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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 63 − 3 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 8 = 24
    2. 63 − 24 = 39
    Ergebnis:
    39
  2. ●40
    Rechne: (2 + 6) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 2 + 6 = 8
    2. 8 · 7 = 56
    Ergebnis:
    56

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 2 + 8 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 8 · 4 = 32
    2. 2 + 32 = 34
    Ergebnis:
    34
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 14 und erhalte 74. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    60

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 56 + 77 + 4 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
56774
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 56 + 4 + 77
  2. 56 + 4 = 60
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 77 = 137
  1. Vertauschen: 56 + 4 + 77
  2. 56 + 4 = 60
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 77 = 137
Ergebnis:
137

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 57 + 49 + 3 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    57493
    So fängst du an:
    Vertauschen: 57 + 3 + 49
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 57 + 3 + 49
    2. 57 + 3 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 49 = 109
    Ergebnis:
    109
  2. ●2
    Rechne geschickt: 7 + 76 + 13
    77613
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 7 + 13 + 76
    2. 7 + 13 = 20
    3. 20 + 76 = 96
    Ergebnis:
    96
  3. ★3
    Rechne geschickt: 57 + 518 + 75 + 43 + 25
    57518754325
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 57 + 43 + 75 + 25 + 518
    2. 57 + 43 = 100 und 75 + 25 = 100
    3. 100 + 100 + 518 = 718
    Ergebnis:
    718

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 48 + 78
4878
Schritt für Schritt
  1. 48 bekommt 2 dazu, 78 gibt 2 ab.
  2. 48 + 78 = 50 + 76
  3. 50 + 76 = 126
  1. 48 bekommt 2 dazu, 78 gibt 2 ab.
  2. 48 + 78 = 50 + 76
  3. 50 + 76 = 126
Ergebnis:
126

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 68
    29868
    So fängst du an:
    298 bekommt 2 dazu, 68 gibt 2 ab.
    Lösung zeigen
    1. 298 bekommt 2 dazu, 68 gibt 2 ab.
    2. 298 + 68 = 300 + 66
    3. 300 + 66 = 366
    Ergebnis:
    366
  2. ●5
    Jonas rechnet 38 + 94 als 40 + 94. Was muss Jonas danach noch tun? Was kommt heraus?
    3894
    Lösung zeigen
    1. Jonas hat 38 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 40 + 94 = 134.
    3. 2 wieder abziehen: 134 − 2 = 132
    Ergebnis:
    132
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 498 + 155 = 500 + ___
    498155
    Lösung zeigen
    1. 498 wird zu 500: 2 mehr.
    2. Also muss 155 um 2 kleiner werden: 155 − 2 = 153
    3. 500 + 153 = 653
    Ergebnis:
    153

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 4 Hefte mit je 45 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 4 · 45
  2. 45 = 40 + 5
  3. 4 · 40 = 160 und 4 · 5 = 20
  4. 160 + 20 = 180
  1. 4 · 45
  2. 45 = 40 + 5
  3. 4 · 40 = 160 und 4 · 5 = 20
  4. 160 + 20 = 180
Ergebnis:
180 Hefte

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 59
    So fängst du an:
    59 = 60 − 1
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 4 · 60 = 240 und 4 · 1 = 4
    3. 240 − 4 = 236
    Ergebnis:
    236
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 5 · 40 = 200 und 5 · 1 = 5
    3. 200 − 5 = 195
    Ergebnis:
    195
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 43
    Lösung zeigen
    1. 43 = 40 + 3
    2. 4 · 40 = 160 und 4 · 3 = 12
    3. 160 + 12 = 172
    Ergebnis:
    172

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

128 Bücher werden gleichmäßig auf 4 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 128 : 4
  2. 128 = 120 + 8
  3. 120 : 4 = 30 und 8 : 4 = 2
  4. 30 + 2 = 32
  1. 128 : 4
  2. 128 = 120 + 8
  3. 120 : 4 = 30 und 8 : 4 = 2
  4. 30 + 2 = 32
Ergebnis:
32 Bücher

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 170 : 5
    So fängst du an:
    170 = 150 + 20
    Lösung zeigen
    1. 170 = 150 + 20
    2. 150 : 5 = 30 und 20 : 5 = 4
    3. 30 + 4 = 34
    Ergebnis:
    34
  2. ●11
    504 Sticker werden gleichmäßig auf 8 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 504 : 8
    2. 504 = 480 + 24
    3. 480 : 8 = 60 und 24 : 8 = 3
    4. 60 + 3 = 63
    Ergebnis:
    63 Sticker
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 375 : 5
    Lösung zeigen
    1. 375 = 350 + 25
    2. 350 : 5 = 70 und 25 : 5 = 5
    3. 70 + 5 = 75
    Ergebnis:
    75

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 32 + 25 = 29 + ___
Schritt für Schritt
  1. 32 wird zu 29: 3 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 25 um 3 größer.
  3. 25 + 3 = 28
  1. 32 wird zu 29: 3 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 25 um 3 größer.
  3. 25 + 3 = 28
Ergebnis:
28

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 21 + 14 = 19 + ___
    So fängst du an:
    21 wird zu 19: 2 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 21 wird zu 19: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 14 um 2 größer.
    3. 14 + 2 = 16
    Ergebnis:
    16
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 88 + 65 = 90 + ___
    88 + 65=90 + ?
    Lösung zeigen
    1. 88 wird zu 90: 2 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 65 um 2 kleiner.
    3. 65 − 2 = 63
    Ergebnis:
    63
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 59 − 32 = ___ − 37
    Lösung zeigen
    1. 32 wird zu 37: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 59 um 5 größer.
    3. 59 + 5 = 64
    Ergebnis:
    64

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Emma verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Sofia verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  2. ●17
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ★18
    Warum ist 14 · 35 dasselbe wie 7 · 70? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 35 = 7 · 70
    3. 7 · 70 = 490
    Ergebnis:
    490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 197 + 399? Nenne ihn. Rechne danach.
197 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
  2. 197 + 399 = 196 + 400
  3. 196 + 400 = 596
  1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
  2. 197 + 399 = 196 + 400
  3. 196 + 400 = 596
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 596

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 12 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 12 · 25 = 6 · 50
    3. 6 · 50 = 300
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 14 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    14 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 174 + 598? Nenne ihn. Rechne danach.
    174 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    2. 174 + 598 = 172 + 600
    3. 172 + 600 = 772
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 772

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Sofia erhält für 56 · 16 das Ergebnis 696. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 60 · 20 = 1200
  2. 696 liegt zu weit weg. Genau: 56 · 16 = 896
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 60 · 20 = 1200
  2. 696 liegt zu weit weg. Genau: 56 · 16 = 896
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 896

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Elias erhält für 48 · 48 das Ergebnis 3304. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 50 · 50 = 2500
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 50 · 50 = 2500
    2. 3304 liegt zu weit weg. Genau: 48 · 48 = 2304
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2304
  2. ●23
    Aylin erhält für 73 · 23 das Ergebnis 1679. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 70 · 20 = 1400
    2. 1679 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 73 · 23 = 1679
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 1679
  3. ★24
    Milan erhält für 220 · 20 das Ergebnis 4600. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 200 · 20 = 4000
    2. 4600 liegt zu weit weg. Genau: 220 · 20 = 4400
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 4400

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Tom rechnet 13 + 12 + 7 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    13127
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 13 + 7 + 12
    2. 13 + 7 = 20
    3. 20 + 12 = 32
    Ergebnis:
    32
  2. ●26
    Rechne geschickt: 16 · 5 · 20
    16520
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 20 · 5 · 16
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 16 = 1600
    Ergebnis:
    1600
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 37 + 84
    3784
    Lösung zeigen
    1. 37 bekommt 3 dazu, 84 gibt 3 ab.
    2. 37 + 84 = 40 + 81
    3. 40 + 81 = 121
    Ergebnis:
    121
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 111 − 97 = ___ − 100
    Lösung zeigen
    1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 111 um 3 größer: 114.
    3. 114 − 100 = 14
    Ergebnis:
    114
  5. ●29
    Es gibt 3 Tüten mit je 41 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 41
    2. 41 = 40 + 1
    3. 3 · 40 = 120 und 3 · 1 = 3
    4. 120 + 3 = 123
    Ergebnis:
    123 Bonbons
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 3 · 13?
    1033
    Lösung zeigen
    1. Links: 3 · 10 = 30
    2. Rechts: 3 · 3 = 9
    3. 3 · 13 = 30 + 9 = 39
    Ergebnis:
    3 · 10 und 3 · 3, zusammen 39

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 11 + 34 + 9 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    11349
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    54

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Milan rechnet 37 + 77 als 40 + 77. Was muss Milan danach noch tun? Was kommt heraus?
    3777
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    114

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 59
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    413

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 115 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 115 : 5?
    115: 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    23

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 91 − 84 = ___ − 85
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    92

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 16 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    16 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Noah erhält für 87 · 46 das Ergebnis 3902. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 4002

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 109
  2. 96
  3. 718
  4. 366
  5. 132
  6. 153
  7. 236
  8. 195
  9. 172
  10. 34
  11. 63 Sticker
  12. 75
  13. 16
  14. 63
  15. 64
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  17. 400
  18. 490
  19. halbieren und verdoppeln, 300
  20. halbieren und verdoppeln, 70
  21. gegensinnig verändern, 772
  22. falsch, richtig ist 2304
  23. stimmt, 1679
  24. falsch, richtig ist 4400
  25. 32
  26. 1600
  27. 121
  28. 114
  29. 123 Bonbons
  30. 3 · 10 und 3 · 3, zusammen 39
  31. 54
  32. 114
  33. 413
  34. 23
  35. 92
  36. 180
  37. halbieren und verdoppeln, 400
  38. falsch, richtig ist 4002
  39. 39
  40. 56
  41. 34
  42. 60