ★24
    Ben erhält für 394 · 25 das Ergebnis 9650. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 400 · 30 = 12.000
    2. 9650 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 394 · 25 = 9850
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 9850

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 44 + 81 + 16
    448116
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 44 + 16 + 81
    2. 44 + 16 = 60
    3. 60 + 81 = 141
    Ergebnis:
    141
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 16 · 2 · 5 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    1625
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 · 2 · 16
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 16 = 160
    Ergebnis:
    160
  3. ●27
    Emma rechnet 67 + 67 als 70 + 67. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
    6767
    Lösung zeigen
    1. Emma hat 67 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 70 + 67 = 137.
    3. 3 wieder abziehen: 137 − 3 = 134
    Ergebnis:
    134
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 146 − 98
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 2 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 146 − 98 = 148 − 100
    3. 148 − 100 = 48
    Ergebnis:
    48
  5. ●29
    Es gibt 3 Reihen mit je 66 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 66
    2. 66 = 60 + 6
    3. 3 · 60 = 180 und 3 · 6 = 18
    4. 180 + 18 = 198
    Ergebnis:
    198 Stühle
  6. ●30
    Lea rechnet 5 · 17 so: erst 5 · 10, dann 7 dazu. Lea erhält 57. Zeige am Bild, was fehlt.
    1075
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 5 Reihen mit je 7 Kästchen, nicht nur 7.
    2. Rechter Teil: 5 · 7 = 35
    3. 50 + 35 = 85
    Ergebnis:
    85

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 26 + 37 + 34 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    263734
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    97

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 38 + 28
    3828
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    66

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 39
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    234

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 195 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 195 : 3?
    195: 3
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    65

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 4 · 11 = 2 · ___
    4 · 11=2 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    22

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    210

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 12 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Sofia erhält für 47 · 12 das Ergebnis 564. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 564

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 176
  2. 78
  3. 948
  4. 72
  5. 271
  6. 1421
  7. 378 Bonbons
  8. 110
  9. 236
  10. 65
  11. 48
  12. 143
  13. 51
  14. 51
  15. 20
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  17. 400
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 3000
  19. halbieren und verdoppeln, 90
  20. halbieren und verdoppeln, 80
  21. zerlegen, 270
  22. falsch, richtig ist 94
  23. falsch, richtig ist 2871
  24. falsch, richtig ist 9850
  25. 141
  26. 160
  27. 134
  28. 48
  29. 198 Stühle
  30. 85
  31. 97
  32. 66
  33. 234
  34. 65
  35. 22
  36. 210
  37. halbieren und verdoppeln, 300
  38. stimmt, 564
  39. 21
  40. 77
  41. 19
  42. 43