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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 39 − 3 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 6 = 18
    2. 39 − 18 = 21
    Ergebnis:
    21
  2. ●40
    Rechne: (8 + 3) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 3 = 11
    2. 11 · 7 = 77
    Ergebnis:
    77

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 5 + 2 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 7 = 14
    2. 5 + 14 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 26 und erhalte 69. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    43

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Can rechnet 49 + 57 + 51 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
495751
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 49 + 51 + 57
  2. 49 + 51 = 100
  3. 100 + 57 = 157
  1. Vertauschen: 49 + 51 + 57
  2. 49 + 51 = 100
  3. 100 + 57 = 157
Ergebnis:
157

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 9 + 37 + 51 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    93751
    So fängst du an:
    Vertauschen: 9 + 51 + 37
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 9 + 51 + 37
    2. 9 + 51 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 37 = 97
    Ergebnis:
    97
  2. ●2
    Aylin rechnet 41 + 16 + 9 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    41169
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 41 + 9 + 16
    2. 41 + 9 = 50
    3. 50 + 16 = 66
    Ergebnis:
    66
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 166 + 675 + 34 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    16667534
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 166 + 34 + 675
    2. 166 + 34 = 200
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 200 + 675 = 875
    Ergebnis:
    875

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 33
29833
Schritt für Schritt
  1. 298 bekommt 2 dazu, 33 gibt 2 ab.
  2. 298 + 33 = 300 + 31
  3. 300 + 31 = 331
  1. 298 bekommt 2 dazu, 33 gibt 2 ab.
  2. 298 + 33 = 300 + 31
  3. 300 + 31 = 331
Ergebnis:
331

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Sofia rechnet 68 + 83 als 70 + 83. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
    6883
    So fängst du an:
    Sofia hat 68 um 2 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Sofia hat 68 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 70 + 83 = 153.
    3. 2 wieder abziehen: 153 − 2 = 151
    Ergebnis:
    151
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 37 + 79
    3779
    Lösung zeigen
    1. 37 bekommt 3 dazu, 79 gibt 3 ab.
    2. 37 + 79 = 40 + 76
    3. 40 + 76 = 116
    Ergebnis:
    116
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 1998 + 143
    1998143
    Lösung zeigen
    1. 1998 bekommt 2 dazu, 143 gibt 2 ab.
    2. 1998 + 143 = 2000 + 141
    3. 2000 + 141 = 2141
    Ergebnis:
    2141

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 19
Schritt für Schritt
  1. 19 = 10 + 9
  2. 3 · 10 = 30 und 3 · 9 = 27
  3. 30 + 27 = 57
  1. 19 = 10 + 9
  2. 3 · 10 = 30 und 3 · 9 = 27
  3. 30 + 27 = 57
Ergebnis:
57

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 6 Reihen mit je 13 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    6 · 13
    Lösung zeigen
    1. 6 · 13
    2. 13 = 10 + 3
    3. 6 · 10 = 60 und 6 · 3 = 18
    4. 60 + 18 = 78
    Ergebnis:
    78 Stühle
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 29
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 9 · 30 = 270 und 9 · 1 = 9
    3. 270 − 9 = 261
    Ergebnis:
    261
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 9 · 213
    Lösung zeigen
    1. 213 = 200 + 10 + 3
    2. 9 · 200 = 1800; 9 · 10 = 90; 9 · 3 = 27
    3. 1800 + 90 + 27 = 1917
    Ergebnis:
    1917

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 315 : 9
Schritt für Schritt
  1. 315 = 270 + 45
  2. 270 : 9 = 30 und 45 : 9 = 5
  3. 30 + 5 = 35
  1. 315 = 270 + 45
  2. 270 : 9 = 30 und 45 : 9 = 5
  3. 30 + 5 = 35
Ergebnis:
35

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 145 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 145 : 5?
    145: 5
    So fängst du an:
    145 = 100 + 45
    Lösung zeigen
    1. 145 = 100 + 45
    2. 100 : 5 = 20 und 45 : 5 = 9
    3. 20 + 9 = 29
    Ergebnis:
    29
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 287 : 7
    Lösung zeigen
    1. 287 = 280 + 7
    2. 280 : 7 = 40 und 7 : 7 = 1
    3. 40 + 1 = 41
    Ergebnis:
    41
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 594 : 3
    Lösung zeigen
    1. 594 = 570 + 24
    2. 570 : 3 = 190 und 24 : 3 = 8
    3. 190 + 8 = 198
    Ergebnis:
    198

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 12 · 14 = 6 · ___
12 · 14=6 · ?
Schritt für Schritt
  1. 12 wird halb so groß: 6.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
  3. 14 · 2 = 28
  1. 12 wird halb so groß: 6.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
  3. 14 · 2 = 28
Ergebnis:
28

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 4 · 12 = 2 · ___
    4 · 12=2 · ?
    So fängst du an:
    4 wird halb so groß: 2.
    Lösung zeigen
    1. 4 wird halb so groß: 2.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
    3. 12 · 2 = 24
    Ergebnis:
    24
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 12 · 13 = 6 · ___
    12 · 13=6 · ?
    Lösung zeigen
    1. 12 wird halb so groß: 6.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
    3. 13 · 2 = 26
    Ergebnis:
    26
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 84 + 83 = 82 + ___
    84 + 83=82 + ?
    Lösung zeigen
    1. 84 wird zu 82: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 83 um 2 größer.
    3. 83 + 2 = 85
    Ergebnis:
    85

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Lina verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 210

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    Lösung zeigen
    1. 16 · 5 = 8 · 10
    2. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  3. ★18
    Mia verdoppelt bei 32 · 25 beide Faktoren und rechnet 64 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 64 · 50 = 3200, aber 32 · 25 = 800
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 800

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 12 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
12 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 12 · 25 = 6 · 50
  3. 6 · 50 = 300
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 12 · 25 = 6 · 50
  3. 6 · 50 = 300
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 300

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 20 + 66 + 80? Nenne ihn. Rechne danach.
    20 + 66 + 80zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 20 + 80 = 100
    3. 100 + 66 = 166
    Ergebnis:
    vertauschen, 166
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 12 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 12 · 25 = 6 · 50
    3. 6 · 50 = 300
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Zeynep rechnet 444 − 339 und erhält 105. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 105 + 339 = 444
  2. 444 ist genau 444: Es stimmt.
  3. 444 − 339 = 105
  1. Umkehraufgabe: 105 + 339 = 444
  2. 444 ist genau 444: Es stimmt.
  3. 444 − 339 = 105
Ergebnis:
stimmt, 105

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Lea rechnet 474 : 6 und erhält 81. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    474 : 6Ergebnis 81?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 81 · 6 = 486
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 81 · 6 = 486
    2. 486 ist nicht 474: Es ist falsch.
    3. 474 : 6 = 79
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 79
  2. ●23
    Noah rechnet 240 : 4 und erhält 70. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    240 : 4Ergebnis 70?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 70 · 4 = 280
    2. 280 ist nicht 240: Es ist falsch.
    3. 240 : 4 = 60
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 60
  3. ★24
    Ben rechnet 956 : 4 und erhält 238. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    956 : 4Ergebnis 238?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 238 · 4 = 952
    2. 952 ist nicht 956: Es ist falsch.
    3. 956 : 4 = 239
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 239

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Ben rechnet 85 + 24 + 15 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    852415
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 85 + 15 + 24
    2. 85 + 15 = 100
    3. 100 + 24 = 124
    Ergebnis:
    124
  2. ●26
    Rechne geschickt: 12 · 4 · 25
    12425
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 12
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 12 = 1200
    Ergebnis:
    1200
  3. ●27
    Emma rechnet 299 + 73 als 300 + 73. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
    29973
    Lösung zeigen
    1. Emma hat 299 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 300 + 73 = 373.
    3. 1 wieder abziehen: 373 − 1 = 372
    Ergebnis:
    372
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 127 − 17
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 3 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 127 − 17 = 130 − 20
    3. 130 − 20 = 110
    Ergebnis:
    110
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 3 · 20 = 60 und 3 · 1 = 3
    3. 60 − 3 = 57
    Ergebnis:
    57
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 3 · 28?
    2083
    Lösung zeigen
    1. Links: 3 · 20 = 60
    2. Rechts: 3 · 8 = 24
    3. 3 · 28 = 60 + 24 = 84
    Ergebnis:
    3 · 20 und 3 · 8, zusammen 84

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 19 + 78 + 41 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    197841
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    138

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ben rechnet 37 + 59 als 40 + 59. Was muss Ben danach noch tun? Was kommt heraus?
    3759
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    96

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 46
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    322

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    189 Sticker werden gleichmäßig auf 3 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    63 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 14 · 6 = 7 · ___
    14 · 6=7 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Mia verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 70

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Elias rechnet 192 : 8 und erhält 24. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    192 : 8Ergebnis 24?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 24

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 97
  2. 66
  3. 875
  4. 151
  5. 116
  6. 2141
  7. 78 Stühle
  8. 261
  9. 1917
  10. 29
  11. 41
  12. 198
  13. 24
  14. 26
  15. 85
  16. 200
  17. 80
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 800
  19. vertauschen, 166
  20. halbieren und verdoppeln, 300
  21. halbieren und verdoppeln, 400
  22. falsch, richtig ist 79
  23. falsch, richtig ist 60
  24. falsch, richtig ist 239
  25. 124
  26. 1200
  27. 372
  28. 110
  29. 57
  30. 3 · 20 und 3 · 8, zusammen 84
  31. 138
  32. 96
  33. 322
  34. 63 Sticker
  35. 12
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  37. halbieren und verdoppeln, 400
  38. stimmt, 24
  39. 21
  40. 77
  41. 19
  42. 43