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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 26 − 2 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 9 = 18
    2. 26 − 18 = 8
    Ergebnis:
    8
  2. ●40
    Rechne: (7 + 9) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 7 + 9 = 16
    2. 16 · 7 = 112
    Ergebnis:
    112

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 12 + 8 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 8 · 4 = 32
    2. 12 + 32 = 44
    Ergebnis:
    44
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 20 und erhalte 57. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    37

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Zeynep rechnet 72 + 11 + 28 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
721128
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 72 + 28 + 11
  2. 72 + 28 = 100
  3. 100 + 11 = 111
  1. Vertauschen: 72 + 28 + 11
  2. 72 + 28 = 100
  3. 100 + 11 = 111
Ergebnis:
111

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 56 + 78 + 4 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    56784
    So fängst du an:
    Vertauschen: 56 + 4 + 78
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 56 + 4 + 78
    2. 56 + 4 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 78 = 138
    Ergebnis:
    138
  2. ●2
    Sofia rechnet 27 + 58 + 33 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    275833
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 27 + 33 + 58
    2. 27 + 33 = 60
    3. 60 + 58 = 118
    Ergebnis:
    118
  3. ★3
    Rechne geschickt: 18 + 369 + 71 + 82 + 29
    18369718229
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 18 + 82 + 71 + 29 + 369
    2. 18 + 82 = 100 und 71 + 29 = 100
    3. 100 + 100 + 369 = 569
    Ergebnis:
    569

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Lea rechnet 299 + 43 als 300 + 43. Was muss Lea danach noch tun? Was kommt heraus?
29943
Schritt für Schritt
  1. Lea hat 299 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 300 + 43 = 343.
  3. 1 wieder abziehen: 343 − 1 = 342
  1. Lea hat 299 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 300 + 43 = 343.
  3. 1 wieder abziehen: 343 − 1 = 342
Ergebnis:
342

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Lea rechnet 197 + 28 als 200 + 28. Was muss Lea danach noch tun? Was kommt heraus?
    19728
    So fängst du an:
    Lea hat 197 um 3 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Lea hat 197 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 200 + 28 = 228.
    3. 3 wieder abziehen: 228 − 3 = 225
    Ergebnis:
    225
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 97 + 95 = 100 + ___
    9795
    Lösung zeigen
    1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
    2. Also muss 95 um 3 kleiner werden: 95 − 3 = 92
    3. 100 + 92 = 192
    Ergebnis:
    92
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 496 + 455 = 500 + ___
    496455
    Lösung zeigen
    1. 496 wird zu 500: 4 mehr.
    2. Also muss 455 um 4 kleiner werden: 455 − 4 = 451
    3. 500 + 451 = 951
    Ergebnis:
    451

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 59
Schritt für Schritt
  1. 59 = 60 − 1
  2. 6 · 60 = 360 und 6 · 1 = 6
  3. 360 − 6 = 354
  1. 59 = 60 − 1
  2. 6 · 60 = 360 und 6 · 1 = 6
  3. 360 − 6 = 354
Ergebnis:
354

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 29
    So fängst du an:
    29 = 30 − 1
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 4 · 30 = 120 und 4 · 1 = 4
    3. 120 − 4 = 116
    Ergebnis:
    116
  2. ●8
    Es gibt 5 Hefte mit je 33 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 33
    2. 33 = 30 + 3
    3. 5 · 30 = 150 und 5 · 3 = 15
    4. 150 + 15 = 165
    Ergebnis:
    165 Hefte
  3. ★9
    Es gibt 8 Reihen mit je 17 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 17
    2. 17 = 10 + 7
    3. 8 · 10 = 80 und 8 · 7 = 56
    4. 80 + 56 = 136
    Ergebnis:
    136 Stühle

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 275 : 5
Schritt für Schritt
  1. 275 = 250 + 25
  2. 250 : 5 = 50 und 25 : 5 = 5
  3. 50 + 5 = 55
  1. 275 = 250 + 25
  2. 250 : 5 = 50 und 25 : 5 = 5
  3. 50 + 5 = 55
Ergebnis:
55

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    192 Murmeln werden gleichmäßig auf 8 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    192 : 8
    Lösung zeigen
    1. 192 : 8
    2. 192 = 160 + 32
    3. 160 : 8 = 20 und 32 : 8 = 4
    4. 20 + 4 = 24
    Ergebnis:
    24 Murmeln
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 84 : 3
    Lösung zeigen
    1. 84 = 60 + 24
    2. 60 : 3 = 20 und 24 : 3 = 8
    3. 20 + 8 = 28
    Ergebnis:
    28
  3. ★12
    540 Murmeln werden gleichmäßig auf 4 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 540 : 4
    2. 540 = 520 + 20
    3. 520 : 4 = 130 und 20 : 4 = 5
    4. 130 + 5 = 135
    Ergebnis:
    135 Murmeln

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 14 · 10 = 7 · ___
Schritt für Schritt
  1. 14 wird halb so groß: 7.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
  3. 10 · 2 = 20
  1. 14 wird halb so groß: 7.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
  3. 10 · 2 = 20
Ergebnis:
20

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 8 · 6 = 4 · ___
    8 · 6=4 · ?
    So fängst du an:
    8 wird halb so groß: 4.
    Lösung zeigen
    1. 8 wird halb so groß: 4.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 6 doppelt so groß.
    3. 6 · 2 = 12
    Ergebnis:
    12
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 14 · 12 = 7 · ___
    14 · 12=7 · ?
    Lösung zeigen
    1. 14 wird halb so groß: 7.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
    3. 12 · 2 = 24
    Ergebnis:
    24
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 72 + 54 = 70 + ___
    72 + 54=70 + ?
    Lösung zeigen
    1. 72 wird zu 70: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 54 um 2 größer.
    3. 54 + 2 = 56
    Ergebnis:
    56

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
Schritt für Schritt
  1. 8 · 25 = 4 · 50
  2. 4 · 50 = 200
  1. 8 · 25 = 4 · 50
  2. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Aylin verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    Lösung zeigen
    1. 16 · 5 = 8 · 10
    2. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  3. ★18
    Warum ist 36 · 5 dasselbe wie 18 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 36 · 5 = 18 · 10
    3. 18 · 10 = 180
    Ergebnis:
    180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 286 + 497? Nenne ihn. Rechne danach.
286 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
  2. 286 + 497 = 283 + 500
  3. 283 + 500 = 783
  1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
  2. 286 + 497 = 283 + 500
  3. 283 + 500 = 783
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 783

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 332 + 399? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    2. 332 + 399 = 331 + 400
    3. 331 + 400 = 731
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 731
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 13 + 67 + 87? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 13 + 87 = 100
    3. 100 + 67 = 167
    Ergebnis:
    vertauschen, 167
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 6 · 63? Nenne ihn. Rechne danach.
    6 · 63zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 63 = 60 + 3.
    2. 6 · 60 = 360 und 6 · 3 = 18
    3. Zusammen: 378
    Ergebnis:
    zerlegen, 378

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Jonas erhält für 35 · 18 das Ergebnis 630. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 40 · 20 = 800
  2. 630 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 35 · 18 = 630
  3. Das Ergebnis stimmt.
  1. Überschlag: 40 · 20 = 800
  2. 630 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 35 · 18 = 630
  3. Das Ergebnis stimmt.
Ergebnis:
stimmt, 630

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Lea erhält für 48 · 36 das Ergebnis 1528. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 50 · 40 = 2000
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 50 · 40 = 2000
    2. 1528 liegt zu weit weg. Genau: 48 · 36 = 1728
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1728
  2. ●23
    Jonas rechnet 498 − 229 und erhält 259. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 259 + 229 = 488
    2. 488 ist nicht 498: Es ist falsch.
    3. 498 − 229 = 269
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 269
  3. ★24
    Zeynep erhält für 479 · 45 das Ergebnis 21.455. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 500 · 50 = 25.000
    2. 21.455 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 479 · 45 = 21.555
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 21.555

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 18 + 23 + 12 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    182312
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 18 + 12 + 23
    2. 18 + 12 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 23 = 53
    Ergebnis:
    53
  2. ●26
    Rechne geschickt: 9 · 5 · 2
    952
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 · 2 · 9
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 9 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 48
    29848
    Lösung zeigen
    1. 298 bekommt 2 dazu, 48 gibt 2 ab.
    2. 298 + 48 = 300 + 46
    3. 300 + 46 = 346
    Ergebnis:
    346
  4. ●28
    Noah rechnet 138 − 19 als 138 − 20 und erhält 118. Ist das schon das Ergebnis?
    138 − 19138 − 20
    Lösung zeigen
    1. Noah hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 118 + 1 = 119
    Ergebnis:
    Nein, 119
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 24
    Lösung zeigen
    1. 24 = 20 + 4
    2. 8 · 20 = 160 und 8 · 4 = 32
    3. 160 + 32 = 192
    Ergebnis:
    192
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 3 Reihen mit je 24 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2043
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 3 · 20 = 60
    2. Rechter Teil: 3 · 4 = 12
    3. Zusammen: 60 + 12 = 72
    Ergebnis:
    72 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Paul rechnet 27 + 37 + 13 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    273713
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    77

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Lea rechnet 298 + 34 als 300 + 34. Was muss Lea danach noch tun? Was kommt heraus?
    29834
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    332

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 27
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    243

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 366 : 6
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    61

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 76 − 20 = ___ − 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    81

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Noah verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 6 · 51? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 306

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Jonas erhält für 31 · 45 das Ergebnis 1395. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 1395

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 138
  2. 118
  3. 569
  4. 225
  5. 92
  6. 451
  7. 116
  8. 165 Hefte
  9. 136 Stühle
  10. 24 Murmeln
  11. 28
  12. 135 Murmeln
  13. 12
  14. 24
  15. 56
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  17. 80
  18. 180
  19. gegensinnig verändern, 731
  20. vertauschen, 167
  21. zerlegen, 378
  22. falsch, richtig ist 1728
  23. falsch, richtig ist 269
  24. falsch, richtig ist 21.555
  25. 53
  26. 90
  27. 346
  28. Nein, 119
  29. 192
  30. 72 Kästchen
  31. 77
  32. 332
  33. 243
  34. 61
  35. 81
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  37. zerlegen, 306
  38. stimmt, 1395
  39. 8
  40. 112
  41. 44
  42. 37