Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

●39
Rechne: 8 + 2 · 2
Lösung zeigen
1. Punkt vor Strich: erst 2 · 2 = 4
2. 8 + 4 = 12
Ergebnis:
12
●40
Rechne: (2 + 4) · 7
Lösung zeigen
1. Die Klammer zuerst: 2 + 4 = 6
2. 6 · 7 = 42
Ergebnis:
42

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

●41
Berechne: 6 + 4 · 6
Lösung zeigen
1. Punkt vor Strich: erst 4 · 6 = 24
2. 6 + 24 = 30
Ergebnis:
30
●42
Ich denke mir eine Zahl, addiere 4 und erhalte 21. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
Lösung zeigen
Ergebnis:
17

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 15 + 29 + 25 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.

Schritt für Schritt

Vertauschen: 15 + 25 + 29
15 + 25 = 40
Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 29 = 69

Vertauschen: 15 + 25 + 29
15 + 25 = 40
Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 29 = 69

Ergebnis:

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht

50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40

So richtig

50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

○1
Rechne geschickt: 48 + 16 + 12
So fängst du an:
Vertauschen: 48 + 12 + 16
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 48 + 12 + 16
2. 48 + 12 = 60
3. 60 + 16 = 76
Ergebnis:
76
●2
Welche Zahlen fasst du bei 27 + 85 + 13 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 27 + 13 + 85
2. 27 + 13 = 40
3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 85 = 125
Ergebnis:
125
★3
Rechne geschickt: 137 + 528 + 63
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 137 + 63 + 528
2. 137 + 63 = 200
3. 200 + 528 = 728
Ergebnis:
728

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 198 + 95 = 200 + ___

Schritt für Schritt

198 wird zu 200: 2 mehr.
Also muss 95 um 2 kleiner werden: 95 − 2 = 93
200 + 93 = 293

198 wird zu 200: 2 mehr.
Also muss 95 um 2 kleiner werden: 95 − 2 = 93
200 + 93 = 293

Ergebnis:

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht

143 − 97: 143 − 100 = 43

So richtig

143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

○4
Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 47 + 67 = 50 + ___
So fängst du an:
47 wird zu 50: 3 mehr.
Lösung zeigen
1. 47 wird zu 50: 3 mehr.
2. Also muss 67 um 3 kleiner werden: 67 − 3 = 64
3. 50 + 64 = 114
Ergebnis:
64
●5
Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 297 + 48
Lösung zeigen
1. 297 bekommt 3 dazu, 48 gibt 3 ab.
2. 297 + 48 = 300 + 45
3. 300 + 45 = 345
Ergebnis:
345
★6
Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 1997 + 714 = 2000 + ___
Lösung zeigen
1. 1997 wird zu 2000: 3 mehr.
2. Also muss 714 um 3 kleiner werden: 714 − 3 = 711
3. 2000 + 711 = 2711
Ergebnis:
711

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 59

Schritt für Schritt

59 = 60 − 1
6 · 60 = 360 und 6 · 1 = 6
360 − 6 = 354

59 = 60 − 1
6 · 60 = 360 und 6 · 1 = 6
360 − 6 = 354

Ergebnis:

354

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht

7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288

So richtig

7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

○7
Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 49
So fängst du an:
49 = 40 + 9
Lösung zeigen
1. 49 = 40 + 9
2. 9 · 40 = 360 und 9 · 9 = 81
3. 360 + 81 = 441
Ergebnis:
441
●8
Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 67
Lösung zeigen
1. 67 = 60 + 7
2. 3 · 60 = 180 und 3 · 7 = 21
3. 180 + 21 = 201
Ergebnis:
201
★9
Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 68
Lösung zeigen
1. 68 = 60 + 8
2. 3 · 60 = 180 und 3 · 8 = 24
3. 180 + 24 = 204
Ergebnis:
204

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 328 : 8

Schritt für Schritt

328 = 320 + 8
320 : 8 = 40 und 8 : 8 = 1
40 + 1 = 41

328 = 320 + 8
320 : 8 = 40 und 8 : 8 = 1
40 + 1 = 41

Ergebnis:

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht

385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben

So richtig

385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

○10
Zerlege 76 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 76 : 4?
So fängst du an:
76 = 40 + 36
Lösung zeigen
1. 76 = 40 + 36
2. 40 : 4 = 10 und 36 : 4 = 9
3. 10 + 9 = 19
Ergebnis:
19
●11
Rechne halbschriftlich: 110 : 5
Lösung zeigen
1. 110 = 100 + 10
2. 100 : 5 = 20 und 10 : 5 = 2
3. 20 + 2 = 22
Ergebnis:
22
★12
Rechne halbschriftlich: 1557 : 9
Lösung zeigen
1. 1557 = 1530 + 27
2. 1530 : 9 = 170 und 27 : 9 = 3
3. 170 + 3 = 173
Ergebnis:
173

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 77 + 80 = 80 + ___

Schritt für Schritt

77 wird zu 80: 3 mehr.
Damit die Summe gleich bleibt, wird 80 um 3 kleiner.
80 − 3 = 77

77 wird zu 80: 3 mehr.
Damit die Summe gleich bleibt, wird 80 um 3 kleiner.
80 − 3 = 77

Ergebnis:

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht

9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98

So richtig

9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

○13
Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 12 · 14 = 6 · ___
So fängst du an:
12 wird halb so groß: 6.
Lösung zeigen
1. 12 wird halb so groß: 6.
2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
3. 14 · 2 = 28
Ergebnis:
28
●14
Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 12 · 11 = 6 · ___
Lösung zeigen
1. 12 wird halb so groß: 6.
2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 11 doppelt so groß.
3. 11 · 2 = 22
Ergebnis:
22
★15
Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 6 · 42 + 6 · 9 = 6 · ___
Lösung zeigen
1. Beide Produkte haben den Faktor 6.
2. 6 mal 42 und 6 mal 9 sind zusammen 6 mal (42 + 9).
3. 42 + 9 = 51
Ergebnis:
51

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5

Schritt für Schritt

18 · 5 = 9 · 10
9 · 10 = 90

18 · 5 = 9 · 10
9 · 10 = 90

Ergebnis:

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht

8 · 25 → 16 · 50 = 800

So richtig

8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

○16
Lina verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
So fängst du an:
Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
Lösung zeigen
1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 70
●17
Tom verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Lösung zeigen
1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 70
★18
Warum ist 18 · 45 dasselbe wie 9 · 90? Rechne dann geschickt.
Lösung zeigen
1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
2. 18 · 45 = 9 · 90
3. 9 · 90 = 810
Ergebnis:
810

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 8 · 85? Nenne ihn. Rechne danach.

Schritt für Schritt

Den zweiten Faktor zerlegen: 85 = 80 + 5.
8 · 80 = 640 und 8 · 5 = 40
Zusammen: 680

Den zweiten Faktor zerlegen: 85 = 80 + 5.
8 · 80 = 640 und 8 · 5 = 40
Zusammen: 680

Ergebnis:

zerlegen, 680

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht

299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447

So richtig

299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

○19
Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 7 · 40? Nenne ihn. Rechne danach.
So fängst du an:
Den zweiten Faktor zerlegen: 40 = 40 + 0.
Lösung zeigen
1. Den zweiten Faktor zerlegen: 40 = 40 + 0.
2. 7 · 40 = 280 und 7 · 0 = 0
3. Zusammen: 280
Ergebnis:
zerlegen, 280
●20
Welcher Weg passt zu 349 + 598? Nenne ihn. Rechne danach.
Lösung zeigen
1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
2. 349 + 598 = 347 + 600
3. 347 + 600 = 947
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 947
★21
Wie rechnest du am schnellsten: 297 + 497? Nenne ihn. Rechne danach.
Lösung zeigen
1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
2. 297 + 497 = 294 + 500
3. 294 + 500 = 794
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 794

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Aylin erhält für 50 · 38 das Ergebnis 1900. Prüfe mit einem Überschlag.

Schritt für Schritt

Überschlag: 50 · 40 = 2000
1900 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 50 · 38 = 1900
Das Ergebnis stimmt.

Überschlag: 50 · 40 = 2000
1900 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 50 · 38 = 1900
Das Ergebnis stimmt.

Ergebnis:

stimmt, 1900

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht

425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft

So richtig

425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

○22
Aylin erhält für 66 · 43 das Ergebnis 2838. Prüfe mit einem Überschlag.
So fängst du an:
Überschlag: 70 · 40 = 2800
Lösung zeigen
1. Überschlag: 70 · 40 = 2800
2. 2838 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 66 · 43 = 2838
3. Das Ergebnis stimmt.
Ergebnis:
stimmt, 2838
●23
Lina erhält für 66 · 23 das Ergebnis 1318. Prüfe mit einem Überschlag.
Lösung zeigen
1. Überschlag: 70 · 20 = 1400
2. 1318 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 66 · 23 = 1518
3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 1518
★24
Elias erhält für 444 · 24 das Ergebnis 10.656. Prüfe mit einem Überschlag.
Lösung zeigen
1. Überschlag: 400 · 20 = 8000
2. 10.656 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 444 · 24 = 10.656
3. Das Ergebnis stimmt.
Ergebnis:
stimmt, 10.656

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Rechne geschickt: 19 + 79 + 21
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 19 + 21 + 79
2. 19 + 21 = 40
3. 40 + 79 = 119
Ergebnis:
119
●26
In einem Lager stehen 2 Regale mit je 5 Kisten. In jeder Kiste sind 16 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
Lösung zeigen
1. Bälle: 2 · 5 · 16
2. 2 · 5 = 10
3. 10 · 16 = 160
Ergebnis:
160 Bälle
●27
Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 67 + 64
Lösung zeigen
1. 67 bekommt 3 dazu, 64 gibt 3 ab.
2. 67 + 64 = 70 + 61
3. 70 + 61 = 131
Ergebnis:
131
●28
Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 62 − 38
Lösung zeigen
1. Beide Zahlen um 2 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
2. 62 − 38 = 64 − 40
3. 64 − 40 = 24
Ergebnis:
24
●29
Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 39
Lösung zeigen
1. 39 = 40 − 1
2. 5 · 40 = 200 und 5 · 1 = 5
3. 200 − 5 = 195
Ergebnis:
195
●30
Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 3 · 25?
Lösung zeigen
1. Links: 3 · 20 = 60
2. Rechts: 3 · 5 = 15
3. 3 · 25 = 60 + 15 = 75
Ergebnis:
3 · 20 und 3 · 5, zusammen 75

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen: Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig: Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen: Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen: Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert: Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren: Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen: Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe: Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.
31
Rechne geschickt: 13 + 59 + 37
Lösung zeigen
Ergebnis:
109
Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.
32
Emma rechnet 38 + 86 als 40 + 86. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
Lösung zeigen
Ergebnis:
124
Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.
33
Es gibt 5 Reihen mit je 58 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Lösung zeigen
Ergebnis:
290 Stühle
Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.
34
Zerlege 324 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 324 : 9?
Lösung zeigen
Ergebnis:
36
Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.
35
Ergänze die Lücke: 80 − 75 = ___ − 76
Lösung zeigen
Ergebnis:
81
Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.
36
Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
Lösung zeigen
Ergebnis:
200
Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.
37
Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 43 + 77 + 57? Nenne ihn. Rechne danach.
Lösung zeigen
Ergebnis:
vertauschen, 177
Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.
38
Noah erhält für 66 · 14 das Ergebnis 1024. Prüfe mit einem Überschlag.
Lösung zeigen
Ergebnis:
falsch, richtig ist 924

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz: was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt: was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe: was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

76
125
728
64
345
711
441
201
204
19
22
173
28
22
51
Nein, viermal so groß; richtig ist 70
Nein, viermal so groß; richtig ist 70
810
zerlegen, 280
gegensinnig verändern, 947
gegensinnig verändern, 794
stimmt, 2838
falsch, richtig ist 1518
stimmt, 10.656
119
160 Bälle
131
24
195
3 · 20 und 3 · 5, zusammen 75
109
124
290 Stühle
36
81
200
vertauschen, 177
falsch, richtig ist 924
12
42
30
17