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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 50 − 2 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 8 = 16
    2. 50 − 16 = 34
    Ergebnis:
    34
  2. ●40
    Rechne: (3 + 2) · 2
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 3 + 2 = 5
    2. 5 · 2 = 10
    Ergebnis:
    10

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 10 + 5 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 7 = 35
    2. 10 + 35 = 45
    Ergebnis:
    45
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 28 und erhalte 88. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    60

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Can rechnet 27 + 61 + 3 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
27613
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 27 + 3 + 61
  2. 27 + 3 = 30
  3. 30 + 61 = 91
  1. Vertauschen: 27 + 3 + 61
  2. 27 + 3 = 30
  3. 30 + 61 = 91
Ergebnis:
91

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 34 + 35 + 26 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    343526
    So fängst du an:
    Vertauschen: 34 + 26 + 35
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 34 + 26 + 35
    2. 34 + 26 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 35 = 95
    Ergebnis:
    95
  2. ●2
    Tom rechnet 18 + 28 + 12 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    182812
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 18 + 12 + 28
    2. 18 + 12 = 30
    3. 30 + 28 = 58
    Ergebnis:
    58
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 188 + 168 + 12 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    18816812
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 188 + 12 + 168
    2. 188 + 12 = 200
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 200 + 168 = 368
    Ergebnis:
    368

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 37 + 55
3755
Schritt für Schritt
  1. 37 bekommt 3 dazu, 55 gibt 3 ab.
  2. 37 + 55 = 40 + 52
  3. 40 + 52 = 92
  1. 37 bekommt 3 dazu, 55 gibt 3 ab.
  2. 37 + 55 = 40 + 52
  3. 40 + 52 = 92
Ergebnis:
92

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 199 + 38 = 200 + ___
    19938
    So fängst du an:
    199 wird zu 200: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 199 wird zu 200: 1 mehr.
    2. Also muss 38 um 1 kleiner werden: 38 − 1 = 37
    3. 200 + 37 = 237
    Ergebnis:
    37
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 87
    29887
    Lösung zeigen
    1. 298 bekommt 2 dazu, 87 gibt 2 ab.
    2. 298 + 87 = 300 + 85
    3. 300 + 85 = 385
    Ergebnis:
    385
  3. ★6
    Ben rechnet 696 + 469 als 700 + 469. Was muss Ben danach noch tun? Was kommt heraus?
    696469
    Lösung zeigen
    1. Ben hat 696 um 4 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 4 zu groß: 700 + 469 = 1169.
    3. 4 wieder abziehen: 1169 − 4 = 1165
    Ergebnis:
    1165

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 55
Schritt für Schritt
  1. 55 = 50 + 5
  2. 3 · 50 = 150 und 3 · 5 = 15
  3. 150 + 15 = 165
  1. 55 = 50 + 5
  2. 3 · 50 = 150 und 3 · 5 = 15
  3. 150 + 15 = 165
Ergebnis:
165

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 5 Tüten mit je 37 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    5 · 37
    Lösung zeigen
    1. 5 · 37
    2. 37 = 30 + 7
    3. 5 · 30 = 150 und 5 · 7 = 35
    4. 150 + 35 = 185
    Ergebnis:
    185 Bonbons
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 21
    Lösung zeigen
    1. 21 = 20 + 1
    2. 6 · 20 = 120 und 6 · 1 = 6
    3. 120 + 6 = 126
    Ergebnis:
    126
  3. ★9
    Es gibt 4 Hefte mit je 98 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 4 · 98
    2. 98 = 90 + 8
    3. 4 · 90 = 360 und 4 · 8 = 32
    4. 360 + 32 = 392
    Ergebnis:
    392 Hefte

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 104 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 104 : 8?
104: 8
Schritt für Schritt
  1. 104 = 80 + 24
  2. 80 : 8 = 10 und 24 : 8 = 3
  3. 10 + 3 = 13
  1. 104 = 80 + 24
  2. 80 : 8 = 10 und 24 : 8 = 3
  3. 10 + 3 = 13
Ergebnis:
13

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 268 : 4
    So fängst du an:
    268 = 240 + 28
    Lösung zeigen
    1. 268 = 240 + 28
    2. 240 : 4 = 60 und 28 : 4 = 7
    3. 60 + 7 = 67
    Ergebnis:
    67
  2. ●11
    297 Bücher werden gleichmäßig auf 9 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 297 : 9
    2. 297 = 270 + 27
    3. 270 : 9 = 30 und 27 : 9 = 3
    4. 30 + 3 = 33
    Ergebnis:
    33 Bücher
  3. ★12
    504 Bücher werden gleichmäßig auf 9 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 504 : 9
    2. 504 = 450 + 54
    3. 450 : 9 = 50 und 54 : 9 = 6
    4. 50 + 6 = 56
    Ergebnis:
    56 Bücher

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 60 − 25 = ___ − 35
Schritt für Schritt
  1. 25 wird zu 35: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 60 um 10 größer.
  3. 60 + 10 = 70
  1. 25 wird zu 35: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 60 um 10 größer.
  3. 60 + 10 = 70
Ergebnis:
70

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 66 − 24 = ___ − 25
    So fängst du an:
    24 wird zu 25: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 24 wird zu 25: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 66 um 1 größer.
    3. 66 + 1 = 67
    Ergebnis:
    67
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 46 − 31 = ___ − 33
    Lösung zeigen
    1. 31 wird zu 33: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 46 um 2 größer.
    3. 46 + 2 = 48
    Ergebnis:
    48
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 16 · 10 = 8 · ___
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
    3. 10 · 2 = 20
    Ergebnis:
    20

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Milan verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  2. ●17
    Noah verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  3. ★18
    Warum ist 12 · 75 dasselbe wie 6 · 150? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 75 = 6 · 150
    3. 6 · 150 = 900
    Ergebnis:
    900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 5 · 71? Nenne ihn und rechne.
5 · 71zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 71 = 70 + 1.
  2. 5 · 70 = 350 und 5 · 1 = 5
  3. Zusammen: 355
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 71 = 70 + 1.
  2. 5 · 70 = 350 und 5 · 1 = 5
  3. Zusammen: 355
Ergebnis:
zerlegen, 355

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 25? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 47 + 42 + 53? Nenne ihn und rechne.
    47 + 42 + 53zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 47 + 53 = 100
    3. 100 + 42 = 142
    Ergebnis:
    vertauschen, 142
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 8643 − 2366? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 8643 − 2366 = 6277
    Ergebnis:
    schriftlich, 6277

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Zeynep rechnet 87 : 3 und erhält 29. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
87 : 3Ergebnis 29?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 29 · 3 = 87
  2. 87 ist genau 87: Es stimmt.
  3. 87 : 3 = 29
  1. Umkehraufgabe: 29 · 3 = 87
  2. 87 ist genau 87: Es stimmt.
  3. 87 : 3 = 29
Ergebnis:
stimmt, 29

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas erhält für 81 · 49 das Ergebnis 4969. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 80 · 50 = 4000
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 80 · 50 = 4000
    2. 4969 liegt zu weit weg. Genau: 81 · 49 = 3969
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 3969
  2. ●23
    Jonas rechnet 672 − 281 und erhält 381. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 381 + 281 = 662
    2. 662 ist nicht 672: Es ist falsch.
    3. 672 − 281 = 391
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 391
  3. ★24
    Zeynep erhält für 468 · 31 das Ergebnis 14.308. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 500 · 30 = 15.000
    2. 14.308 liegt zu weit weg. Genau: 468 · 31 = 14.508
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 14.508

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 5 + 53 + 35 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    55335
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    1. Vertauschen: 5 + 35 + 53
    2. 5 + 35 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 53 = 93
    Ergebnis:
    93
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 9 · 2 · 5 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    925
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 · 2 · 9
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 9 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 68 + 97 = 70 + ___
    6897
    Lösung zeigen
    1. 68 wird zu 70: 2 mehr.
    2. Also muss 97 um 2 kleiner werden: 97 − 2 = 95
    3. 70 + 95 = 165
    Ergebnis:
    95
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 216 − 199
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 1 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 216 − 199 = 217 − 200
    3. 217 − 200 = 17
    Ergebnis:
    17
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 62
    Lösung zeigen
    1. 62 = 60 + 2
    2. 8 · 60 = 480 und 8 · 2 = 16
    3. 480 + 16 = 496
    Ergebnis:
    496
  6. ●30
    Tom rechnet 7 · 18 so: erst 7 · 10, dann 8 dazu. Tom erhält 78. Zeige am Bild, was fehlt.
    1087
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 7 Reihen mit je 8 Kästchen, nicht nur 8.
    2. Rechter Teil: 7 · 8 = 56
    3. 70 + 56 = 126
    Ergebnis:
    126

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Milan rechnet 27 + 35 + 13 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    273513
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    75

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 299 + 57
    29957
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    356

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 8 Hefte mit je 19 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    152 Hefte

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    45 Murmeln werden gleichmäßig auf 3 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    15 Murmeln

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 4 · 3 = 2 · ___
    4 · 3=2 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Zeynep verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 8 · 26? Nenne ihn und rechne.
    8 · 26zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 208

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Noah rechnet 351 − 216 und erhält 125. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 135

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 95
  2. 58
  3. 368
  4. 37
  5. 385
  6. 1165
  7. 185 Bonbons
  8. 126
  9. 392 Hefte
  10. 67
  11. 33 Bücher
  12. 56 Bücher
  13. 67
  14. 48
  15. 20
  16. 70
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  18. 900
  19. halbieren und verdoppeln, 400
  20. vertauschen, 142
  21. schriftlich, 6277
  22. falsch, richtig ist 3969
  23. falsch, richtig ist 391
  24. falsch, richtig ist 14.508
  25. 93
  26. 90
  27. 95
  28. 17
  29. 496
  30. 126
  31. 75
  32. 356
  33. 152 Hefte
  34. 15 Murmeln
  35. 6
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  37. zerlegen, 208
  38. falsch, richtig ist 135
  39. 34
  40. 10
  41. 45
  42. 60