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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 17 − 2 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 6 = 12
    2. 17 − 12 = 5
    Ergebnis:
    5
  2. ●40
    Rechne: (7 + 2) · 4
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 7 + 2 = 9
    2. 9 · 4 = 36
    Ergebnis:
    36

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 3 + 6 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 8 = 48
    2. 3 + 48 = 51
    Ergebnis:
    51
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 17 und erhalte 41. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    24

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 17 + 89 + 3 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
17893
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 17 + 3 + 89
  2. 17 + 3 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 89 = 109
  1. Vertauschen: 17 + 3 + 89
  2. 17 + 3 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 89 = 109
Ergebnis:
109

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 5 + 47 + 15
    54715
    So fängst du an:
    Vertauschen: 5 + 15 + 47
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 + 15 + 47
    2. 5 + 15 = 20
    3. 20 + 47 = 67
    Ergebnis:
    67
  2. ●2
    Rechne geschickt: 42 + 74 + 8
    42748
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 42 + 8 + 74
    2. 42 + 8 = 50
    3. 50 + 74 = 124
    Ergebnis:
    124
  3. ★3
    Rechne geschickt: 185 + 449 + 55 + 115 + 45
    1854495511545
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 185 + 115 + 55 + 45 + 449
    2. 185 + 115 = 300 und 55 + 45 = 100
    3. 300 + 100 + 449 = 849
    Ergebnis:
    849

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 298 + 43 = 300 + ___
29843
Schritt für Schritt
  1. 298 wird zu 300: 2 mehr.
  2. Also muss 43 um 2 kleiner werden: 43 − 2 = 41
  3. 300 + 41 = 341
  1. 298 wird zu 300: 2 mehr.
  2. Also muss 43 um 2 kleiner werden: 43 − 2 = 41
  3. 300 + 41 = 341
Ergebnis:
41

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 99 + 72
    9972
    So fängst du an:
    99 bekommt 1 dazu, 72 gibt 1 ab.
    Lösung zeigen
    1. 99 bekommt 1 dazu, 72 gibt 1 ab.
    2. 99 + 72 = 100 + 71
    3. 100 + 71 = 171
    Ergebnis:
    171
  2. ●5
    Emma rechnet 199 + 97 als 200 + 97. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
    19997
    Lösung zeigen
    1. Emma hat 199 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 200 + 97 = 297.
    3. 1 wieder abziehen: 297 − 1 = 296
    Ergebnis:
    296
  3. ★6
    Noah rechnet 397 + 784 als 400 + 784. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
    397784
    Lösung zeigen
    1. Noah hat 397 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 400 + 784 = 1184.
    3. 3 wieder abziehen: 1184 − 3 = 1181
    Ergebnis:
    1181

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 5 Reihen mit je 57 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 5 · 57
  2. 57 = 50 + 7
  3. 5 · 50 = 250 und 5 · 7 = 35
  4. 250 + 35 = 285
  1. 5 · 57
  2. 57 = 50 + 7
  3. 5 · 50 = 250 und 5 · 7 = 35
  4. 250 + 35 = 285
Ergebnis:
285 Stühle

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 44
    So fängst du an:
    44 = 40 + 4
    Lösung zeigen
    1. 44 = 40 + 4
    2. 6 · 40 = 240 und 6 · 4 = 24
    3. 240 + 24 = 264
    Ergebnis:
    264
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 35
    Lösung zeigen
    1. 35 = 30 + 5
    2. 8 · 30 = 240 und 8 · 5 = 40
    3. 240 + 40 = 280
    Ergebnis:
    280
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 71
    Lösung zeigen
    1. 71 = 70 + 1
    2. 6 · 70 = 420 und 6 · 1 = 6
    3. 420 + 6 = 426
    Ergebnis:
    426

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

156 Murmeln werden gleichmäßig auf 6 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 156 : 6
  2. 156 = 120 + 36
  3. 120 : 6 = 20 und 36 : 6 = 6
  4. 20 + 6 = 26
  1. 156 : 6
  2. 156 = 120 + 36
  3. 120 : 6 = 20 und 36 : 6 = 6
  4. 20 + 6 = 26
Ergebnis:
26 Murmeln

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 495 : 9
    So fängst du an:
    495 = 450 + 45
    Lösung zeigen
    1. 495 = 450 + 45
    2. 450 : 9 = 50 und 45 : 9 = 5
    3. 50 + 5 = 55
    Ergebnis:
    55
  2. ●11
    Zerlege 225 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 225 : 5?
    225: 5
    Lösung zeigen
    1. 225 = 200 + 25
    2. 200 : 5 = 40 und 25 : 5 = 5
    3. 40 + 5 = 45
    Ergebnis:
    45
  3. ★12
    1182 Bücher werden gleichmäßig auf 6 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 1182 : 6
    2. 1182 = 1140 + 42
    3. 1140 : 6 = 190 und 42 : 6 = 7
    4. 190 + 7 = 197
    Ergebnis:
    197 Bücher

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 84 + 54 = 74 + ___
84 + 54=74 + ?
Schritt für Schritt
  1. 84 wird zu 74: 10 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 54 um 10 größer.
  3. 54 + 10 = 64
  1. 84 wird zu 74: 10 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 54 um 10 größer.
  3. 54 + 10 = 64
Ergebnis:
64

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 38 + 66 = 41 + ___
    So fängst du an:
    38 wird zu 41: 3 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 38 wird zu 41: 3 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 66 um 3 kleiner.
    3. 66 − 3 = 63
    Ergebnis:
    63
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 16 · 9 = 8 · ___
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
    3. 9 · 2 = 18
    Ergebnis:
    18
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 14 · 9 = 7 · ___
    Lösung zeigen
    1. 14 wird halb so groß: 7.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
    3. 9 · 2 = 18
    Ergebnis:
    18

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Noah verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  2. ●17
    Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 15 = 7 · 30
    3. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  3. ★18
    Warum ist 22 · 15 dasselbe wie 11 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 22 · 15 = 11 · 30
    3. 11 · 30 = 330
    Ergebnis:
    330

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 9 · 70? Nenne ihn. Rechne danach.
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 70 = 70 + 0.
  2. 9 · 70 = 630 und 9 · 0 = 0
  3. Zusammen: 630
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 70 = 70 + 0.
  2. 9 · 70 = 630 und 9 · 0 = 0
  3. Zusammen: 630
Ergebnis:
zerlegen, 630

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 33 + 23 + 67? Nenne ihn. Rechne danach.
    33 + 23 + 67zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 33 + 67 = 100
    3. 100 + 23 = 123
    Ergebnis:
    vertauschen, 123
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 13 + 75 + 87? Nenne ihn. Rechne danach.
    13 + 75 + 87zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 13 + 87 = 100
    3. 100 + 75 = 175
    Ergebnis:
    vertauschen, 175
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 3587 − 1251? Nenne ihn. Rechne danach.
    3587 − 1251zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 3587 − 1251 = 2336
    Ergebnis:
    schriftlich, 2336

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Can rechnet 273 : 7 und erhält 49. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
273 : 7Ergebnis 49?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 49 · 7 = 343
  2. 343 ist nicht 273: Es ist falsch.
  3. 273 : 7 = 39
  1. Umkehraufgabe: 49 · 7 = 343
  2. 343 ist nicht 273: Es ist falsch.
  3. 273 : 7 = 39
Ergebnis:
falsch, richtig ist 39

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Milan rechnet 549 : 9 und erhält 63. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    549 : 9Ergebnis 63?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 63 · 9 = 567
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 63 · 9 = 567
    2. 567 ist nicht 549: Es ist falsch.
    3. 549 : 9 = 61
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 61
  2. ●23
    Lea rechnet 948 − 588 und erhält 460. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 460 + 588 = 1048
    2. 1048 ist nicht 948: Es ist falsch.
    3. 948 − 588 = 360
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 360
  3. ★24
    Milan rechnet 8055 − 172 und erhält 7983. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 7983 + 172 = 8155
    2. 8155 ist nicht 8055: Es ist falsch.
    3. 8055 − 172 = 7883
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 7883

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 51 + 37 + 9 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    51379
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 51 + 9 + 37
    2. 51 + 9 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 37 = 97
    Ergebnis:
    97
  2. ●26
    Rechne geschickt: 25 · 12 · 4
    25124
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 12
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 12 = 1200
    Ergebnis:
    1200
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 39 + 89 = 40 + ___
    3989
    Lösung zeigen
    1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
    2. Also muss 89 um 1 kleiner werden: 89 − 1 = 88
    3. 40 + 88 = 128
    Ergebnis:
    88
  4. ●28
    Lina rechnet 143 − 98 als 143 − 100 und erhält 43. Ist das schon das Ergebnis?
    143 − 98143 − 100
    Lösung zeigen
    1. Lina hat 2 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 43 + 2 = 45
    Ergebnis:
    Nein, 45
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 7 · 60 = 420 und 7 · 1 = 7
    3. 420 − 7 = 413
    Ergebnis:
    413
  6. ●30
    Sofia rechnet 6 · 14 so: erst 6 · 10, dann 4 dazu. Sofia erhält 64. Zeige am Bild, was fehlt.
    1046
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 6 Reihen mit je 4 Kästchen, nicht nur 4.
    2. Rechter Teil: 6 · 4 = 24
    3. 60 + 24 = 84
    Ergebnis:
    84

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 97 + 16 + 3
    97163
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    116

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 39 + 89
    3989
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    128

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 17
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    68

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 159 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 159 : 3?
    159: 3
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    53

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 93 − 70 = ___ − 75
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    98

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 8 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Paul erhält für 30 · 23 das Ergebnis 490. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 690

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 67
  2. 124
  3. 849
  4. 171
  5. 296
  6. 1181
  7. 264
  8. 280
  9. 426
  10. 55
  11. 45
  12. 197 Bücher
  13. 63
  14. 18
  15. 18
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  17. 210
  18. 330
  19. vertauschen, 123
  20. vertauschen, 175
  21. schriftlich, 2336
  22. falsch, richtig ist 61
  23. falsch, richtig ist 360
  24. falsch, richtig ist 7883
  25. 97
  26. 1200
  27. 88
  28. Nein, 45
  29. 413
  30. 84
  31. 116
  32. 128
  33. 68
  34. 53
  35. 98
  36. 200
  37. halbieren und verdoppeln, 200
  38. falsch, richtig ist 690
  39. 5
  40. 36
  41. 51
  42. 24