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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 30 − 5 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 5 = 25
    2. 30 − 25 = 5
    Ergebnis:
    5
  2. ●40
    Rechne: (5 + 9) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 5 + 9 = 14
    2. 14 · 6 = 84
    Ergebnis:
    84

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 7 + 8 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 8 · 2 = 16
    2. 7 + 16 = 23
    Ergebnis:
    23
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 17 und erhalte 48. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    31

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 26 + 73 + 14
267314
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 26 + 14 + 73
  2. 26 + 14 = 40
  3. 40 + 73 = 113
  1. Vertauschen: 26 + 14 + 73
  2. 26 + 14 = 40
  3. 40 + 73 = 113
Ergebnis:
113

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 7 + 14 + 33
    71433
    So fängst du an:
    Vertauschen: 7 + 33 + 14
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 7 + 33 + 14
    2. 7 + 33 = 40
    3. 40 + 14 = 54
    Ergebnis:
    54
  2. ●2
    Rechne geschickt: 35 + 34 + 15
    353415
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 35 + 15 + 34
    2. 35 + 15 = 50
    3. 50 + 34 = 84
    Ergebnis:
    84
  3. ★3
    Tom rechnet 102 + 581 + 198 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    102581198
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 102 + 198 + 581
    2. 102 + 198 = 300
    3. 300 + 581 = 881
    Ergebnis:
    881

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Noah rechnet 98 + 57 als 100 + 57. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
9857
Schritt für Schritt
  1. Noah hat 98 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 57 = 157.
  3. 2 wieder abziehen: 157 − 2 = 155
  1. Noah hat 98 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 57 = 157.
  3. 2 wieder abziehen: 157 − 2 = 155
Ergebnis:
155

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 298 + 69 = 300 + ___
    29869
    So fängst du an:
    298 wird zu 300: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 298 wird zu 300: 2 mehr.
    2. Also muss 69 um 2 kleiner werden: 69 − 2 = 67
    3. 300 + 67 = 367
    Ergebnis:
    67
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 39 + 29
    3929
    Lösung zeigen
    1. 39 bekommt 1 dazu, 29 gibt 1 ab.
    2. 39 + 29 = 40 + 28
    3. 40 + 28 = 68
    Ergebnis:
    68
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 496 + 748
    496748
    Lösung zeigen
    1. 496 bekommt 4 dazu, 748 gibt 4 ab.
    2. 496 + 748 = 500 + 744
    3. 500 + 744 = 1244
    Ergebnis:
    1244

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 13
Schritt für Schritt
  1. 13 = 10 + 3
  2. 7 · 10 = 70 und 7 · 3 = 21
  3. 70 + 21 = 91
  1. 13 = 10 + 3
  2. 7 · 10 = 70 und 7 · 3 = 21
  3. 70 + 21 = 91
Ergebnis:
91

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 42
    So fängst du an:
    42 = 40 + 2
    Lösung zeigen
    1. 42 = 40 + 2
    2. 7 · 40 = 280 und 7 · 2 = 14
    3. 280 + 14 = 294
    Ergebnis:
    294
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 26
    Lösung zeigen
    1. 26 = 20 + 6
    2. 4 · 20 = 80 und 4 · 6 = 24
    3. 80 + 24 = 104
    Ergebnis:
    104
  3. ★9
    Es gibt 9 Hefte mit je 82 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 82
    2. 82 = 80 + 2
    3. 9 · 80 = 720 und 9 · 2 = 18
    4. 720 + 18 = 738
    Ergebnis:
    738 Hefte

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

312 Bücher werden gleichmäßig auf 8 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 312 : 8
  2. 312 = 240 + 72
  3. 240 : 8 = 30 und 72 : 8 = 9
  4. 30 + 9 = 39
  1. 312 : 8
  2. 312 = 240 + 72
  3. 240 : 8 = 30 und 72 : 8 = 9
  4. 30 + 9 = 39
Ergebnis:
39 Bücher

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 384 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 384 : 6?
    384: 6
    So fängst du an:
    384 = 360 + 24
    Lösung zeigen
    1. 384 = 360 + 24
    2. 360 : 6 = 60 und 24 : 6 = 4
    3. 60 + 4 = 64
    Ergebnis:
    64
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 621 : 9
    Lösung zeigen
    1. 621 = 540 + 81
    2. 540 : 9 = 60 und 81 : 9 = 9
    3. 60 + 9 = 69
    Ergebnis:
    69
  3. ★12
    325 Bücher werden gleichmäßig auf 5 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 325 : 5
    2. 325 = 300 + 25
    3. 300 : 5 = 60 und 25 : 5 = 5
    4. 60 + 5 = 65
    Ergebnis:
    65 Bücher

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 26 + 85 = 28 + ___
26 + 85=28 + ?
Schritt für Schritt
  1. 26 wird zu 28: 2 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 85 um 2 kleiner.
  3. 85 − 2 = 83
  1. 26 wird zu 28: 2 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 85 um 2 kleiner.
  3. 85 − 2 = 83
Ergebnis:
83

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 4 · 3 = 2 · ___
    4 · 3=2 · ?
    So fängst du an:
    4 wird halb so groß: 2.
    Lösung zeigen
    1. 4 wird halb so groß: 2.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 3 doppelt so groß.
    3. 3 · 2 = 6
    Ergebnis:
    6
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 79 − 48 = ___ − 53
    Lösung zeigen
    1. 48 wird zu 53: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 79 um 5 größer.
    3. 79 + 5 = 84
    Ergebnis:
    84
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 28 + 37 = 30 + ___
    28 + 37=30 + ?
    Lösung zeigen
    1. 28 wird zu 30: 2 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 37 um 2 kleiner.
    3. 37 − 2 = 35
    Ergebnis:
    35

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
Schritt für Schritt
  1. 8 · 25 = 4 · 50
  2. 4 · 50 = 200
  1. 8 · 25 = 4 · 50
  2. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    So fängst du an:
    16 · 25 = 8 · 50
    Lösung zeigen
    1. 16 · 25 = 8 · 50
    2. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  2. ●17
    Ben verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  3. ★18
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 142 + 299? Nenne ihn. Rechne danach.
Schritt für Schritt
  1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
  2. 142 + 299 = 141 + 300
  3. 141 + 300 = 441
  1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
  2. 142 + 299 = 141 + 300
  3. 141 + 300 = 441
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 441

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 196 + 198? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 196 + 198 = 194 + 200
    3. 194 + 200 = 394
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 394
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 277 + 497? Nenne ihn. Rechne danach.
    277 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 277 + 497 = 274 + 500
    3. 274 + 500 = 774
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 774
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 379 + 399? Nenne ihn. Rechne danach.
    379 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    2. 379 + 399 = 378 + 400
    3. 378 + 400 = 778
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 778

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Emma erhält für 39 · 35 das Ergebnis 1365. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 40 · 40 = 1600
  2. 1365 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 39 · 35 = 1365
  3. Das Ergebnis stimmt.
  1. Überschlag: 40 · 40 = 1600
  2. 1365 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 39 · 35 = 1365
  3. Das Ergebnis stimmt.
Ergebnis:
stimmt, 1365

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Elias rechnet 664 : 8 und erhält 83. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    664 : 8Ergebnis 83?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 83 · 8 = 664
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 83 · 8 = 664
    2. 664 ist genau 664: Es stimmt.
    3. 664 : 8 = 83
    Ergebnis:
    stimmt, 83
  2. ●23
    Jonas rechnet 980 − 256 und erhält 744. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 744 + 256 = 1000
    2. 1000 ist nicht 980: Es ist falsch.
    3. 980 − 256 = 724
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 724
  3. ★24
    Tom rechnet 3868 − 850 und erhält 3008. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 3008 + 850 = 3858
    2. 3858 ist nicht 3868: Es ist falsch.
    3. 3868 − 850 = 3018
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 3018

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 17 + 82 + 23
    178223
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 17 + 23 + 82
    2. 17 + 23 = 40
    3. 40 + 82 = 122
    Ergebnis:
    122
  2. ●26
    Rechne geschickt: 3 · 5 · 2
    352
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 2 · 5 · 3
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 3 = 30
    Ergebnis:
    30
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 57
    29857
    Lösung zeigen
    1. 298 bekommt 2 dazu, 57 gibt 2 ab.
    2. 298 + 57 = 300 + 55
    3. 300 + 55 = 355
    Ergebnis:
    355
  4. ●28
    Ben rechnet 74 − 19 als 74 − 20 und erhält 54. Ist das schon das Ergebnis?
    74 − 1974 − 20
    Lösung zeigen
    1. Ben hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 54 + 1 = 55
    Ergebnis:
    Nein, 55
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 29
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 3 · 30 = 90 und 3 · 1 = 3
    3. 90 − 3 = 87
    Ergebnis:
    87
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 4 Reihen mit je 15 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1054
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 4 · 10 = 40
    2. Rechter Teil: 4 · 5 = 20
    3. Zusammen: 40 + 20 = 60
    Ergebnis:
    60 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 27 + 76 + 3
    27763
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    106

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Emma rechnet 97 + 86 als 100 + 86. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
    9786
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    183

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 29
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    203

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 231 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 231 : 7?
    231: 7
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    33

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 56 − 48 = ___ − 58
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    66

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 346 + 399? Nenne ihn. Rechne danach.
    346 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 745

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Emma rechnet 951 − 367 und erhält 574. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 584

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 54
  2. 84
  3. 881
  4. 67
  5. 68
  6. 1244
  7. 294
  8. 104
  9. 738 Hefte
  10. 64
  11. 69
  12. 65 Bücher
  13. 6
  14. 84
  15. 35
  16. 400
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  18. 400
  19. gegensinnig verändern, 394
  20. gegensinnig verändern, 774
  21. gegensinnig verändern, 778
  22. stimmt, 83
  23. falsch, richtig ist 724
  24. falsch, richtig ist 3018
  25. 122
  26. 30
  27. 355
  28. Nein, 55
  29. 87
  30. 60 Kästchen
  31. 106
  32. 183
  33. 203
  34. 33
  35. 66
  36. 90
  37. gegensinnig verändern, 745
  38. falsch, richtig ist 584
  39. 5
  40. 84
  41. 23
  42. 31