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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 3 + 2 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 3 = 6
    2. 3 + 6 = 9
    Ergebnis:
    9
  2. ●40
    Rechne: (6 + 7) · 4
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 6 + 7 = 13
    2. 13 · 4 = 52
    Ergebnis:
    52

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 2 + 7 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 7 · 3 = 21
    2. 2 + 21 = 23
    Ergebnis:
    23
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 14 und erhalte 24. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 15 + 61 + 5 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
15615
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 15 + 5 + 61
  2. 15 + 5 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 61 = 81
  1. Vertauschen: 15 + 5 + 61
  2. 15 + 5 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 61 = 81
Ergebnis:
81

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lea rechnet 15 + 63 + 85 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    156385
    So fängst du an:
    Vertauschen: 15 + 85 + 63
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 15 + 85 + 63
    2. 15 + 85 = 100
    3. 100 + 63 = 163
    Ergebnis:
    163
  2. ●2
    Rechne geschickt: 46 + 13 + 14
    461314
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 46 + 14 + 13
    2. 46 + 14 = 60
    3. 60 + 13 = 73
    Ergebnis:
    73
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 178 + 733 + 56 + 822 + 44 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    1787335682244
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 178 + 822 + 56 + 44 + 733
    2. 178 + 822 = 1000 und 56 + 44 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 1000 + 100 + 733 = 1833
    Ergebnis:
    1833

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 48 + 38 = 50 + ___
4838
Schritt für Schritt
  1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
  2. Also muss 38 um 2 kleiner werden: 38 − 2 = 36
  3. 50 + 36 = 86
  1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
  2. Also muss 38 um 2 kleiner werden: 38 − 2 = 36
  3. 50 + 36 = 86
Ergebnis:
36

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Elias rechnet 197 + 37 als 200 + 37. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
    19737
    So fängst du an:
    Elias hat 197 um 3 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Elias hat 197 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 200 + 37 = 237.
    3. 3 wieder abziehen: 237 − 3 = 234
    Ergebnis:
    234
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 48 + 77 = 50 + ___
    4877
    Lösung zeigen
    1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
    2. Also muss 77 um 2 kleiner werden: 77 − 2 = 75
    3. 50 + 75 = 125
    Ergebnis:
    75
  3. ★6
    Lina rechnet 998 + 748 als 1000 + 748. Was muss Lina danach noch tun? Was kommt heraus?
    998748
    Lösung zeigen
    1. Lina hat 998 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 1000 + 748 = 1748.
    3. 2 wieder abziehen: 1748 − 2 = 1746
    Ergebnis:
    1746

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 64
Schritt für Schritt
  1. 64 = 60 + 4
  2. 7 · 60 = 420 und 7 · 4 = 28
  3. 420 + 28 = 448
  1. 64 = 60 + 4
  2. 7 · 60 = 420 und 7 · 4 = 28
  3. 420 + 28 = 448
Ergebnis:
448

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 49
    So fängst du an:
    49 = 50 − 1
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 7 · 50 = 350 und 7 · 1 = 7
    3. 350 − 7 = 343
    Ergebnis:
    343
  2. ●8
    Es gibt 6 Reihen mit je 53 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 6 · 53
    2. 53 = 50 + 3
    3. 6 · 50 = 300 und 6 · 3 = 18
    4. 300 + 18 = 318
    Ergebnis:
    318 Stühle
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 198
    Lösung zeigen
    1. 198 = 200 − 2
    2. 6 · 200 = 1200 und 6 · 2 = 12
    3. 1200 − 12 = 1188
    Ergebnis:
    1188

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 235 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 235 : 5?
235: 5
Schritt für Schritt
  1. 235 = 200 + 35
  2. 200 : 5 = 40 und 35 : 5 = 7
  3. 40 + 7 = 47
  1. 235 = 200 + 35
  2. 200 : 5 = 40 und 35 : 5 = 7
  3. 40 + 7 = 47
Ergebnis:
47

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 402 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 402 : 6?
    402: 6
    So fängst du an:
    402 = 360 + 42
    Lösung zeigen
    1. 402 = 360 + 42
    2. 360 : 6 = 60 und 42 : 6 = 7
    3. 60 + 7 = 67
    Ergebnis:
    67
  2. ●11
    228 Murmeln werden gleichmäßig auf 4 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 228 : 4
    2. 228 = 200 + 28
    3. 200 : 4 = 50 und 28 : 4 = 7
    4. 50 + 7 = 57
    Ergebnis:
    57 Murmeln
  3. ★12
    747 Murmeln werden gleichmäßig auf 9 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 747 : 9
    2. 747 = 720 + 27
    3. 720 : 9 = 80 und 27 : 9 = 3
    4. 80 + 3 = 83
    Ergebnis:
    83 Murmeln

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 73 − 53 = ___ − 63
Schritt für Schritt
  1. 53 wird zu 63: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 73 um 10 größer.
  3. 73 + 10 = 83
  1. 53 wird zu 63: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 73 um 10 größer.
  3. 73 + 10 = 83
Ergebnis:
83

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 44 + 28 = 42 + ___
    44 + 28=42 + ?
    So fängst du an:
    44 wird zu 42: 2 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 44 wird zu 42: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 28 um 2 größer.
    3. 28 + 2 = 30
    Ergebnis:
    30
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 60 − 40 = ___ − 45
    Lösung zeigen
    1. 40 wird zu 45: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 60 um 5 größer.
    3. 60 + 5 = 65
    Ergebnis:
    65
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 47 − 32 = ___ − 33
    Lösung zeigen
    1. 32 wird zu 33: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 47 um 1 größer.
    3. 47 + 1 = 48
    Ergebnis:
    48

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
Schritt für Schritt
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
Ergebnis:
180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  2. ●17
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ★18
    Sofia verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 205 + 497? Nenne ihn. Rechne danach.
Schritt für Schritt
  1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
  2. 205 + 497 = 202 + 500
  3. 202 + 500 = 702
  1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
  2. 205 + 497 = 202 + 500
  3. 202 + 500 = 702
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 702

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 57? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 57 = 50 + 7.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 57 = 50 + 7.
    2. 8 · 50 = 400 und 8 · 7 = 56
    3. Zusammen: 456
    Ergebnis:
    zerlegen, 456
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 386 + 198? Nenne ihn. Rechne danach.
    386 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 386 + 198 = 384 + 200
    3. 384 + 200 = 584
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 584
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 5 · 76? Nenne ihn. Rechne danach.
    5 · 76zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 76 = 70 + 6.
    2. 5 · 70 = 350 und 5 · 6 = 30
    3. Zusammen: 380
    Ergebnis:
    zerlegen, 380

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Aylin erhält für 65 · 25 das Ergebnis 1625. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 70 · 30 = 2100
  2. 1625 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 65 · 25 = 1625
  3. Das Ergebnis stimmt.
  1. Überschlag: 70 · 30 = 2100
  2. 1625 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 65 · 25 = 1625
  3. Das Ergebnis stimmt.
Ergebnis:
stimmt, 1625

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Can rechnet 738 − 149 und erhält 609. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 609 + 149 = 758
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 609 + 149 = 758
    2. 758 ist nicht 738: Es ist falsch.
    3. 738 − 149 = 589
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 589
  2. ●23
    Paul rechnet 846 : 9 und erhält 104. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    846 : 9Ergebnis 104?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 104 · 9 = 936
    2. 936 ist nicht 846: Es ist falsch.
    3. 846 : 9 = 94
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 94
  3. ★24
    Zeynep rechnet 5652 − 698 und erhält 4954. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 4954 + 698 = 5652
    2. 5652 ist genau 5652: Es stimmt.
    3. 5652 − 698 = 4954
    Ergebnis:
    stimmt, 4954

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Jonas rechnet 19 + 36 + 11 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    193611
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 19 + 11 + 36
    2. 19 + 11 = 30
    3. 30 + 36 = 66
    Ergebnis:
    66
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 14 · 5 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    1452
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 2 · 5 · 14
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 14 = 140
    Ergebnis:
    140
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 298 + 67 = 300 + ___
    29867
    Lösung zeigen
    1. 298 wird zu 300: 2 mehr.
    2. Also muss 67 um 2 kleiner werden: 67 − 2 = 65
    3. 300 + 65 = 365
    Ergebnis:
    65
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 44 − 18 = ___ − 20
    Lösung zeigen
    1. 18 wird zu 20: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 44 um 2 größer: 46.
    3. 46 − 20 = 26
    Ergebnis:
    46
  5. ●29
    Es gibt 7 Reihen mit je 56 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 56
    2. 56 = 50 + 6
    3. 7 · 50 = 350 und 7 · 6 = 42
    4. 350 + 42 = 392
    Ergebnis:
    392 Stühle
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 7 · 18?
    1087
    Lösung zeigen
    1. Links: 7 · 10 = 70
    2. Rechts: 7 · 8 = 56
    3. 7 · 18 = 70 + 56 = 126
    Ergebnis:
    7 · 10 und 7 · 8, zusammen 126

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 28 + 15 + 12 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    281512
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    55

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 198 + 83
    19883
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    281

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 8 Tüten mit je 25 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 258 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 258 : 6?
    258: 6
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    43

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 12 · 14 = 6 · ___
    12 · 14=6 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    28

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    210

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 41 + 25 + 59? Nenne ihn. Rechne danach.
    41 + 25 + 59zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 125

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Emma erhält für 85 · 21 das Ergebnis 1885. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1785

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 163
  2. 73
  3. 1833
  4. 234
  5. 75
  6. 1746
  7. 343
  8. 318 Stühle
  9. 1188
  10. 67
  11. 57 Murmeln
  12. 83 Murmeln
  13. 30
  14. 65
  15. 48
  16. 80
  17. 400
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  19. zerlegen, 456
  20. gegensinnig verändern, 584
  21. zerlegen, 380
  22. falsch, richtig ist 589
  23. falsch, richtig ist 94
  24. stimmt, 4954
  25. 66
  26. 140
  27. 65
  28. 46
  29. 392 Stühle
  30. 7 · 10 und 7 · 8, zusammen 126
  31. 55
  32. 281
  33. 200 Bonbons
  34. 43
  35. 28
  36. 210
  37. vertauschen, 125
  38. falsch, richtig ist 1785
  39. 9
  40. 52
  41. 23
  42. 10