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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 8 + 4 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 6 = 24
    2. 8 + 24 = 32
    Ergebnis:
    32
  2. ●40
    Rechne: (2 + 9) · 5
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 2 + 9 = 11
    2. 11 · 5 = 55
    Ergebnis:
    55

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 2 + 6 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 3 = 18
    2. 2 + 18 = 20
    Ergebnis:
    20
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 3 und erhalte 30. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    27

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 13 + 42 + 17 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
134217
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 13 + 17 + 42
  2. 13 + 17 = 30
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 42 = 72
  1. Vertauschen: 13 + 17 + 42
  2. 13 + 17 = 30
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 42 = 72
Ergebnis:
72

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lea rechnet 32 + 84 + 28 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    328428
    So fängst du an:
    Vertauschen: 32 + 28 + 84
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 32 + 28 + 84
    2. 32 + 28 = 60
    3. 60 + 84 = 144
    Ergebnis:
    144
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 44 + 57 + 6 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    44576
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 44 + 6 + 57
    2. 44 + 6 = 50
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 57 = 107
    Ergebnis:
    107
  3. ★3
    Emma rechnet 79 + 653 + 19 + 21 + 81 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    79653192181
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 79 + 21 + 19 + 81 + 653
    2. 79 + 21 = 100 und 19 + 81 = 100
    3. 100 + 100 + 653 = 853
    Ergebnis:
    853

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 97 + 79
9779
Schritt für Schritt
  1. 97 bekommt 3 dazu, 79 gibt 3 ab.
  2. 97 + 79 = 100 + 76
  3. 100 + 76 = 176
  1. 97 bekommt 3 dazu, 79 gibt 3 ab.
  2. 97 + 79 = 100 + 76
  3. 100 + 76 = 176
Ergebnis:
176

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Aylin rechnet 69 + 49 als 70 + 49. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
    6949
    So fängst du an:
    Aylin hat 69 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Aylin hat 69 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 70 + 49 = 119.
    3. 1 wieder abziehen: 119 − 1 = 118
    Ergebnis:
    118
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 49 + 64 = 50 + ___
    4964
    Lösung zeigen
    1. 49 wird zu 50: 1 mehr.
    2. Also muss 64 um 1 kleiner werden: 64 − 1 = 63
    3. 50 + 63 = 113
    Ergebnis:
    63
  3. ★6
    Lina rechnet 698 + 197 als 700 + 197. Was muss Lina danach noch tun? Was kommt heraus?
    698197
    Lösung zeigen
    1. Lina hat 698 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 700 + 197 = 897.
    3. 2 wieder abziehen: 897 − 2 = 895
    Ergebnis:
    895

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 49
Schritt für Schritt
  1. 49 = 50 − 1
  2. 6 · 50 = 300 und 6 · 1 = 6
  3. 300 − 6 = 294
  1. 49 = 50 − 1
  2. 6 · 50 = 300 und 6 · 1 = 6
  3. 300 − 6 = 294
Ergebnis:
294

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 5 Hefte mit je 56 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    5 · 56
    Lösung zeigen
    1. 5 · 56
    2. 56 = 50 + 6
    3. 5 · 50 = 250 und 5 · 6 = 30
    4. 250 + 30 = 280
    Ergebnis:
    280 Hefte
  2. ●8
    Es gibt 9 Reihen mit je 68 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 68
    2. 68 = 60 + 8
    3. 9 · 60 = 540 und 9 · 8 = 72
    4. 540 + 72 = 612
    Ergebnis:
    612 Stühle
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 6 · 369
    Lösung zeigen
    1. 369 = 300 + 60 + 9
    2. 6 · 300 = 1800; 6 · 60 = 360; 6 · 9 = 54
    3. 1800 + 360 + 54 = 2214
    Ergebnis:
    2214

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 306 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 306 : 6?
306: 6
Schritt für Schritt
  1. 306 = 300 + 6
  2. 300 : 6 = 50 und 6 : 6 = 1
  3. 50 + 1 = 51
  1. 306 = 300 + 6
  2. 300 : 6 = 50 und 6 : 6 = 1
  3. 50 + 1 = 51
Ergebnis:
51

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 288 : 9
    So fängst du an:
    288 = 270 + 18
    Lösung zeigen
    1. 288 = 270 + 18
    2. 270 : 9 = 30 und 18 : 9 = 2
    3. 30 + 2 = 32
    Ergebnis:
    32
  2. ●11
    Zerlege 60 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 60 : 4?
    60: 4
    Lösung zeigen
    1. 60 = 40 + 20
    2. 40 : 4 = 10 und 20 : 4 = 5
    3. 10 + 5 = 15
    Ergebnis:
    15
  3. ★12
    Zerlege 1392 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 1392 : 8?
    1392: 8
    Lösung zeigen
    1. 1392 = 1360 + 32
    2. 1360 : 8 = 170 und 32 : 8 = 4
    3. 170 + 4 = 174
    Ergebnis:
    174

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 18 · 11 = 9 · ___
18 · 11=9 · ?
Schritt für Schritt
  1. 18 wird halb so groß: 9.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 11 doppelt so groß.
  3. 11 · 2 = 22
  1. 18 wird halb so groß: 9.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 11 doppelt so groß.
  3. 11 · 2 = 22
Ergebnis:
22

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 33 + 51 = 32 + ___
    33 + 51=32 + ?
    So fängst du an:
    33 wird zu 32: 1 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 33 wird zu 32: 1 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 51 um 1 größer.
    3. 51 + 1 = 52
    Ergebnis:
    52
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 6 · 4 = 3 · ___
    6 · 4=3 · ?
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 4 doppelt so groß.
    3. 4 · 2 = 8
    Ergebnis:
    8
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 6 · 7 = 3 · ___
    6 · 7=3 · ?
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 7 doppelt so groß.
    3. 7 · 2 = 14
    Ergebnis:
    14

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Emma verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Lina verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  2. ●17
    Milan verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 24 · 125
    Lösung zeigen
    1. 24 · 125 = 12 · 250
    2. 12 · 250 = 3000
    Ergebnis:
    3000

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 16 + 51 + 84? Nenne ihn. Rechne danach.
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 16 + 84 = 100
  3. 100 + 51 = 151
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 16 + 84 = 100
  3. 100 + 51 = 151
Ergebnis:
vertauschen, 151

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 6 · 30? Nenne ihn. Rechne danach.
    6 · 30zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 30 = 30 + 0.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 30 = 30 + 0.
    2. 6 · 30 = 180 und 6 · 0 = 0
    3. Zusammen: 180
    Ergebnis:
    zerlegen, 180
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 245 + 598? Nenne ihn. Rechne danach.
    245 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    2. 245 + 598 = 243 + 600
    3. 243 + 600 = 843
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 843
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 46 + 59 + 54? Nenne ihn. Rechne danach.
    46 + 59 + 54zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 46 + 54 = 100
    3. 100 + 59 = 159
    Ergebnis:
    vertauschen, 159

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Noah erhält für 85 · 35 das Ergebnis 2975. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 90 · 40 = 3600
  2. 2975 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 85 · 35 = 2975
  3. Das Ergebnis stimmt.
  1. Überschlag: 90 · 40 = 3600
  2. 2975 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 85 · 35 = 2975
  3. Das Ergebnis stimmt.
Ergebnis:
stimmt, 2975

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Zeynep rechnet 539 : 7 und erhält 87. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    539 : 7Ergebnis 87?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 87 · 7 = 609
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 87 · 7 = 609
    2. 609 ist nicht 539: Es ist falsch.
    3. 539 : 7 = 77
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 77
  2. ●23
    Sofia rechnet 501 − 303 und erhält 188. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 188 + 303 = 491
    2. 491 ist nicht 501: Es ist falsch.
    3. 501 − 303 = 198
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 198
  3. ★24
    Noah rechnet 4109 : 7 und erhält 588. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    4109 : 7Ergebnis 588?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 588 · 7 = 4116
    2. 4116 ist nicht 4109: Es ist falsch.
    3. 4109 : 7 = 587
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 587

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Paul rechnet 18 + 73 + 32 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    187332
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 18 + 32 + 73
    2. 18 + 32 = 50
    3. 50 + 73 = 123
    Ergebnis:
    123
  2. ●26
    Rechne geschickt: 50 · 4 · 2
    5042
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 4
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 4 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 98 + 26
    9826
    Lösung zeigen
    1. 98 bekommt 2 dazu, 26 gibt 2 ab.
    2. 98 + 26 = 100 + 24
    3. 100 + 24 = 124
    Ergebnis:
    124
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 219 − 197 = ___ − 200
    Lösung zeigen
    1. 197 wird zu 200: 3 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 219 um 3 größer: 222.
    3. 222 − 200 = 22
    Ergebnis:
    222
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 6 · 40 = 240 und 6 · 1 = 6
    3. 240 − 6 = 234
    Ergebnis:
    234
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 7 Reihen mit je 28 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2087
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 7 · 20 = 140
    2. Rechter Teil: 7 · 8 = 56
    3. Zusammen: 140 + 56 = 196
    Ergebnis:
    196 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 15 + 52 + 45 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    155245
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    112

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 69 + 66 = 70 + ___
    6966
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    65

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 43
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    387

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 256 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 256 : 4?
    256: 4
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    64

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 47 − 19 = ___ − 29
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    57

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Hanna verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 9 · 32? Nenne ihn. Rechne danach.
    9 · 32zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 288

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Mia rechnet 976 − 816 und erhält 180. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 160

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 144
  2. 107
  3. 853
  4. 118
  5. 63
  6. 895
  7. 280 Hefte
  8. 612 Stühle
  9. 2214
  10. 32
  11. 15
  12. 174
  13. 52
  14. 8
  15. 14
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  18. 3000
  19. zerlegen, 180
  20. gegensinnig verändern, 843
  21. vertauschen, 159
  22. falsch, richtig ist 77
  23. falsch, richtig ist 198
  24. falsch, richtig ist 587
  25. 123
  26. 400
  27. 124
  28. 222
  29. 234
  30. 196 Kästchen
  31. 112
  32. 65
  33. 387
  34. 64
  35. 57
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  37. zerlegen, 288
  38. falsch, richtig ist 160
  39. 32
  40. 55
  41. 20
  42. 27