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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 7 + 3 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 6 = 18
    2. 7 + 18 = 25
    Ergebnis:
    25
  2. ●40
    Rechne: (8 + 2) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 2 = 10
    2. 10 · 6 = 60
    Ergebnis:
    60

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 8 + 4 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 7 = 28
    2. 8 + 28 = 36
    Ergebnis:
    36
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 30 und erhalte 81. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    51

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 15 + 39 + 45 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
153945
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 15 + 45 + 39
  2. 15 + 45 = 60
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 39 = 99
  1. Vertauschen: 15 + 45 + 39
  2. 15 + 45 = 60
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 39 = 99
Ergebnis:
99

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lea rechnet 5 + 37 + 25 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    53725
    So fängst du an:
    Vertauschen: 5 + 25 + 37
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 + 25 + 37
    2. 5 + 25 = 30
    3. 30 + 37 = 67
    Ergebnis:
    67
  2. ●2
    Mia rechnet 16 + 53 + 14 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    165314
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 16 + 14 + 53
    2. 16 + 14 = 30
    3. 30 + 53 = 83
    Ergebnis:
    83
  3. ★3
    Rechne geschickt: 173 + 232 + 27
    17323227
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 173 + 27 + 232
    2. 173 + 27 = 200
    3. 200 + 232 = 432
    Ergebnis:
    432

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Tom rechnet 99 + 34 als 100 + 34. Was muss Tom danach noch tun? Was kommt heraus?
9934
Schritt für Schritt
  1. Tom hat 99 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 100 + 34 = 134.
  3. 1 wieder abziehen: 134 − 1 = 133
  1. Tom hat 99 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 100 + 34 = 134.
  3. 1 wieder abziehen: 134 − 1 = 133
Ergebnis:
133

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Sofia rechnet 97 + 94 als 100 + 94. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
    9794
    So fängst du an:
    Sofia hat 97 um 3 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Sofia hat 97 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 100 + 94 = 194.
    3. 3 wieder abziehen: 194 − 3 = 191
    Ergebnis:
    191
  2. ●5
    Zeynep rechnet 38 + 26 als 40 + 26. Was muss Zeynep danach noch tun? Was kommt heraus?
    3826
    Lösung zeigen
    1. Zeynep hat 38 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 40 + 26 = 66.
    3. 2 wieder abziehen: 66 − 2 = 64
    Ergebnis:
    64
  3. ★6
    Paul rechnet 499 + 462 als 500 + 462. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    499462
    Lösung zeigen
    1. Paul hat 499 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 500 + 462 = 962.
    3. 1 wieder abziehen: 962 − 1 = 961
    Ergebnis:
    961

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 3 Reihen mit je 53 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 3 · 53
  2. 53 = 50 + 3
  3. 3 · 50 = 150 und 3 · 3 = 9
  4. 150 + 9 = 159
  1. 3 · 53
  2. 53 = 50 + 3
  3. 3 · 50 = 150 und 3 · 3 = 9
  4. 150 + 9 = 159
Ergebnis:
159 Stühle

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 65
    So fängst du an:
    65 = 60 + 5
    Lösung zeigen
    1. 65 = 60 + 5
    2. 4 · 60 = 240 und 4 · 5 = 20
    3. 240 + 20 = 260
    Ergebnis:
    260
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 29
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 9 · 30 = 270 und 9 · 1 = 9
    3. 270 − 9 = 261
    Ergebnis:
    261
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 8 · 131
    Lösung zeigen
    1. 131 = 100 + 30 + 1
    2. 8 · 100 = 800; 8 · 30 = 240; 8 · 1 = 8
    3. 800 + 240 + 8 = 1048
    Ergebnis:
    1048

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 352 : 8
Schritt für Schritt
  1. 352 = 320 + 32
  2. 320 : 8 = 40 und 32 : 8 = 4
  3. 40 + 4 = 44
  1. 352 = 320 + 32
  2. 320 : 8 = 40 und 32 : 8 = 4
  3. 40 + 4 = 44
Ergebnis:
44

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    329 Sticker werden gleichmäßig auf 7 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    329 : 7
    Lösung zeigen
    1. 329 : 7
    2. 329 = 280 + 49
    3. 280 : 7 = 40 und 49 : 7 = 7
    4. 40 + 7 = 47
    Ergebnis:
    47 Sticker
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 264 : 4
    Lösung zeigen
    1. 264 = 240 + 24
    2. 240 : 4 = 60 und 24 : 4 = 6
    3. 60 + 6 = 66
    Ergebnis:
    66
  3. ★12
    Zerlege 1377 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 1377 : 9?
    1377: 9
    Lösung zeigen
    1. 1377 = 1350 + 27
    2. 1350 : 9 = 150 und 27 : 9 = 3
    3. 150 + 3 = 153
    Ergebnis:
    153

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 28 + 18 = 31 + ___
Schritt für Schritt
  1. 28 wird zu 31: 3 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 18 um 3 kleiner.
  3. 18 − 3 = 15
  1. 28 wird zu 31: 3 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 18 um 3 kleiner.
  3. 18 − 3 = 15
Ergebnis:
15

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 85 − 16 = ___ − 26
    So fängst du an:
    16 wird zu 26: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 16 wird zu 26: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 85 um 10 größer.
    3. 85 + 10 = 95
    Ergebnis:
    95
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 66 − 50 = ___ − 51
    Lösung zeigen
    1. 50 wird zu 51: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 66 um 1 größer.
    3. 66 + 1 = 67
    Ergebnis:
    67
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 40 + 62 = 38 + ___
    40 + 62=38 + ?
    Lösung zeigen
    1. 40 wird zu 38: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 62 um 2 größer.
    3. 62 + 2 = 64
    Ergebnis:
    64

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
Schritt für Schritt
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
    So fängst du an:
    14 · 15 = 7 · 30
    Lösung zeigen
    1. 14 · 15 = 7 · 30
    2. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    Lösung zeigen
    1. 8 · 25 = 4 · 50
    2. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  3. ★18
    Can verdoppelt bei 18 · 45 beide Faktoren und rechnet 36 · 90. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 36 · 90 = 3240, aber 18 · 45 = 810
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 810

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 16 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
16 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 400

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 186 + 198? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 186 + 198 = 184 + 200
    3. 184 + 200 = 384
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 384
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 5 · 68? Nenne ihn. Rechne danach.
    5 · 68zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 68 = 60 + 8.
    2. 5 · 60 = 300 und 5 · 8 = 40
    3. Zusammen: 340
    Ergebnis:
    zerlegen, 340
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 13 + 34 + 87? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 13 + 87 = 100
    3. 100 + 34 = 134
    Ergebnis:
    vertauschen, 134

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Sofia rechnet 456 : 6 und erhält 75. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
456 : 6Ergebnis 75?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 75 · 6 = 450
  2. 450 ist nicht 456: Es ist falsch.
  3. 456 : 6 = 76
  1. Umkehraufgabe: 75 · 6 = 450
  2. 450 ist nicht 456: Es ist falsch.
  3. 456 : 6 = 76
Ergebnis:
falsch, richtig ist 76

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Sofia rechnet 183 : 3 und erhält 61. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    183 : 3Ergebnis 61?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 61 · 3 = 183
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 61 · 3 = 183
    2. 183 ist genau 183: Es stimmt.
    3. 183 : 3 = 61
    Ergebnis:
    stimmt, 61
  2. ●23
    Noah rechnet 870 − 260 und erhält 600. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 600 + 260 = 860
    2. 860 ist nicht 870: Es ist falsch.
    3. 870 − 260 = 610
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 610
  3. ★24
    Aylin erhält für 321 · 41 das Ergebnis 12.961. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 300 · 40 = 12.000
    2. 12.961 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 321 · 41 = 13.161
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 13.161

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 35 + 69 + 5 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    35695
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    1. Vertauschen: 35 + 5 + 69
    2. 35 + 5 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 69 = 109
    Ergebnis:
    109
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 3 · 50 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    3502
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 3
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 3 = 300
    Ergebnis:
    300
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 98 + 48
    9848
    Lösung zeigen
    1. 98 bekommt 2 dazu, 48 gibt 2 ab.
    2. 98 + 48 = 100 + 46
    3. 100 + 46 = 146
    Ergebnis:
    146
  4. ●28
    Tom rechnet 189 − 28 als 189 − 30 und erhält 159. Ist das schon das Ergebnis?
    189 − 28189 − 30
    Lösung zeigen
    1. Tom hat 2 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 159 + 2 = 161
    Ergebnis:
    Nein, 161
  5. ●29
    Es gibt 3 Hefte mit je 53 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 53
    2. 53 = 50 + 3
    3. 3 · 50 = 150 und 3 · 3 = 9
    4. 150 + 9 = 159
    Ergebnis:
    159 Hefte
  6. ●30
    Emma rechnet 7 · 13 so: erst 7 · 10, dann 3 dazu. Emma erhält 73. Zeige am Bild, was fehlt.
    1037
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 7 Reihen mit je 3 Kästchen, nicht nur 3.
    2. Rechter Teil: 7 · 3 = 21
    3. 70 + 21 = 91
    Ergebnis:
    91

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 48 + 61 + 12 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    486112
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    121

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 47 + 29
    4729
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    76

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 43
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    129

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 504 : 8
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    63

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 62 + 20 = 52 + ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    30

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 14 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    14 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Lea erhält für 30 · 18 das Ergebnis 540. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 540

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 67
  2. 83
  3. 432
  4. 191
  5. 64
  6. 961
  7. 260
  8. 261
  9. 1048
  10. 47 Sticker
  11. 66
  12. 153
  13. 95
  14. 67
  15. 64
  16. 210
  17. 200
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 810
  19. gegensinnig verändern, 384
  20. zerlegen, 340
  21. vertauschen, 134
  22. stimmt, 61
  23. falsch, richtig ist 610
  24. falsch, richtig ist 13.161
  25. 109
  26. 300
  27. 146
  28. Nein, 161
  29. 159 Hefte
  30. 91
  31. 121
  32. 76
  33. 129
  34. 63
  35. 30
  36. 400
  37. halbieren und verdoppeln, 70
  38. stimmt, 540
  39. 25
  40. 60
  41. 36
  42. 51