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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 3 + 2 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 8 = 16
    2. 3 + 16 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●40
    Rechne: (3 + 5) · 4
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 3 + 5 = 8
    2. 8 · 4 = 32
    Ergebnis:
    32

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 8 + 4 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 6 = 24
    2. 8 + 24 = 32
    Ergebnis:
    32
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 25 und erhalte 77. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    52

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Sofia rechnet 15 + 22 + 5 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
15225
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 15 + 5 + 22
  2. 15 + 5 = 20
  3. 20 + 22 = 42
  1. Vertauschen: 15 + 5 + 22
  2. 15 + 5 = 20
  3. 20 + 22 = 42
Ergebnis:
42

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Zeynep rechnet 13 + 22 + 7 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    13227
    So fängst du an:
    Vertauschen: 13 + 7 + 22
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 13 + 7 + 22
    2. 13 + 7 = 20
    3. 20 + 22 = 42
    Ergebnis:
    42
  2. ●2
    Milan rechnet 7 + 39 + 13 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    73913
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 7 + 13 + 39
    2. 7 + 13 = 20
    3. 20 + 39 = 59
    Ergebnis:
    59
  3. ★3
    Hanna rechnet 422 + 173 + 578 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    422173578
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 422 + 578 + 173
    2. 422 + 578 = 1000
    3. 1000 + 173 = 1173
    Ergebnis:
    1173

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 197 + 58 = 200 + ___
19758
Schritt für Schritt
  1. 197 wird zu 200: 3 mehr.
  2. Also muss 58 um 3 kleiner werden: 58 − 3 = 55
  3. 200 + 55 = 255
  1. 197 wird zu 200: 3 mehr.
  2. Also muss 58 um 3 kleiner werden: 58 − 3 = 55
  3. 200 + 55 = 255
Ergebnis:
55

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Emma rechnet 297 + 77 als 300 + 77. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
    29777
    So fängst du an:
    Emma hat 297 um 3 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Emma hat 297 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 300 + 77 = 377.
    3. 3 wieder abziehen: 377 − 3 = 374
    Ergebnis:
    374
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 67 + 78
    6778
    Lösung zeigen
    1. 67 bekommt 3 dazu, 78 gibt 3 ab.
    2. 67 + 78 = 70 + 75
    3. 70 + 75 = 145
    Ergebnis:
    145
  3. ★6
    Noah rechnet 998 + 683 als 1000 + 683. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
    998683
    Lösung zeigen
    1. Noah hat 998 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 1000 + 683 = 1683.
    3. 2 wieder abziehen: 1683 − 2 = 1681
    Ergebnis:
    1681

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 6 Reihen mit je 22 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 6 · 22
  2. 22 = 20 + 2
  3. 6 · 20 = 120 und 6 · 2 = 12
  4. 120 + 12 = 132
  1. 6 · 22
  2. 22 = 20 + 2
  3. 6 · 20 = 120 und 6 · 2 = 12
  4. 120 + 12 = 132
Ergebnis:
132 Stühle

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 7 Reihen mit je 39 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    7 · 39
    Lösung zeigen
    1. 7 · 39
    2. 39 = 30 + 9
    3. 7 · 30 = 210 und 7 · 9 = 63
    4. 210 + 63 = 273
    Ergebnis:
    273 Stühle
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 56
    Lösung zeigen
    1. 56 = 50 + 6
    2. 4 · 50 = 200 und 4 · 6 = 24
    3. 200 + 24 = 224
    Ergebnis:
    224
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 43
    Lösung zeigen
    1. 43 = 40 + 3
    2. 4 · 40 = 160 und 4 · 3 = 12
    3. 160 + 12 = 172
    Ergebnis:
    172

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 162 : 3
Schritt für Schritt
  1. 162 = 150 + 12
  2. 150 : 3 = 50 und 12 : 3 = 4
  3. 50 + 4 = 54
  1. 162 = 150 + 12
  2. 150 : 3 = 50 und 12 : 3 = 4
  3. 50 + 4 = 54
Ergebnis:
54

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    265 Bücher werden gleichmäßig auf 5 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    265 : 5
    Lösung zeigen
    1. 265 : 5
    2. 265 = 250 + 15
    3. 250 : 5 = 50 und 15 : 5 = 3
    4. 50 + 3 = 53
    Ergebnis:
    53 Bücher
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 208 : 8
    Lösung zeigen
    1. 208 = 160 + 48
    2. 160 : 8 = 20 und 48 : 8 = 6
    3. 20 + 6 = 26
    Ergebnis:
    26
  3. ★12
    402 Murmeln werden gleichmäßig auf 3 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 402 : 3
    2. 402 = 390 + 12
    3. 390 : 3 = 130 und 12 : 3 = 4
    4. 130 + 4 = 134
    Ergebnis:
    134 Murmeln

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 63 + 22 = 60 + ___
63 + 22=60 + ?
Schritt für Schritt
  1. 63 wird zu 60: 3 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 22 um 3 größer.
  3. 22 + 3 = 25
  1. 63 wird zu 60: 3 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 22 um 3 größer.
  3. 22 + 3 = 25
Ergebnis:
25

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 71 − 15 = ___ − 17
    So fängst du an:
    15 wird zu 17: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 15 wird zu 17: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 71 um 2 größer.
    3. 71 + 2 = 73
    Ergebnis:
    73
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 4 · 14 = 2 · ___
    4 · 14=2 · ?
    Lösung zeigen
    1. 4 wird halb so groß: 2.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
    3. 14 · 2 = 28
    Ergebnis:
    28
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 86 + 14 = 96 + ___
    86 + 14=96 + ?
    Lösung zeigen
    1. 86 wird zu 96: 10 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 14 um 10 kleiner.
    3. 14 − 10 = 4
    Ergebnis:
    4

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Zeynep verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    So fängst du an:
    16 · 5 = 8 · 10
    Lösung zeigen
    1. 16 · 5 = 8 · 10
    2. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  2. ●17
    Jonas verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 45
    Lösung zeigen
    1. 18 · 45 = 9 · 90
    2. 9 · 90 = 810
    Ergebnis:
    810

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 5 · 46? Nenne ihn. Rechne danach.
5 · 46zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 46 = 40 + 6.
  2. 5 · 40 = 200 und 5 · 6 = 30
  3. Zusammen: 230
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 46 = 40 + 6.
  2. 5 · 40 = 200 und 5 · 6 = 30
  3. Zusammen: 230
Ergebnis:
zerlegen, 230

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 305 + 198? Nenne ihn. Rechne danach.
    305 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 305 + 198 = 303 + 200
    3. 303 + 200 = 503
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 503
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 9 · 43? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 43 = 40 + 3.
    2. 9 · 40 = 360 und 9 · 3 = 27
    3. Zusammen: 387
    Ergebnis:
    zerlegen, 387
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 6447 − 3707? Nenne ihn. Rechne danach.
    6447 − 3707zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 6447 − 3707 = 2740
    Ergebnis:
    schriftlich, 2740

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Emma erhält für 60 · 29 das Ergebnis 1940. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 60 · 30 = 1800
  2. 1940 liegt zu weit weg. Genau: 60 · 29 = 1740
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 60 · 30 = 1800
  2. 1940 liegt zu weit weg. Genau: 60 · 29 = 1740
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 1740

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Hanna rechnet 539 : 7 und erhält 78. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    539 : 7Ergebnis 78?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 78 · 7 = 546
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 78 · 7 = 546
    2. 546 ist nicht 539: Es ist falsch.
    3. 539 : 7 = 77
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 77
  2. ●23
    Jonas rechnet 624 : 8 und erhält 80. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    624 : 8Ergebnis 80?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 80 · 8 = 640
    2. 640 ist nicht 624: Es ist falsch.
    3. 624 : 8 = 78
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 78
  3. ★24
    Zeynep rechnet 3983 − 2334 und erhält 1659. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 1659 + 2334 = 3993
    2. 3993 ist nicht 3983: Es ist falsch.
    3. 3983 − 2334 = 1649
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1649

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Ben rechnet 24 + 55 + 76 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    245576
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 24 + 76 + 55
    2. 24 + 76 = 100
    3. 100 + 55 = 155
    Ergebnis:
    155
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 12 · 5 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    1252
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 · 2 · 12
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 12 = 120
    Ergebnis:
    120
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 39 + 26
    3926
    Lösung zeigen
    1. 39 bekommt 1 dazu, 26 gibt 1 ab.
    2. 39 + 26 = 40 + 25
    3. 40 + 25 = 65
    Ergebnis:
    65
  4. ●28
    Noah rechnet 79 − 29 als 79 − 30 und erhält 49. Ist das schon das Ergebnis?
    79 − 2979 − 30
    Lösung zeigen
    1. Noah hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 49 + 1 = 50
    Ergebnis:
    Nein, 50
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 18
    Lösung zeigen
    1. 18 = 10 + 8
    2. 8 · 10 = 80 und 8 · 8 = 64
    3. 80 + 64 = 144
    Ergebnis:
    144
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 3 Reihen mit je 12 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1023
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 3 · 10 = 30
    2. Rechter Teil: 3 · 2 = 6
    3. Zusammen: 30 + 6 = 36
    Ergebnis:
    36 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 4 + 21 + 16 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    42116
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    41

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 299 + 44 = 300 + ___
    29944
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    43

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 15
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 342 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 342 : 9?
    342: 9
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    38

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 16 · 10 = 8 · ___
    16 · 10=8 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 13 + 64 + 87? Nenne ihn. Rechne danach.
    13 + 64 + 87zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 164

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Noah rechnet 366 : 6 und erhält 62. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    366 : 6Ergebnis 62?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 61

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 42
  2. 59
  3. 1173
  4. 374
  5. 145
  6. 1681
  7. 273 Stühle
  8. 224
  9. 172
  10. 53 Bücher
  11. 26
  12. 134 Murmeln
  13. 73
  14. 28
  15. 4
  16. 80
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  18. 810
  19. gegensinnig verändern, 503
  20. zerlegen, 387
  21. schriftlich, 2740
  22. falsch, richtig ist 77
  23. falsch, richtig ist 78
  24. falsch, richtig ist 1649
  25. 155
  26. 120
  27. 65
  28. Nein, 50
  29. 144
  30. 36 Kästchen
  31. 41
  32. 43
  33. 90
  34. 38
  35. 20
  36. 200
  37. vertauschen, 164
  38. falsch, richtig ist 61
  39. 19
  40. 32
  41. 32
  42. 52