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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 8 + 3 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 2 = 6
    2. 8 + 6 = 14
    Ergebnis:
    14
  2. ●40
    Rechne: (9 + 2) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 9 + 2 = 11
    2. 11 · 6 = 66
    Ergebnis:
    66

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 11 + 4 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 3 = 12
    2. 11 + 12 = 23
    Ergebnis:
    23
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 34 und erhalte 86. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    52

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 7 + 35 + 23 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
73523
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 7 + 23 + 35
  2. 7 + 23 = 30
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 35 = 65
  1. Vertauschen: 7 + 23 + 35
  2. 7 + 23 = 30
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 35 = 65
Ergebnis:
65

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 13 + 61 + 27 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    136127
    So fängst du an:
    Vertauschen: 13 + 27 + 61
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 13 + 27 + 61
    2. 13 + 27 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 61 = 101
    Ergebnis:
    101
  2. ●2
    Rechne geschickt: 12 + 63 + 8
    12638
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 12 + 8 + 63
    2. 12 + 8 = 20
    3. 20 + 63 = 83
    Ergebnis:
    83
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 51 + 174 + 49 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    5117449
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 51 + 49 + 174
    2. 51 + 49 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 174 = 274
    Ergebnis:
    274

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Can rechnet 49 + 59 als 50 + 59. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
4959
Schritt für Schritt
  1. Can hat 49 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 50 + 59 = 109.
  3. 1 wieder abziehen: 109 − 1 = 108
  1. Can hat 49 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 50 + 59 = 109.
  3. 1 wieder abziehen: 109 − 1 = 108
Ergebnis:
108

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 67 + 96
    6796
    So fängst du an:
    67 bekommt 3 dazu, 96 gibt 3 ab.
    Lösung zeigen
    1. 67 bekommt 3 dazu, 96 gibt 3 ab.
    2. 67 + 96 = 70 + 93
    3. 70 + 93 = 163
    Ergebnis:
    163
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 197 + 94 = 200 + ___
    19794
    Lösung zeigen
    1. 197 wird zu 200: 3 mehr.
    2. Also muss 94 um 3 kleiner werden: 94 − 3 = 91
    3. 200 + 91 = 291
    Ergebnis:
    91
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 397 + 769 = 400 + ___
    397769
    Lösung zeigen
    1. 397 wird zu 400: 3 mehr.
    2. Also muss 769 um 3 kleiner werden: 769 − 3 = 766
    3. 400 + 766 = 1166
    Ergebnis:
    766

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 39
Schritt für Schritt
  1. 39 = 40 − 1
  2. 6 · 40 = 240 und 6 · 1 = 6
  3. 240 − 6 = 234
  1. 39 = 40 − 1
  2. 6 · 40 = 240 und 6 · 1 = 6
  3. 240 − 6 = 234
Ergebnis:
234

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 9 Hefte mit je 39 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    9 · 39
    Lösung zeigen
    1. 9 · 39
    2. 39 = 30 + 9
    3. 9 · 30 = 270 und 9 · 9 = 81
    4. 270 + 81 = 351
    Ergebnis:
    351 Hefte
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 57
    Lösung zeigen
    1. 57 = 50 + 7
    2. 3 · 50 = 150 und 3 · 7 = 21
    3. 150 + 21 = 171
    Ergebnis:
    171
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 29
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 7 · 30 = 210 und 7 · 1 = 7
    3. 210 − 7 = 203
    Ergebnis:
    203

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 462 : 7
Schritt für Schritt
  1. 462 = 420 + 42
  2. 420 : 7 = 60 und 42 : 7 = 6
  3. 60 + 6 = 66
  1. 462 = 420 + 42
  2. 420 : 7 = 60 und 42 : 7 = 6
  3. 60 + 6 = 66
Ergebnis:
66

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 472 : 8
    So fängst du an:
    472 = 400 + 72
    Lösung zeigen
    1. 472 = 400 + 72
    2. 400 : 8 = 50 und 72 : 8 = 9
    3. 50 + 9 = 59
    Ergebnis:
    59
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 285 : 5
    Lösung zeigen
    1. 285 = 250 + 35
    2. 250 : 5 = 50 und 35 : 5 = 7
    3. 50 + 7 = 57
    Ergebnis:
    57
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 816 : 6
    Lösung zeigen
    1. 816 = 780 + 36
    2. 780 : 6 = 130 und 36 : 6 = 6
    3. 130 + 6 = 136
    Ergebnis:
    136

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 16 · 4 = 8 · ___
16 · 4=8 · ?
Schritt für Schritt
  1. 16 wird halb so groß: 8.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 4 doppelt so groß.
  3. 4 · 2 = 8
  1. 16 wird halb so groß: 8.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 4 doppelt so groß.
  3. 4 · 2 = 8
Ergebnis:
8

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 46 + 28 = 48 + ___
    So fängst du an:
    46 wird zu 48: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 46 wird zu 48: 2 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 28 um 2 kleiner.
    3. 28 − 2 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 18 · 8 = 9 · ___
    Lösung zeigen
    1. 18 wird halb so groß: 9.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
    3. 8 · 2 = 16
    Ergebnis:
    16
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 4 · 52 + 4 · 8 = 4 · ___
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 4.
    2. 4 mal 52 und 4 mal 8 sind zusammen 4 mal (52 + 8).
    3. 52 + 8 = 60
    Ergebnis:
    60

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Milan verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 15 = 6 · 30
    3. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
    Lösung zeigen
    1. 14 · 5 = 7 · 10
    2. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  3. ★18
    Hanna verdoppelt bei 14 · 35 beide Faktoren und rechnet 28 · 70. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 70 = 1960, aber 14 · 35 = 490
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 5 · 44? Nenne ihn. Rechne danach.
5 · 44zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 44 = 40 + 4.
  2. 5 · 40 = 200 und 5 · 4 = 20
  3. Zusammen: 220
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 44 = 40 + 4.
  2. 5 · 40 = 200 und 5 · 4 = 20
  3. Zusammen: 220
Ergebnis:
zerlegen, 220

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 47 + 68 + 53? Nenne ihn. Rechne danach.
    47 + 68 + 53zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 47 + 53 = 100
    3. 100 + 68 = 168
    Ergebnis:
    vertauschen, 168
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 84? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 84 = 80 + 4.
    2. 8 · 80 = 640 und 8 · 4 = 32
    3. Zusammen: 672
    Ergebnis:
    zerlegen, 672
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 2584 − 1644? Nenne ihn. Rechne danach.
    2584 − 1644zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 2584 − 1644 = 940
    Ergebnis:
    schriftlich, 940

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Milan rechnet 853 − 165 und erhält 688. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 688 + 165 = 853
  2. 853 ist genau 853: Es stimmt.
  3. 853 − 165 = 688
  1. Umkehraufgabe: 688 + 165 = 853
  2. 853 ist genau 853: Es stimmt.
  3. 853 − 165 = 688
Ergebnis:
stimmt, 688

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Tom rechnet 360 : 6 und erhält 60. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    360 : 6Ergebnis 60?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 60 · 6 = 360
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 60 · 6 = 360
    2. 360 ist genau 360: Es stimmt.
    3. 360 : 6 = 60
    Ergebnis:
    stimmt, 60
  2. ●23
    Paul erhält für 71 · 16 das Ergebnis 1136. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 70 · 20 = 1400
    2. 1136 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 71 · 16 = 1136
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 1136
  3. ★24
    Hanna rechnet 7551 − 400 und erhält 7151. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 7151 + 400 = 7551
    2. 7551 ist genau 7551: Es stimmt.
    3. 7551 − 400 = 7151
    Ergebnis:
    stimmt, 7151

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 23 + 74 + 17
    237417
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 23 + 17 + 74
    2. 23 + 17 = 40
    3. 40 + 74 = 114
    Ergebnis:
    114
  2. ●26
    Rechne geschickt: 9 · 5 · 2
    952
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 · 2 · 9
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 9 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ●27
    Mia rechnet 299 + 26 als 300 + 26. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
    29926
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 299 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 300 + 26 = 326.
    3. 1 wieder abziehen: 326 − 1 = 325
    Ergebnis:
    325
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 126 − 48
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 2 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 126 − 48 = 128 − 50
    3. 128 − 50 = 78
    Ergebnis:
    78
  5. ●29
    Es gibt 6 Tüten mit je 64 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 6 · 64
    2. 64 = 60 + 4
    3. 6 · 60 = 360 und 6 · 4 = 24
    4. 360 + 24 = 384
    Ergebnis:
    384 Bonbons
  6. ●30
    Noah rechnet 5 · 18 so: erst 5 · 10, dann 8 dazu. Noah erhält 58. Zeige am Bild, was fehlt.
    1085
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 5 Reihen mit je 8 Kästchen, nicht nur 8.
    2. Rechter Teil: 5 · 8 = 40
    3. 50 + 40 = 90
    Ergebnis:
    90

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 28 + 57 + 32
    285732
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    117

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 297 + 39 = 300 + ___
    29739
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    36

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 8 Hefte mit je 38 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    304 Hefte

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 128 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 128 : 4?
    128: 4
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    32

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 17 + 79 = 20 + ___
    17 + 79=20 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    76

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Ben verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 34 + 63 + 66? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 163

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Jonas erhält für 22 · 20 das Ergebnis 440. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 440

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 101
  2. 83
  3. 274
  4. 163
  5. 91
  6. 766
  7. 351 Hefte
  8. 171
  9. 203
  10. 59
  11. 57
  12. 136
  13. 26
  14. 16
  15. 60
  16. 180
  17. 70
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 490
  19. vertauschen, 168
  20. zerlegen, 672
  21. schriftlich, 940
  22. stimmt, 60
  23. stimmt, 1136
  24. stimmt, 7151
  25. 114
  26. 90
  27. 325
  28. 78
  29. 384 Bonbons
  30. 90
  31. 117
  32. 36
  33. 304 Hefte
  34. 32
  35. 76
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  37. vertauschen, 163
  38. stimmt, 440
  39. 14
  40. 66
  41. 23
  42. 52