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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 39 − 5 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 4 = 20
    2. 39 − 20 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●40
    Rechne: (3 + 3) · 9
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 3 + 3 = 6
    2. 6 · 9 = 54
    Ergebnis:
    54

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 12 + 9 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 7 = 63
    2. 12 + 63 = 75
    Ergebnis:
    75
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 21 und erhalte 71. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    50

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 15 + 23 + 5
15235
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 15 + 5 + 23
  2. 15 + 5 = 20
  3. 20 + 23 = 43
  1. Vertauschen: 15 + 5 + 23
  2. 15 + 5 = 20
  3. 20 + 23 = 43
Ergebnis:
43

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 3 + 63 + 17
    36317
    So fängst du an:
    Vertauschen: 3 + 17 + 63
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 3 + 17 + 63
    2. 3 + 17 = 20
    3. 20 + 63 = 83
    Ergebnis:
    83
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 4 + 82 + 36 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    48236
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 4 + 36 + 82
    2. 4 + 36 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 82 = 122
    Ergebnis:
    122
  3. ★3
    Rechne geschickt: 118 + 293 + 82
    11829382
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 118 + 82 + 293
    2. 118 + 82 = 200
    3. 200 + 293 = 493
    Ergebnis:
    493

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 47 + 24
4724
Schritt für Schritt
  1. 47 bekommt 3 dazu, 24 gibt 3 ab.
  2. 47 + 24 = 50 + 21
  3. 50 + 21 = 71
  1. 47 bekommt 3 dazu, 24 gibt 3 ab.
  2. 47 + 24 = 50 + 21
  3. 50 + 21 = 71
Ergebnis:
71

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Aylin rechnet 99 + 65 als 100 + 65. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
    9965
    So fängst du an:
    Aylin hat 99 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Aylin hat 99 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 100 + 65 = 165.
    3. 1 wieder abziehen: 165 − 1 = 164
    Ergebnis:
    164
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 68 + 68 = 70 + ___
    6868
    Lösung zeigen
    1. 68 wird zu 70: 2 mehr.
    2. Also muss 68 um 2 kleiner werden: 68 − 2 = 66
    3. 70 + 66 = 136
    Ergebnis:
    66
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 998 + 949
    998949
    Lösung zeigen
    1. 998 bekommt 2 dazu, 949 gibt 2 ab.
    2. 998 + 949 = 1000 + 947
    3. 1000 + 947 = 1947
    Ergebnis:
    1947

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 8 Tüten mit je 26 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 8 · 26
  2. 26 = 20 + 6
  3. 8 · 20 = 160 und 8 · 6 = 48
  4. 160 + 48 = 208
  1. 8 · 26
  2. 26 = 20 + 6
  3. 8 · 20 = 160 und 8 · 6 = 48
  4. 160 + 48 = 208
Ergebnis:
208 Bonbons

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 5 Hefte mit je 31 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    5 · 31
    Lösung zeigen
    1. 5 · 31
    2. 31 = 30 + 1
    3. 5 · 30 = 150 und 5 · 1 = 5
    4. 150 + 5 = 155
    Ergebnis:
    155 Hefte
  2. ●8
    Es gibt 9 Tüten mit je 22 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 22
    2. 22 = 20 + 2
    3. 9 · 20 = 180 und 9 · 2 = 18
    4. 180 + 18 = 198
    Ergebnis:
    198 Bonbons
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 14
    Lösung zeigen
    1. 14 = 10 + 4
    2. 6 · 10 = 60 und 6 · 4 = 24
    3. 60 + 24 = 84
    Ergebnis:
    84

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

99 Murmeln werden gleichmäßig auf 3 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 99 : 3
  2. 99 = 90 + 9
  3. 90 : 3 = 30 und 9 : 3 = 3
  4. 30 + 3 = 33
  1. 99 : 3
  2. 99 = 90 + 9
  3. 90 : 3 = 30 und 9 : 3 = 3
  4. 30 + 3 = 33
Ergebnis:
33 Murmeln

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    177 Sticker werden gleichmäßig auf 3 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    177 : 3
    Lösung zeigen
    1. 177 : 3
    2. 177 = 150 + 27
    3. 150 : 3 = 50 und 27 : 3 = 9
    4. 50 + 9 = 59
    Ergebnis:
    59 Sticker
  2. ●11
    Zerlege 585 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 585 : 9?
    585: 9
    Lösung zeigen
    1. 585 = 540 + 45
    2. 540 : 9 = 60 und 45 : 9 = 5
    3. 60 + 5 = 65
    Ergebnis:
    65
  3. ★12
    1099 Bücher werden gleichmäßig auf 7 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 1099 : 7
    2. 1099 = 1050 + 49
    3. 1050 : 7 = 150 und 49 : 7 = 7
    4. 150 + 7 = 157
    Ergebnis:
    157 Bücher

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 66 − 26 = ___ − 27
Schritt für Schritt
  1. 26 wird zu 27: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 66 um 1 größer.
  3. 66 + 1 = 67
  1. 26 wird zu 27: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 66 um 1 größer.
  3. 66 + 1 = 67
Ergebnis:
67

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 70 − 14 = ___ − 24
    So fängst du an:
    14 wird zu 24: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 14 wird zu 24: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 70 um 10 größer.
    3. 70 + 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 36 + 53 = 38 + ___
    36 + 53=38 + ?
    Lösung zeigen
    1. 36 wird zu 38: 2 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 53 um 2 kleiner.
    3. 53 − 2 = 51
    Ergebnis:
    51
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 69 − 23 = ___ − 24
    Lösung zeigen
    1. 23 wird zu 24: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 69 um 1 größer.
    3. 69 + 1 = 70
    Ergebnis:
    70

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 12 · 15 = 6 · 30
  3. 6 · 30 = 180
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 12 · 15 = 6 · 30
  3. 6 · 30 = 180
Ergebnis:
180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  2. ●17
    Lina verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 32 · 25
    Lösung zeigen
    1. 32 · 25 = 16 · 50
    2. 16 · 50 = 800
    Ergebnis:
    800

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 275 + 497? Nenne ihn. Rechne danach.
Schritt für Schritt
  1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
  2. 275 + 497 = 272 + 500
  3. 272 + 500 = 772
  1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
  2. 275 + 497 = 272 + 500
  3. 272 + 500 = 772
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 772

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 30 + 69 + 70? Nenne ihn. Rechne danach.
    30 + 69 + 70zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 30 + 70 = 100
    3. 100 + 69 = 169
    Ergebnis:
    vertauschen, 169
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 5 · 81? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 81 = 80 + 1.
    2. 5 · 80 = 400 und 5 · 1 = 5
    3. Zusammen: 405
    Ergebnis:
    zerlegen, 405
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 5 · 45? Nenne ihn. Rechne danach.
    5 · 45zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 45 = 40 + 5.
    2. 5 · 40 = 200 und 5 · 5 = 25
    3. Zusammen: 225
    Ergebnis:
    zerlegen, 225

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Lina rechnet 421 − 132 und erhält 299. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 299 + 132 = 431
  2. 431 ist nicht 421: Es ist falsch.
  3. 421 − 132 = 289
  1. Umkehraufgabe: 299 + 132 = 431
  2. 431 ist nicht 421: Es ist falsch.
  3. 421 − 132 = 289
Ergebnis:
falsch, richtig ist 289

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Can erhält für 25 · 20 das Ergebnis 500. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 30 · 20 = 600
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 30 · 20 = 600
    2. 500 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 25 · 20 = 500
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 500
  2. ●23
    Emma erhält für 64 · 23 das Ergebnis 1272. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 60 · 20 = 1200
    2. 1272 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 64 · 23 = 1472
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1472
  3. ★24
    Elias rechnet 1860 : 4 und erhält 475. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    1860 : 4Ergebnis 475?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 475 · 4 = 1900
    2. 1900 ist nicht 1860: Es ist falsch.
    3. 1860 : 4 = 465
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 465

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 87 + 21 + 13
    872113
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 87 + 13 + 21
    2. 87 + 13 = 100
    3. 100 + 21 = 121
    Ergebnis:
    121
  2. ●26
    Rechne geschickt: 20 · 15 · 5
    20155
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 20 · 5 · 15
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 15 = 1500
    Ergebnis:
    1500
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 69 + 86
    6986
    Lösung zeigen
    1. 69 bekommt 1 dazu, 86 gibt 1 ab.
    2. 69 + 86 = 70 + 85
    3. 70 + 85 = 155
    Ergebnis:
    155
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 225 − 199
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 1 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 225 − 199 = 226 − 200
    3. 226 − 200 = 26
    Ergebnis:
    26
  5. ●29
    Es gibt 7 Tüten mit je 54 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 54
    2. 54 = 50 + 4
    3. 7 · 50 = 350 und 7 · 4 = 28
    4. 350 + 28 = 378
    Ergebnis:
    378 Bonbons
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 5 Reihen mit je 12 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1025
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 5 · 10 = 50
    2. Rechter Teil: 5 · 2 = 10
    3. Zusammen: 50 + 10 = 60
    Ergebnis:
    60 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 74 + 55 + 26
    745526
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    155

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 199 + 75 = 200 + ___
    19975
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    74

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 8 Tüten mit je 44 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    352 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 306 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 306 : 9?
    306: 9
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    34

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 89 − 51 = ___ − 53
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    91

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Sofia verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 193 + 399? Nenne ihn. Rechne danach.
    193 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 592

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Mia rechnet 413 : 7 und erhält 59. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    413 : 7Ergebnis 59?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 59

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 83
  2. 122
  3. 493
  4. 164
  5. 66
  6. 1947
  7. 155 Hefte
  8. 198 Bonbons
  9. 84
  10. 59 Sticker
  11. 65
  12. 157 Bücher
  13. 80
  14. 51
  15. 70
  16. 400
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  18. 800
  19. vertauschen, 169
  20. zerlegen, 405
  21. zerlegen, 225
  22. stimmt, 500
  23. falsch, richtig ist 1472
  24. falsch, richtig ist 465
  25. 121
  26. 1500
  27. 155
  28. 26
  29. 378 Bonbons
  30. 60 Kästchen
  31. 155
  32. 74
  33. 352 Bonbons
  34. 34
  35. 91
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  37. gegensinnig verändern, 592
  38. stimmt, 59
  39. 19
  40. 54
  41. 75
  42. 50