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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 5 + 5 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 6 = 30
    2. 5 + 30 = 35
    Ergebnis:
    35
  2. ●40
    Rechne: (7 + 9) · 3
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 7 + 9 = 16
    2. 16 · 3 = 48
    Ergebnis:
    48

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 3 + 3 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 5 = 15
    2. 3 + 15 = 18
    Ergebnis:
    18
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 24 und erhalte 58. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    34

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 15 + 38 + 5
15385
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 15 + 5 + 38
  2. 15 + 5 = 20
  3. 20 + 38 = 58
  1. Vertauschen: 15 + 5 + 38
  2. 15 + 5 = 20
  3. 20 + 38 = 58
Ergebnis:
58

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Can rechnet 32 + 45 + 18 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    324518
    So fängst du an:
    Vertauschen: 32 + 18 + 45
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 32 + 18 + 45
    2. 32 + 18 = 50
    3. 50 + 45 = 95
    Ergebnis:
    95
  2. ●2
    Rechne geschickt: 26 + 15 + 14
    261514
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 26 + 14 + 15
    2. 26 + 14 = 40
    3. 40 + 15 = 55
    Ergebnis:
    55
  3. ★3
    Tom rechnet 78 + 706 + 62 + 22 + 38 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    78706622238
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 78 + 22 + 62 + 38 + 706
    2. 78 + 22 = 100 und 62 + 38 = 100
    3. 100 + 100 + 706 = 906
    Ergebnis:
    906

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 49 + 56 = 50 + ___
4956
Schritt für Schritt
  1. 49 wird zu 50: 1 mehr.
  2. Also muss 56 um 1 kleiner werden: 56 − 1 = 55
  3. 50 + 55 = 105
  1. 49 wird zu 50: 1 mehr.
  2. Also muss 56 um 1 kleiner werden: 56 − 1 = 55
  3. 50 + 55 = 105
Ergebnis:
55

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 98 + 37 = 100 + ___
    9837
    So fängst du an:
    98 wird zu 100: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 98 wird zu 100: 2 mehr.
    2. Also muss 37 um 2 kleiner werden: 37 − 2 = 35
    3. 100 + 35 = 135
    Ergebnis:
    35
  2. ●5
    Noah rechnet 69 + 86 als 70 + 86. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
    6986
    Lösung zeigen
    1. Noah hat 69 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 70 + 86 = 156.
    3. 1 wieder abziehen: 156 − 1 = 155
    Ergebnis:
    155
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 696 + 386 = 700 + ___
    696386
    Lösung zeigen
    1. 696 wird zu 700: 4 mehr.
    2. Also muss 386 um 4 kleiner werden: 386 − 4 = 382
    3. 700 + 382 = 1082
    Ergebnis:
    382

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 19
Schritt für Schritt
  1. 19 = 20 − 1
  2. 8 · 20 = 160 und 8 · 1 = 8
  3. 160 − 8 = 152
  1. 19 = 20 − 1
  2. 8 · 20 = 160 und 8 · 1 = 8
  3. 160 − 8 = 152
Ergebnis:
152

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 59
    So fängst du an:
    59 = 60 − 1
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 6 · 60 = 360 und 6 · 1 = 6
    3. 360 − 6 = 354
    Ergebnis:
    354
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 48
    Lösung zeigen
    1. 48 = 40 + 8
    2. 4 · 40 = 160 und 4 · 8 = 32
    3. 160 + 32 = 192
    Ergebnis:
    192
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 4 · 149
    Lösung zeigen
    1. 149 = 100 + 40 + 9
    2. 4 · 100 = 400; 4 · 40 = 160; 4 · 9 = 36
    3. 400 + 160 + 36 = 596
    Ergebnis:
    596

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 320 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 320 : 5?
320: 5
Schritt für Schritt
  1. 320 = 300 + 20
  2. 300 : 5 = 60 und 20 : 5 = 4
  3. 60 + 4 = 64
  1. 320 = 300 + 20
  2. 300 : 5 = 60 und 20 : 5 = 4
  3. 60 + 4 = 64
Ergebnis:
64

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    175 Sticker werden gleichmäßig auf 5 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    175 : 5
    Lösung zeigen
    1. 175 : 5
    2. 175 = 150 + 25
    3. 150 : 5 = 30 und 25 : 5 = 5
    4. 30 + 5 = 35
    Ergebnis:
    35 Sticker
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 520 : 8
    Lösung zeigen
    1. 520 = 480 + 40
    2. 480 : 8 = 60 und 40 : 8 = 5
    3. 60 + 5 = 65
    Ergebnis:
    65
  3. ★12
    Zerlege 870 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 870 : 6?
    870: 6
    Lösung zeigen
    1. 870 = 840 + 30
    2. 840 : 6 = 140 und 30 : 6 = 5
    3. 140 + 5 = 145
    Ergebnis:
    145

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 14 · 13 = 7 · ___
14 · 13=7 · ?
Schritt für Schritt
  1. 14 wird halb so groß: 7.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
  3. 13 · 2 = 26
  1. 14 wird halb so groß: 7.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
  3. 13 · 2 = 26
Ergebnis:
26

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 4 · 10 = 2 · ___
    So fängst du an:
    4 wird halb so groß: 2.
    Lösung zeigen
    1. 4 wird halb so groß: 2.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
    3. 10 · 2 = 20
    Ergebnis:
    20
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 83 − 57 = ___ − 62
    Lösung zeigen
    1. 57 wird zu 62: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 83 um 5 größer.
    3. 83 + 5 = 88
    Ergebnis:
    88
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 17 + 29 = 18 + ___
    17 + 29=18 + ?
    Lösung zeigen
    1. 17 wird zu 18: 1 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 29 um 1 kleiner.
    3. 29 − 1 = 28
    Ergebnis:
    28

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
Ergebnis:
90

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    So fängst du an:
    18 · 5 = 9 · 10
    Lösung zeigen
    1. 18 · 5 = 9 · 10
    2. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  2. ●17
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ★18
    Ben verdoppelt bei 24 · 125 beide Faktoren und rechnet 48 · 250. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 48 · 250 = 12.000, aber 24 · 125 = 3000
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 3000

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 9 · 53? Nenne ihn. Rechne danach.
9 · 53zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 53 = 50 + 3.
  2. 9 · 50 = 450 und 9 · 3 = 27
  3. Zusammen: 477
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 53 = 50 + 3.
  2. 9 · 50 = 450 und 9 · 3 = 27
  3. Zusammen: 477
Ergebnis:
zerlegen, 477

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 8 · 58? Nenne ihn. Rechne danach.
    8 · 58zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 58 = 50 + 8.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 58 = 50 + 8.
    2. 8 · 50 = 400 und 8 · 8 = 64
    3. Zusammen: 464
    Ergebnis:
    zerlegen, 464
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 4 · 45? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 45 = 40 + 5.
    2. 4 · 40 = 160 und 4 · 5 = 20
    3. Zusammen: 180
    Ergebnis:
    zerlegen, 180
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 312 + 497? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 312 + 497 = 309 + 500
    3. 309 + 500 = 809
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 809

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Zeynep rechnet 364 − 231 und erhält 123. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 123 + 231 = 354
  2. 354 ist nicht 364: Es ist falsch.
  3. 364 − 231 = 133
  1. Umkehraufgabe: 123 + 231 = 354
  2. 354 ist nicht 364: Es ist falsch.
  3. 364 − 231 = 133
Ergebnis:
falsch, richtig ist 133

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Tom erhält für 35 · 49 das Ergebnis 1915. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 40 · 50 = 2000
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 40 · 50 = 2000
    2. 1915 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 35 · 49 = 1715
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1715
  2. ●23
    Elias rechnet 416 : 8 und erhält 51. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    416 : 8Ergebnis 51?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 51 · 8 = 408
    2. 408 ist nicht 416: Es ist falsch.
    3. 416 : 8 = 52
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 52
  3. ★24
    Milan rechnet 5711 − 5060 und erhält 641. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 641 + 5060 = 5701
    2. 5701 ist nicht 5711: Es ist falsch.
    3. 5711 − 5060 = 651
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 651

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Tom rechnet 51 + 76 + 9 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    51769
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 51 + 9 + 76
    2. 51 + 9 = 60
    3. 60 + 76 = 136
    Ergebnis:
    136
  2. ●26
    Rechne geschickt: 18 · 2 · 50
    18250
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 18
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 18 = 1800
    Ergebnis:
    1800
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 47 + 39
    4739
    Lösung zeigen
    1. 47 bekommt 3 dazu, 39 gibt 3 ab.
    2. 47 + 39 = 50 + 36
    3. 50 + 36 = 86
    Ergebnis:
    86
  4. ●28
    Mia rechnet 130 − 98 als 130 − 100 und erhält 30. Ist das schon das Ergebnis?
    130 − 98130 − 100
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 2 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 30 + 2 = 32
    Ergebnis:
    Nein, 32
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 63
    Lösung zeigen
    1. 63 = 60 + 3
    2. 3 · 60 = 180 und 3 · 3 = 9
    3. 180 + 9 = 189
    Ergebnis:
    189
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 5 Reihen mit je 21 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2015
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 5 · 20 = 100
    2. Rechter Teil: 5 · 1 = 5
    3. Zusammen: 100 + 5 = 105
    Ergebnis:
    105 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 27 + 29 + 73 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    272973
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    129

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 49 + 83
    4983
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    132

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 14
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    84

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    155 Murmeln werden gleichmäßig auf 5 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    31 Murmeln

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 14 + 28 = 11 + ___
    14 + 28=11 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    31

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Lina verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 14 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    14 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Sofia erhält für 47 · 29 das Ergebnis 1363. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 1363

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 95
  2. 55
  3. 906
  4. 35
  5. 155
  6. 382
  7. 354
  8. 192
  9. 596
  10. 35 Sticker
  11. 65
  12. 145
  13. 20
  14. 88
  15. 28
  16. 90
  17. 400
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 3000
  19. zerlegen, 464
  20. zerlegen, 180
  21. gegensinnig verändern, 809
  22. falsch, richtig ist 1715
  23. falsch, richtig ist 52
  24. falsch, richtig ist 651
  25. 136
  26. 1800
  27. 86
  28. Nein, 32
  29. 189
  30. 105 Kästchen
  31. 129
  32. 132
  33. 84
  34. 31 Murmeln
  35. 31
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  37. halbieren und verdoppeln, 70
  38. stimmt, 1363
  39. 35
  40. 48
  41. 18
  42. 34