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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 37 − 3 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 5 = 15
    2. 37 − 15 = 22
    Ergebnis:
    22
  2. ●40
    Rechne: (9 + 6) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 9 + 6 = 15
    2. 15 · 6 = 90
    Ergebnis:
    90

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 3 + 4 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 6 = 24
    2. 3 + 24 = 27
    Ergebnis:
    27
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 37 und erhalte 54. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    17

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Lea rechnet 24 + 15 + 6 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
24156
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 24 + 6 + 15
  2. 24 + 6 = 30
  3. 30 + 15 = 45
  1. Vertauschen: 24 + 6 + 15
  2. 24 + 6 = 30
  3. 30 + 15 = 45
Ergebnis:
45

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 44 + 54 + 6
    44546
    So fängst du an:
    Vertauschen: 44 + 6 + 54
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 44 + 6 + 54
    2. 44 + 6 = 50
    3. 50 + 54 = 104
    Ergebnis:
    104
  2. ●2
    Rechne geschickt: 14 + 84 + 6
    14846
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 6 + 84
    2. 14 + 6 = 20
    3. 20 + 84 = 104
    Ergebnis:
    104
  3. ★3
    Emma rechnet 36 + 635 + 264 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    36635264
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 36 + 264 + 635
    2. 36 + 264 = 300
    3. 300 + 635 = 935
    Ergebnis:
    935

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 48 + 89 = 50 + ___
4889
Schritt für Schritt
  1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
  2. Also muss 89 um 2 kleiner werden: 89 − 2 = 87
  3. 50 + 87 = 137
  1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
  2. Also muss 89 um 2 kleiner werden: 89 − 2 = 87
  3. 50 + 87 = 137
Ergebnis:
87

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Paul rechnet 197 + 89 als 200 + 89. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    19789
    So fängst du an:
    Paul hat 197 um 3 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Paul hat 197 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 200 + 89 = 289.
    3. 3 wieder abziehen: 289 − 3 = 286
    Ergebnis:
    286
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 198 + 95
    19895
    Lösung zeigen
    1. 198 bekommt 2 dazu, 95 gibt 2 ab.
    2. 198 + 95 = 200 + 93
    3. 200 + 93 = 293
    Ergebnis:
    293
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 698 + 794
    698794
    Lösung zeigen
    1. 698 bekommt 2 dazu, 794 gibt 2 ab.
    2. 698 + 794 = 700 + 792
    3. 700 + 792 = 1492
    Ergebnis:
    1492

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 19
Schritt für Schritt
  1. 19 = 20 − 1
  2. 9 · 20 = 180 und 9 · 1 = 9
  3. 180 − 9 = 171
  1. 19 = 20 − 1
  2. 9 · 20 = 180 und 9 · 1 = 9
  3. 180 − 9 = 171
Ergebnis:
171

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 62
    So fängst du an:
    62 = 60 + 2
    Lösung zeigen
    1. 62 = 60 + 2
    2. 3 · 60 = 180 und 3 · 2 = 6
    3. 180 + 6 = 186
    Ergebnis:
    186
  2. ●8
    Es gibt 9 Tüten mit je 45 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 45
    2. 45 = 40 + 5
    3. 9 · 40 = 360 und 9 · 5 = 45
    4. 360 + 45 = 405
    Ergebnis:
    405 Bonbons
  3. ★9
    Es gibt 5 Reihen mit je 37 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 37
    2. 37 = 30 + 7
    3. 5 · 30 = 150 und 5 · 7 = 35
    4. 150 + 35 = 185
    Ergebnis:
    185 Stühle

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 408 : 6
Schritt für Schritt
  1. 408 = 360 + 48
  2. 360 : 6 = 60 und 48 : 6 = 8
  3. 60 + 8 = 68
  1. 408 = 360 + 48
  2. 360 : 6 = 60 und 48 : 6 = 8
  3. 60 + 8 = 68
Ergebnis:
68

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    45 Sticker werden gleichmäßig auf 3 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    45 : 3
    Lösung zeigen
    1. 45 : 3
    2. 45 = 30 + 15
    3. 30 : 3 = 10 und 15 : 3 = 5
    4. 10 + 5 = 15
    Ergebnis:
    15 Sticker
  2. ●11
    72 Sticker werden gleichmäßig auf 4 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 72 : 4
    2. 72 = 40 + 32
    3. 40 : 4 = 10 und 32 : 4 = 8
    4. 10 + 8 = 18
    Ergebnis:
    18 Sticker
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 1323 : 7
    Lösung zeigen
    1. 1323 = 1260 + 63
    2. 1260 : 7 = 180 und 63 : 7 = 9
    3. 180 + 9 = 189
    Ergebnis:
    189

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 54 − 36 = ___ − 41
Schritt für Schritt
  1. 36 wird zu 41: 5 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 54 um 5 größer.
  3. 54 + 5 = 59
  1. 36 wird zu 41: 5 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 54 um 5 größer.
  3. 54 + 5 = 59
Ergebnis:
59

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 36 + 36 = 37 + ___
    36 + 36=37 + ?
    So fängst du an:
    36 wird zu 37: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 36 wird zu 37: 1 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 36 um 1 kleiner.
    3. 36 − 1 = 35
    Ergebnis:
    35
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 15 + 48 = 16 + ___
    Lösung zeigen
    1. 15 wird zu 16: 1 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 48 um 1 kleiner.
    3. 48 − 1 = 47
    Ergebnis:
    47
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 95 − 75 = ___ − 85
    Lösung zeigen
    1. 75 wird zu 85: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 95 um 10 größer.
    3. 95 + 10 = 105
    Ergebnis:
    105

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Milan verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    So fängst du an:
    8 · 25 = 4 · 50
    Lösung zeigen
    1. 8 · 25 = 4 · 50
    2. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  2. ●17
    Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 35
    Lösung zeigen
    1. 14 · 35 = 7 · 70
    2. 7 · 70 = 490
    Ergebnis:
    490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 8 · 88? Nenne ihn. Rechne danach.
8 · 88zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 88 = 80 + 8.
  2. 8 · 80 = 640 und 8 · 8 = 64
  3. Zusammen: 704
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 88 = 80 + 8.
  2. 8 · 80 = 640 und 8 · 8 = 64
  3. Zusammen: 704
Ergebnis:
zerlegen, 704

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 328 + 598? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    2. 328 + 598 = 326 + 600
    3. 326 + 600 = 926
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 926
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 30 + 62 + 70? Nenne ihn. Rechne danach.
    30 + 62 + 70zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 30 + 70 = 100
    3. 100 + 62 = 162
    Ergebnis:
    vertauschen, 162
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 336 + 399? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    2. 336 + 399 = 335 + 400
    3. 335 + 400 = 735
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 735

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Can erhält für 26 · 29 das Ergebnis 754. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 30 · 30 = 900
  2. 754 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 26 · 29 = 754
  3. Das Ergebnis stimmt.
  1. Überschlag: 30 · 30 = 900
  2. 754 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 26 · 29 = 754
  3. Das Ergebnis stimmt.
Ergebnis:
stimmt, 754

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Milan erhält für 64 · 33 das Ergebnis 2212. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 60 · 30 = 1800
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 60 · 30 = 1800
    2. 2212 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 64 · 33 = 2112
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2112
  2. ●23
    Emma erhält für 42 · 24 das Ergebnis 908. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 40 · 20 = 800
    2. 908 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 42 · 24 = 1008
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1008
  3. ★24
    Aylin rechnet 7158 − 2537 und erhält 4611. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 4611 + 2537 = 7148
    2. 7148 ist nicht 7158: Es ist falsch.
    3. 7158 − 2537 = 4621
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 4621

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 23 + 64 + 27
    236427
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 23 + 27 + 64
    2. 23 + 27 = 50
    3. 50 + 64 = 114
    Ergebnis:
    114
  2. ●26
    In einem Lager stehen 50 Regale mit je 2 Packungen. In jeder Packung sind 8 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    50 Regale2 Packungen8 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 50 · 2 · 8
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 8 = 800
    Ergebnis:
    800 Bälle
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 38 + 54 = 40 + ___
    3854
    Lösung zeigen
    1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
    2. Also muss 54 um 2 kleiner werden: 54 − 2 = 52
    3. 40 + 52 = 92
    Ergebnis:
    52
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 178 − 98 = ___ − 100
    Lösung zeigen
    1. 98 wird zu 100: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 178 um 2 größer: 180.
    3. 180 − 100 = 80
    Ergebnis:
    180
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 37
    Lösung zeigen
    1. 37 = 30 + 7
    2. 8 · 30 = 240 und 8 · 7 = 56
    3. 240 + 56 = 296
    Ergebnis:
    296
  6. ●30
    Paul rechnet 4 · 18 so: erst 4 · 10, dann 8 dazu. Paul erhält 48. Zeige am Bild, was fehlt.
    1084
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 4 Reihen mit je 8 Kästchen, nicht nur 8.
    2. Rechter Teil: 4 · 8 = 32
    3. 40 + 32 = 72
    Ergebnis:
    72

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 43 + 66 + 7 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    43667
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    116

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 299 + 43
    29943
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    342

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 5 Tüten mit je 59 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    295 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    342 Murmeln werden gleichmäßig auf 9 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    38 Murmeln

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 89 + 83 = 92 + ___
    89 + 83=92 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    80

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 7 · 28? Nenne ihn. Rechne danach.
    7 · 28zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 196

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Lea erhält für 78 · 29 das Ergebnis 3262. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2262

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 104
  2. 104
  3. 935
  4. 286
  5. 293
  6. 1492
  7. 186
  8. 405 Bonbons
  9. 185 Stühle
  10. 15 Sticker
  11. 18 Sticker
  12. 189
  13. 35
  14. 47
  15. 105
  16. 200
  17. 200
  18. 490
  19. gegensinnig verändern, 926
  20. vertauschen, 162
  21. gegensinnig verändern, 735
  22. falsch, richtig ist 2112
  23. falsch, richtig ist 1008
  24. falsch, richtig ist 4621
  25. 114
  26. 800 Bälle
  27. 52
  28. 180
  29. 296
  30. 72
  31. 116
  32. 342
  33. 295 Bonbons
  34. 38 Murmeln
  35. 80
  36. 200
  37. zerlegen, 196
  38. falsch, richtig ist 2262
  39. 22
  40. 90
  41. 27
  42. 17