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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 34 − 4 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 2 = 8
    2. 34 − 8 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●40
    Rechne: (4 + 2) · 9
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 2 = 6
    2. 6 · 9 = 54
    Ergebnis:
    54

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 8 + 9 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 4 = 36
    2. 8 + 36 = 44
    Ergebnis:
    44
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 15 und erhalte 51. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    36

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Tom rechnet 16 + 18 + 4 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
16184
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 16 + 4 + 18
  2. 16 + 4 = 20
  3. 20 + 18 = 38
  1. Vertauschen: 16 + 4 + 18
  2. 16 + 4 = 20
  3. 20 + 18 = 38
Ergebnis:
38

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 43 + 12 + 17 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    431217
    So fängst du an:
    Vertauschen: 43 + 17 + 12
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 43 + 17 + 12
    2. 43 + 17 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 12 = 72
    Ergebnis:
    72
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 7 + 54 + 23 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    75423
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 7 + 23 + 54
    2. 7 + 23 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 54 = 84
    Ergebnis:
    84
  3. ★3
    Rechne geschickt: 103 + 566 + 52 + 197 + 48
    1035665219748
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 103 + 197 + 52 + 48 + 566
    2. 103 + 197 = 300 und 52 + 48 = 100
    3. 300 + 100 + 566 = 966
    Ergebnis:
    966

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Paul rechnet 98 + 23 als 100 + 23. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
9823
Schritt für Schritt
  1. Paul hat 98 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 23 = 123.
  3. 2 wieder abziehen: 123 − 2 = 121
  1. Paul hat 98 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 23 = 123.
  3. 2 wieder abziehen: 123 − 2 = 121
Ergebnis:
121

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 38 + 93 = 40 + ___
    3893
    So fängst du an:
    38 wird zu 40: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
    2. Also muss 93 um 2 kleiner werden: 93 − 2 = 91
    3. 40 + 91 = 131
    Ergebnis:
    91
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 39 + 82 = 40 + ___
    3982
    Lösung zeigen
    1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
    2. Also muss 82 um 1 kleiner werden: 82 − 1 = 81
    3. 40 + 81 = 121
    Ergebnis:
    81
  3. ★6
    Milan rechnet 1998 + 723 als 2000 + 723. Was muss Milan danach noch tun? Was kommt heraus?
    1998723
    Lösung zeigen
    1. Milan hat 1998 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 2000 + 723 = 2723.
    3. 2 wieder abziehen: 2723 − 2 = 2721
    Ergebnis:
    2721

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 59
Schritt für Schritt
  1. 59 = 60 − 1
  2. 4 · 60 = 240 und 4 · 1 = 4
  3. 240 − 4 = 236
  1. 59 = 60 − 1
  2. 4 · 60 = 240 und 4 · 1 = 4
  3. 240 − 4 = 236
Ergebnis:
236

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 29
    So fängst du an:
    29 = 30 − 1
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 7 · 30 = 210 und 7 · 1 = 7
    3. 210 − 7 = 203
    Ergebnis:
    203
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 38
    Lösung zeigen
    1. 38 = 30 + 8
    2. 3 · 30 = 90 und 3 · 8 = 24
    3. 90 + 24 = 114
    Ergebnis:
    114
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 5 · 462
    Lösung zeigen
    1. 462 = 400 + 60 + 2
    2. 5 · 400 = 2000; 5 · 60 = 300; 5 · 2 = 10
    3. 2000 + 300 + 10 = 2310
    Ergebnis:
    2310

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 301 : 7
Schritt für Schritt
  1. 301 = 280 + 21
  2. 280 : 7 = 40 und 21 : 7 = 3
  3. 40 + 3 = 43
  1. 301 = 280 + 21
  2. 280 : 7 = 40 und 21 : 7 = 3
  3. 40 + 3 = 43
Ergebnis:
43

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 154 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 154 : 7?
    154: 7
    So fängst du an:
    154 = 140 + 14
    Lösung zeigen
    1. 154 = 140 + 14
    2. 140 : 7 = 20 und 14 : 7 = 2
    3. 20 + 2 = 22
    Ergebnis:
    22
  2. ●11
    Zerlege 135 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 135 : 3?
    135: 3
    Lösung zeigen
    1. 135 = 120 + 15
    2. 120 : 3 = 40 und 15 : 3 = 5
    3. 40 + 5 = 45
    Ergebnis:
    45
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 513 : 9
    Lösung zeigen
    1. 513 = 450 + 63
    2. 450 : 9 = 50 und 63 : 9 = 7
    3. 50 + 7 = 57
    Ergebnis:
    57

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 18 · 14 = 9 · ___
18 · 14=9 · ?
Schritt für Schritt
  1. 18 wird halb so groß: 9.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
  3. 14 · 2 = 28
  1. 18 wird halb so groß: 9.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
  3. 14 · 2 = 28
Ergebnis:
28

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 46 − 27 = ___ − 37
    So fängst du an:
    27 wird zu 37: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 27 wird zu 37: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 46 um 10 größer.
    3. 46 + 10 = 56
    Ergebnis:
    56
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 13 + 19 = 11 + ___
    Lösung zeigen
    1. 13 wird zu 11: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 19 um 2 größer.
    3. 19 + 2 = 21
    Ergebnis:
    21
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 61 − 33 = ___ − 43
    Lösung zeigen
    1. 33 wird zu 43: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 61 um 10 größer.
    3. 61 + 10 = 71
    Ergebnis:
    71

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
Schritt für Schritt
  1. 16 · 25 = 8 · 50
  2. 8 · 50 = 400
  1. 16 · 25 = 8 · 50
  2. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Can verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  2. ●17
    Elias verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  3. ★18
    Warum ist 24 · 125 dasselbe wie 12 · 250? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 24 · 125 = 12 · 250
    3. 12 · 250 = 3000
    Ergebnis:
    3000

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 383 + 299? Nenne ihn. Rechne danach.
383 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
  2. 383 + 299 = 382 + 300
  3. 382 + 300 = 682
  1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
  2. 383 + 299 = 382 + 300
  3. 382 + 300 = 682
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 682

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 322 + 598? Nenne ihn. Rechne danach.
    322 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    2. 322 + 598 = 320 + 600
    3. 320 + 600 = 920
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 920
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 225 + 299? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    2. 225 + 299 = 224 + 300
    3. 224 + 300 = 524
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 524
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 211 + 497? Nenne ihn. Rechne danach.
    211 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 211 + 497 = 208 + 500
    3. 208 + 500 = 708
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 708

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Lea rechnet 873 : 9 und erhält 98. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
873 : 9Ergebnis 98?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 98 · 9 = 882
  2. 882 ist nicht 873: Es ist falsch.
  3. 873 : 9 = 97
  1. Umkehraufgabe: 98 · 9 = 882
  2. 882 ist nicht 873: Es ist falsch.
  3. 873 : 9 = 97
Ergebnis:
falsch, richtig ist 97

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Lea erhält für 34 · 28 das Ergebnis 1152. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 30 · 30 = 900
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 30 · 30 = 900
    2. 1152 liegt zu weit weg. Genau: 34 · 28 = 952
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 952
  2. ●23
    Sofia rechnet 84 : 3 und erhält 27. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    84 : 3Ergebnis 27?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 27 · 3 = 81
    2. 81 ist nicht 84: Es ist falsch.
    3. 84 : 3 = 28
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 28
  3. ★24
    Lea rechnet 3505 − 1055 und erhält 2550. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 2550 + 1055 = 3605
    2. 3605 ist nicht 3505: Es ist falsch.
    3. 3505 − 1055 = 2450
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2450

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 42 + 25 + 18 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    422518
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 42 + 18 + 25
    2. 42 + 18 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 25 = 85
    Ergebnis:
    85
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 7 · 5 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    752
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 2 · 5 · 7
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 7 = 70
    Ergebnis:
    70
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 98 + 59 = 100 + ___
    9859
    Lösung zeigen
    1. 98 wird zu 100: 2 mehr.
    2. Also muss 59 um 2 kleiner werden: 59 − 2 = 57
    3. 100 + 57 = 157
    Ergebnis:
    57
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 143 − 48 = ___ − 50
    Lösung zeigen
    1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 143 um 2 größer: 145.
    3. 145 − 50 = 95
    Ergebnis:
    145
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 57
    Lösung zeigen
    1. 57 = 50 + 7
    2. 9 · 50 = 450 und 9 · 7 = 63
    3. 450 + 63 = 513
    Ergebnis:
    513
  6. ●30
    Lea rechnet 5 · 24 so: erst 5 · 20, dann 4 dazu. Lea erhält 104. Zeige am Bild, was fehlt.
    2045
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 5 Reihen mit je 4 Kästchen, nicht nur 4.
    2. Rechter Teil: 5 · 4 = 20
    3. 100 + 20 = 120
    Ergebnis:
    120

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 47 + 87 + 53 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    478753
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    187

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 69 + 55
    6955
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    124

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 14
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    84

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 115 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 115 : 5?
    115: 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    23

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 34 + 12 = 24 + ___
    34 + 12=24 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    22

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Noah verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 80

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 359 + 198? Nenne ihn. Rechne danach.
    359 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 557

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Zeynep rechnet 424 : 8 und erhält 53. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    424 : 8Ergebnis 53?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 53

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 72
  2. 84
  3. 966
  4. 91
  5. 81
  6. 2721
  7. 203
  8. 114
  9. 2310
  10. 22
  11. 45
  12. 57
  13. 56
  14. 21
  15. 71
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  18. 3000
  19. gegensinnig verändern, 920
  20. gegensinnig verändern, 524
  21. gegensinnig verändern, 708
  22. falsch, richtig ist 952
  23. falsch, richtig ist 28
  24. falsch, richtig ist 2450
  25. 85
  26. 70
  27. 57
  28. 145
  29. 513
  30. 120
  31. 187
  32. 124
  33. 84
  34. 23
  35. 22
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  37. gegensinnig verändern, 557
  38. stimmt, 53
  39. 26
  40. 54
  41. 44
  42. 36