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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 7 + 5 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 2 = 10
    2. 7 + 10 = 17
    Ergebnis:
    17
  2. ●40
    Rechne: (3 + 8) · 5
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 3 + 8 = 11
    2. 11 · 5 = 55
    Ergebnis:
    55

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 3 + 7 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 7 · 8 = 56
    2. 3 + 56 = 59
    Ergebnis:
    59
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 9 und erhalte 15. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Elias rechnet 25 + 22 + 15 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
252215
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 25 + 15 + 22
  2. 25 + 15 = 40
  3. 40 + 22 = 62
  1. Vertauschen: 25 + 15 + 22
  2. 25 + 15 = 40
  3. 40 + 22 = 62
Ergebnis:
62

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 78 + 65 + 22
    786522
    So fängst du an:
    Vertauschen: 78 + 22 + 65
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 78 + 22 + 65
    2. 78 + 22 = 100
    3. 100 + 65 = 165
    Ergebnis:
    165
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 38 + 47 + 22 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    384722
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 38 + 22 + 47
    2. 38 + 22 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 47 = 107
    Ergebnis:
    107
  3. ★3
    Aylin rechnet 36 + 619 + 64 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    3661964
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 36 + 64 + 619
    2. 36 + 64 = 100
    3. 100 + 619 = 719
    Ergebnis:
    719

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Mia rechnet 38 + 25 als 40 + 25. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
3825
Schritt für Schritt
  1. Mia hat 38 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 40 + 25 = 65.
  3. 2 wieder abziehen: 65 − 2 = 63
  1. Mia hat 38 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 40 + 25 = 65.
  3. 2 wieder abziehen: 65 − 2 = 63
Ergebnis:
63

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Paul rechnet 298 + 94 als 300 + 94. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    29894
    So fängst du an:
    Paul hat 298 um 2 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Paul hat 298 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 300 + 94 = 394.
    3. 2 wieder abziehen: 394 − 2 = 392
    Ergebnis:
    392
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 38 + 63
    3863
    Lösung zeigen
    1. 38 bekommt 2 dazu, 63 gibt 2 ab.
    2. 38 + 63 = 40 + 61
    3. 40 + 61 = 101
    Ergebnis:
    101
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 398 + 597
    398597
    Lösung zeigen
    1. 398 bekommt 2 dazu, 597 gibt 2 ab.
    2. 398 + 597 = 400 + 595
    3. 400 + 595 = 995
    Ergebnis:
    995

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 7 Tüten mit je 21 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 7 · 21
  2. 21 = 20 + 1
  3. 7 · 20 = 140 und 7 · 1 = 7
  4. 140 + 7 = 147
  1. 7 · 21
  2. 21 = 20 + 1
  3. 7 · 20 = 140 und 7 · 1 = 7
  4. 140 + 7 = 147
Ergebnis:
147 Bonbons

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 3 Hefte mit je 26 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    3 · 26
    Lösung zeigen
    1. 3 · 26
    2. 26 = 20 + 6
    3. 3 · 20 = 60 und 3 · 6 = 18
    4. 60 + 18 = 78
    Ergebnis:
    78 Hefte
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 8 · 40 = 320 und 8 · 1 = 8
    3. 320 − 8 = 312
    Ergebnis:
    312
  3. ★9
    Es gibt 8 Hefte mit je 86 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 86
    2. 86 = 80 + 6
    3. 8 · 80 = 640 und 8 · 6 = 48
    4. 640 + 48 = 688
    Ergebnis:
    688 Hefte

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

345 Sticker werden gleichmäßig auf 5 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 345 : 5
  2. 345 = 300 + 45
  3. 300 : 5 = 60 und 45 : 5 = 9
  4. 60 + 9 = 69
  1. 345 : 5
  2. 345 = 300 + 45
  3. 300 : 5 = 60 und 45 : 5 = 9
  4. 60 + 9 = 69
Ergebnis:
69 Sticker

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 378 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 378 : 6?
    378: 6
    So fängst du an:
    378 = 360 + 18
    Lösung zeigen
    1. 378 = 360 + 18
    2. 360 : 6 = 60 und 18 : 6 = 3
    3. 60 + 3 = 63
    Ergebnis:
    63
  2. ●11
    Zerlege 234 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 234 : 9?
    234: 9
    Lösung zeigen
    1. 234 = 180 + 54
    2. 180 : 9 = 20 und 54 : 9 = 6
    3. 20 + 6 = 26
    Ergebnis:
    26
  3. ★12
    Zerlege 924 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 924 : 6?
    924: 6
    Lösung zeigen
    1. 924 = 900 + 24
    2. 900 : 6 = 150 und 24 : 6 = 4
    3. 150 + 4 = 154
    Ergebnis:
    154

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 85 − 40 = ___ − 42
Schritt für Schritt
  1. 40 wird zu 42: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 85 um 2 größer.
  3. 85 + 2 = 87
  1. 40 wird zu 42: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 85 um 2 größer.
  3. 85 + 2 = 87
Ergebnis:
87

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 96 − 45 = ___ − 50
    So fängst du an:
    45 wird zu 50: 5 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 45 wird zu 50: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 96 um 5 größer.
    3. 96 + 5 = 101
    Ergebnis:
    101
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 18 · 14 = 9 · ___
    18 · 14=9 · ?
    Lösung zeigen
    1. 18 wird halb so groß: 9.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
    3. 14 · 2 = 28
    Ergebnis:
    28
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 9 · 25 + 9 · 5 = 9 · ___
    9 · 25 + 9 · 5=9 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 9.
    2. 9 mal 25 und 9 mal 5 sind zusammen 9 mal (25 + 5).
    3. 25 + 5 = 30
    Ergebnis:
    30

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Aylin verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    So fängst du an:
    8 · 25 = 4 · 50
    Lösung zeigen
    1. 8 · 25 = 4 · 50
    2. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  2. ●17
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 15 = 6 · 30
    3. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 45
    Lösung zeigen
    1. 18 · 45 = 9 · 90
    2. 9 · 90 = 810
    Ergebnis:
    810

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 24 + 44 + 76? Nenne ihn. Rechne danach.
24 + 44 + 76zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 24 + 76 = 100
  3. 100 + 44 = 144
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 24 + 76 = 100
  3. 100 + 44 = 144
Ergebnis:
vertauschen, 144

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 311 + 497? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 311 + 497 = 308 + 500
    3. 308 + 500 = 808
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 808
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 5 · 83? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 83 = 80 + 3.
    2. 5 · 80 = 400 und 5 · 3 = 15
    3. Zusammen: 415
    Ergebnis:
    zerlegen, 415
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 360 + 299? Nenne ihn. Rechne danach.
    360 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    2. 360 + 299 = 359 + 300
    3. 359 + 300 = 659
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 659

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Noah rechnet 473 − 139 und erhält 334. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 334 + 139 = 473
  2. 473 ist genau 473: Es stimmt.
  3. 473 − 139 = 334
  1. Umkehraufgabe: 334 + 139 = 473
  2. 473 ist genau 473: Es stimmt.
  3. 473 − 139 = 334
Ergebnis:
stimmt, 334

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Mia erhält für 86 · 31 das Ergebnis 2666. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 90 · 30 = 2700
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 90 · 30 = 2700
    2. 2666 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 86 · 31 = 2666
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 2666
  2. ●23
    Lina erhält für 51 · 25 das Ergebnis 1375. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 50 · 30 = 1500
    2. 1375 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 51 · 25 = 1275
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1275
  3. ★24
    Can rechnet 4368 : 7 und erhält 626. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    4368 : 7Ergebnis 626?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 626 · 7 = 4382
    2. 4382 ist nicht 4368: Es ist falsch.
    3. 4368 : 7 = 624
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 624

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 42 + 76 + 8 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    42768
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 42 + 8 + 76
    2. 42 + 8 = 50
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 76 = 126
    Ergebnis:
    126
  2. ●26
    Rechne geschickt: 12 · 20 · 5
    12205
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 20 · 5 · 12
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 12 = 1200
    Ergebnis:
    1200
  3. ●27
    Aylin rechnet 69 + 27 als 70 + 27. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
    6927
    Lösung zeigen
    1. Aylin hat 69 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 70 + 27 = 97.
    3. 1 wieder abziehen: 97 − 1 = 96
    Ergebnis:
    96
  4. ●28
    Emma rechnet 146 − 99 als 146 − 100 und erhält 46. Ist das schon das Ergebnis?
    146 − 99146 − 100
    Lösung zeigen
    1. Emma hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 46 + 1 = 47
    Ergebnis:
    Nein, 47
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 3 · 20 = 60 und 3 · 1 = 3
    3. 60 − 3 = 57
    Ergebnis:
    57
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 5 Reihen mit je 25 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2055
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 5 · 20 = 100
    2. Rechter Teil: 5 · 5 = 25
    3. Zusammen: 100 + 25 = 125
    Ergebnis:
    125 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Zeynep rechnet 16 + 85 + 24 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    168524
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    125

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 67 + 85
    6785
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    152

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 29
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    232

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 344 : 8
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    43

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 54 − 31 = ___ − 33
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    56

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Mia verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 70

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 43 + 31 + 57? Nenne ihn. Rechne danach.
    43 + 31 + 57zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 131

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Noah rechnet 612 − 489 und erhält 113. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 123

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 165
  2. 107
  3. 719
  4. 392
  5. 101
  6. 995
  7. 78 Hefte
  8. 312
  9. 688 Hefte
  10. 63
  11. 26
  12. 154
  13. 101
  14. 28
  15. 30
  16. 200
  17. 180
  18. 810
  19. gegensinnig verändern, 808
  20. zerlegen, 415
  21. gegensinnig verändern, 659
  22. stimmt, 2666
  23. falsch, richtig ist 1275
  24. falsch, richtig ist 624
  25. 126
  26. 1200
  27. 96
  28. Nein, 47
  29. 57
  30. 125 Kästchen
  31. 125
  32. 152
  33. 232
  34. 43
  35. 56
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  37. vertauschen, 131
  38. falsch, richtig ist 123
  39. 17
  40. 55
  41. 59
  42. 6