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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 17 − 4 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 3 = 12
    2. 17 − 12 = 5
    Ergebnis:
    5
  2. ●40
    Rechne: (3 + 7) · 8
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 3 + 7 = 10
    2. 10 · 8 = 80
    Ergebnis:
    80

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 4 + 7 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 7 · 8 = 56
    2. 4 + 56 = 60
    Ergebnis:
    60
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 10 und erhalte 36. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    26

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 11 + 15 + 9 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
11159
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 11 + 9 + 15
  2. 11 + 9 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 15 = 35
  1. Vertauschen: 11 + 9 + 15
  2. 11 + 9 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 15 = 35
Ergebnis:
35

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Paul rechnet 14 + 19 + 6 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    14196
    So fängst du an:
    Vertauschen: 14 + 6 + 19
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 6 + 19
    2. 14 + 6 = 20
    3. 20 + 19 = 39
    Ergebnis:
    39
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 4 + 48 + 36 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    44836
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 4 + 36 + 48
    2. 4 + 36 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 48 = 88
    Ergebnis:
    88
  3. ★3
    Lea rechnet 44 + 323 + 65 + 56 + 35 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    44323655635
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 44 + 56 + 65 + 35 + 323
    2. 44 + 56 = 100 und 65 + 35 = 100
    3. 100 + 100 + 323 = 523
    Ergebnis:
    523

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 37 + 87 = 40 + ___
3787
Schritt für Schritt
  1. 37 wird zu 40: 3 mehr.
  2. Also muss 87 um 3 kleiner werden: 87 − 3 = 84
  3. 40 + 84 = 124
  1. 37 wird zu 40: 3 mehr.
  2. Also muss 87 um 3 kleiner werden: 87 − 3 = 84
  3. 40 + 84 = 124
Ergebnis:
84

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 47 + 49
    4749
    So fängst du an:
    47 bekommt 3 dazu, 49 gibt 3 ab.
    Lösung zeigen
    1. 47 bekommt 3 dazu, 49 gibt 3 ab.
    2. 47 + 49 = 50 + 46
    3. 50 + 46 = 96
    Ergebnis:
    96
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 299 + 29
    29929
    Lösung zeigen
    1. 299 bekommt 1 dazu, 29 gibt 1 ab.
    2. 299 + 29 = 300 + 28
    3. 300 + 28 = 328
    Ergebnis:
    328
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 396 + 375
    396375
    Lösung zeigen
    1. 396 bekommt 4 dazu, 375 gibt 4 ab.
    2. 396 + 375 = 400 + 371
    3. 400 + 371 = 771
    Ergebnis:
    771

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 49
Schritt für Schritt
  1. 49 = 50 − 1
  2. 7 · 50 = 350 und 7 · 1 = 7
  3. 350 − 7 = 343
  1. 49 = 50 − 1
  2. 7 · 50 = 350 und 7 · 1 = 7
  3. 350 − 7 = 343
Ergebnis:
343

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 66
    So fängst du an:
    66 = 60 + 6
    Lösung zeigen
    1. 66 = 60 + 6
    2. 5 · 60 = 300 und 5 · 6 = 30
    3. 300 + 30 = 330
    Ergebnis:
    330
  2. ●8
    Es gibt 5 Hefte mit je 21 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 21
    2. 21 = 20 + 1
    3. 5 · 20 = 100 und 5 · 1 = 5
    4. 100 + 5 = 105
    Ergebnis:
    105 Hefte
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 4 · 399
    Lösung zeigen
    1. 399 = 300 + 90 + 9
    2. 4 · 300 = 1200; 4 · 90 = 360; 4 · 9 = 36
    3. 1200 + 360 + 36 = 1596
    Ergebnis:
    1596

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 248 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 248 : 4?
248: 4
Schritt für Schritt
  1. 248 = 240 + 8
  2. 240 : 4 = 60 und 8 : 4 = 2
  3. 60 + 2 = 62
  1. 248 = 240 + 8
  2. 240 : 4 = 60 und 8 : 4 = 2
  3. 60 + 2 = 62
Ergebnis:
62

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 261 : 9
    So fängst du an:
    261 = 180 + 81
    Lösung zeigen
    1. 261 = 180 + 81
    2. 180 : 9 = 20 und 81 : 9 = 9
    3. 20 + 9 = 29
    Ergebnis:
    29
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 119 : 7
    Lösung zeigen
    1. 119 = 70 + 49
    2. 70 : 7 = 10 und 49 : 7 = 7
    3. 10 + 7 = 17
    Ergebnis:
    17
  3. ★12
    Zerlege 507 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 507 : 3?
    507: 3
    Lösung zeigen
    1. 507 = 480 + 27
    2. 480 : 3 = 160 und 27 : 3 = 9
    3. 160 + 9 = 169
    Ergebnis:
    169

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 18 · 8 = 9 · ___
18 · 8=9 · ?
Schritt für Schritt
  1. 18 wird halb so groß: 9.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
  3. 8 · 2 = 16
  1. 18 wird halb so groß: 9.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
  3. 8 · 2 = 16
Ergebnis:
16

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 8 · 7 = 4 · ___
    8 · 7=4 · ?
    So fängst du an:
    8 wird halb so groß: 4.
    Lösung zeigen
    1. 8 wird halb so groß: 4.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 7 doppelt so groß.
    3. 7 · 2 = 14
    Ergebnis:
    14
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 14 · 13 = 7 · ___
    14 · 13=7 · ?
    Lösung zeigen
    1. 14 wird halb so groß: 7.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
    3. 13 · 2 = 26
    Ergebnis:
    26
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 6 · 15 = 3 · ___
    6 · 15=3 · ?
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 15 doppelt so groß.
    3. 15 · 2 = 30
    Ergebnis:
    30

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Mia verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Lina verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    Lösung zeigen
    1. 16 · 25 = 8 · 50
    2. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ★18
    Mia verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 5 · 68? Nenne ihn. Rechne danach.
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 68 = 60 + 8.
  2. 5 · 60 = 300 und 5 · 8 = 40
  3. Zusammen: 340
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 68 = 60 + 8.
  2. 5 · 60 = 300 und 5 · 8 = 40
  3. Zusammen: 340
Ergebnis:
zerlegen, 340

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 47 + 32 + 53? Nenne ihn. Rechne danach.
    47 + 32 + 53zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 47 + 53 = 100
    3. 100 + 32 = 132
    Ergebnis:
    vertauschen, 132
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 26 + 49 + 74? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 26 + 74 = 100
    3. 100 + 49 = 149
    Ergebnis:
    vertauschen, 149
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 348 + 497? Nenne ihn. Rechne danach.
    348 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 348 + 497 = 345 + 500
    3. 345 + 500 = 845
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 845

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Lea rechnet 680 : 8 und erhält 85. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
680 : 8Ergebnis 85?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 85 · 8 = 680
  2. 680 ist genau 680: Es stimmt.
  3. 680 : 8 = 85
  1. Umkehraufgabe: 85 · 8 = 680
  2. 680 ist genau 680: Es stimmt.
  3. 680 : 8 = 85
Ergebnis:
stimmt, 85

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Elias erhält für 89 · 19 das Ergebnis 1791. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 90 · 20 = 1800
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 90 · 20 = 1800
    2. 1791 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 89 · 19 = 1691
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1691
  2. ●23
    Can erhält für 79 · 34 das Ergebnis 2686. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 80 · 30 = 2400
    2. 2686 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 79 · 34 = 2686
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 2686
  3. ★24
    Jonas rechnet 3309 − 2045 und erhält 1364. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 1364 + 2045 = 3409
    2. 3409 ist nicht 3309: Es ist falsch.
    3. 3309 − 2045 = 1264
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1264

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Milan rechnet 92 + 21 + 8 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    92218
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 92 + 8 + 21
    2. 92 + 8 = 100
    3. 100 + 21 = 121
    Ergebnis:
    121
  2. ●26
    Rechne geschickt: 5 · 3 · 2
    532
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 · 2 · 3
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 3 = 30
    Ergebnis:
    30
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 298 + 69 = 300 + ___
    29869
    Lösung zeigen
    1. 298 wird zu 300: 2 mehr.
    2. Also muss 69 um 2 kleiner werden: 69 − 2 = 67
    3. 300 + 67 = 367
    Ergebnis:
    67
  4. ●28
    Lina rechnet 30 − 17 als 30 − 20 und erhält 10. Ist das schon das Ergebnis?
    30 − 1730 − 20
    Lösung zeigen
    1. Lina hat 3 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 10 + 3 = 13
    Ergebnis:
    Nein, 13
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 35
    Lösung zeigen
    1. 35 = 30 + 5
    2. 3 · 30 = 90 und 3 · 5 = 15
    3. 90 + 15 = 105
    Ergebnis:
    105
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 5 · 28?
    2085
    Lösung zeigen
    1. Links: 5 · 20 = 100
    2. Rechts: 5 · 8 = 40
    3. 5 · 28 = 100 + 40 = 140
    Ergebnis:
    5 · 20 und 5 · 8, zusammen 140

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Zeynep rechnet 46 + 41 + 4 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    46414
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    91

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 38 + 44 = 40 + ___
    3844
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    42

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 5 Reihen mit je 41 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    205 Stühle

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    201 Sticker werden gleichmäßig auf 3 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    67 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 8 · 4 = 4 · ___
    8 · 4=4 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 16 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Mia rechnet 447 − 261 und erhält 176. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 186

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 39
  2. 88
  3. 523
  4. 96
  5. 328
  6. 771
  7. 330
  8. 105 Hefte
  9. 1596
  10. 29
  11. 17
  12. 169
  13. 14
  14. 26
  15. 30
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  17. 400
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  19. vertauschen, 132
  20. vertauschen, 149
  21. gegensinnig verändern, 845
  22. falsch, richtig ist 1691
  23. stimmt, 2686
  24. falsch, richtig ist 1264
  25. 121
  26. 30
  27. 67
  28. Nein, 13
  29. 105
  30. 5 · 20 und 5 · 8, zusammen 140
  31. 91
  32. 42
  33. 205 Stühle
  34. 67 Sticker
  35. 8
  36. 200
  37. halbieren und verdoppeln, 80
  38. falsch, richtig ist 186
  39. 5
  40. 80
  41. 60
  42. 26