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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 8 + 4 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 4 = 16
    2. 8 + 16 = 24
    Ergebnis:
    24
  2. ●40
    Rechne: (7 + 9) · 2
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 7 + 9 = 16
    2. 16 · 2 = 32
    Ergebnis:
    32

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 2 + 5 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 6 = 30
    2. 2 + 30 = 32
    Ergebnis:
    32
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 35 und erhalte 64. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    29

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 5 + 71 + 15
57115
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 5 + 15 + 71
  2. 5 + 15 = 20
  3. 20 + 71 = 91
  1. Vertauschen: 5 + 15 + 71
  2. 5 + 15 = 20
  3. 20 + 71 = 91
Ergebnis:
91

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Hanna rechnet 48 + 27 + 12 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    482712
    So fängst du an:
    Vertauschen: 48 + 12 + 27
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 48 + 12 + 27
    2. 48 + 12 = 60
    3. 60 + 27 = 87
    Ergebnis:
    87
  2. ●2
    Rechne geschickt: 81 + 48 + 19
    814819
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 81 + 19 + 48
    2. 81 + 19 = 100
    3. 100 + 48 = 148
    Ergebnis:
    148
  3. ★3
    Paul rechnet 62 + 329 + 14 + 238 + 86 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    623291423886
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 62 + 238 + 14 + 86 + 329
    2. 62 + 238 = 300 und 14 + 86 = 100
    3. 300 + 100 + 329 = 729
    Ergebnis:
    729

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Can rechnet 67 + 94 als 70 + 94. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
6794
Schritt für Schritt
  1. Can hat 67 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 70 + 94 = 164.
  3. 3 wieder abziehen: 164 − 3 = 161
  1. Can hat 67 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 70 + 94 = 164.
  3. 3 wieder abziehen: 164 − 3 = 161
Ergebnis:
161

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ben rechnet 39 + 66 als 40 + 66. Was muss Ben danach noch tun? Was kommt heraus?
    3966
    So fängst du an:
    Ben hat 39 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Ben hat 39 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 40 + 66 = 106.
    3. 1 wieder abziehen: 106 − 1 = 105
    Ergebnis:
    105
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 78
    29878
    Lösung zeigen
    1. 298 bekommt 2 dazu, 78 gibt 2 ab.
    2. 298 + 78 = 300 + 76
    3. 300 + 76 = 376
    Ergebnis:
    376
  3. ★6
    Zeynep rechnet 697 + 427 als 700 + 427. Was muss Zeynep danach noch tun? Was kommt heraus?
    697427
    Lösung zeigen
    1. Zeynep hat 697 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 700 + 427 = 1127.
    3. 3 wieder abziehen: 1127 − 3 = 1124
    Ergebnis:
    1124

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 14
Schritt für Schritt
  1. 14 = 10 + 4
  2. 4 · 10 = 40 und 4 · 4 = 16
  3. 40 + 16 = 56
  1. 14 = 10 + 4
  2. 4 · 10 = 40 und 4 · 4 = 16
  3. 40 + 16 = 56
Ergebnis:
56

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 4 Reihen mit je 64 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    4 · 64
    Lösung zeigen
    1. 4 · 64
    2. 64 = 60 + 4
    3. 4 · 60 = 240 und 4 · 4 = 16
    4. 240 + 16 = 256
    Ergebnis:
    256 Stühle
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 3 · 40 = 120 und 3 · 1 = 3
    3. 120 − 3 = 117
    Ergebnis:
    117
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 5 · 399
    Lösung zeigen
    1. 399 = 300 + 90 + 9
    2. 5 · 300 = 1500; 5 · 90 = 450; 5 · 9 = 45
    3. 1500 + 450 + 45 = 1995
    Ergebnis:
    1995

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

308 Bücher werden gleichmäßig auf 7 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 308 : 7
  2. 308 = 280 + 28
  3. 280 : 7 = 40 und 28 : 7 = 4
  4. 40 + 4 = 44
  1. 308 : 7
  2. 308 = 280 + 28
  3. 280 : 7 = 40 und 28 : 7 = 4
  4. 40 + 4 = 44
Ergebnis:
44 Bücher

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 252 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 252 : 7?
    252: 7
    So fängst du an:
    252 = 210 + 42
    Lösung zeigen
    1. 252 = 210 + 42
    2. 210 : 7 = 30 und 42 : 7 = 6
    3. 30 + 6 = 36
    Ergebnis:
    36
  2. ●11
    330 Bücher werden gleichmäßig auf 6 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 330 : 6
    2. 330 = 300 + 30
    3. 300 : 6 = 50 und 30 : 6 = 5
    4. 50 + 5 = 55
    Ergebnis:
    55 Bücher
  3. ★12
    Zerlege 348 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 348 : 3?
    348: 3
    Lösung zeigen
    1. 348 = 330 + 18
    2. 330 : 3 = 110 und 18 : 3 = 6
    3. 110 + 6 = 116
    Ergebnis:
    116

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 45 − 28 = ___ − 33
Schritt für Schritt
  1. 28 wird zu 33: 5 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 45 um 5 größer.
  3. 45 + 5 = 50
  1. 28 wird zu 33: 5 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 45 um 5 größer.
  3. 45 + 5 = 50
Ergebnis:
50

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 8 · 9 = 4 · ___
    8 · 9=4 · ?
    So fängst du an:
    8 wird halb so groß: 4.
    Lösung zeigen
    1. 8 wird halb so groß: 4.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
    3. 9 · 2 = 18
    Ergebnis:
    18
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 52 − 26 = ___ − 27
    Lösung zeigen
    1. 26 wird zu 27: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 52 um 1 größer.
    3. 52 + 1 = 53
    Ergebnis:
    53
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 43 − 14 = ___ − 16
    Lösung zeigen
    1. 14 wird zu 16: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 43 um 2 größer.
    3. 43 + 2 = 45
    Ergebnis:
    45

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Mia verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 210

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ben verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  2. ●17
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 32 · 25
    Lösung zeigen
    1. 32 · 25 = 16 · 50
    2. 16 · 50 = 800
    Ergebnis:
    800

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 9 · 58? Nenne ihn. Rechne danach.
9 · 58zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 58 = 50 + 8.
  2. 9 · 50 = 450 und 9 · 8 = 72
  3. Zusammen: 522
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 58 = 50 + 8.
  2. 9 · 50 = 450 und 9 · 8 = 72
  3. Zusammen: 522
Ergebnis:
zerlegen, 522

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 4 · 41? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 41 = 40 + 1.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 41 = 40 + 1.
    2. 4 · 40 = 160 und 4 · 1 = 4
    3. Zusammen: 164
    Ergebnis:
    zerlegen, 164
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 32 + 23 + 68? Nenne ihn. Rechne danach.
    32 + 23 + 68zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 32 + 68 = 100
    3. 100 + 23 = 123
    Ergebnis:
    vertauschen, 123
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 14 + 67 + 86? Nenne ihn. Rechne danach.
    14 + 67 + 86zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 14 + 86 = 100
    3. 100 + 67 = 167
    Ergebnis:
    vertauschen, 167

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Lina rechnet 441 − 148 und erhält 283. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 283 + 148 = 431
  2. 431 ist nicht 441: Es ist falsch.
  3. 441 − 148 = 293
  1. Umkehraufgabe: 283 + 148 = 431
  2. 431 ist nicht 441: Es ist falsch.
  3. 441 − 148 = 293
Ergebnis:
falsch, richtig ist 293

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas rechnet 592 : 8 und erhält 84. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    592 : 8Ergebnis 84?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 84 · 8 = 672
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 84 · 8 = 672
    2. 672 ist nicht 592: Es ist falsch.
    3. 592 : 8 = 74
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 74
  2. ●23
    Tom rechnet 760 : 8 und erhält 97. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    760 : 8Ergebnis 97?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 97 · 8 = 776
    2. 776 ist nicht 760: Es ist falsch.
    3. 760 : 8 = 95
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 95
  3. ★24
    Aylin erhält für 335 · 40 das Ergebnis 13.200. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 300 · 40 = 12.000
    2. 13.200 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 335 · 40 = 13.400
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 13.400

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 16 + 67 + 4 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    16674
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 16 + 4 + 67
    2. 16 + 4 = 20
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 67 = 87
    Ergebnis:
    87
  2. ●26
    In einem Lager stehen 20 Regale mit je 5 Kartons. In jedem Karton sind 18 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    20 Regale5 Kartons18 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 20 · 5 · 18
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 18 = 1800
    Ergebnis:
    1800 Bälle
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 199 + 58 = 200 + ___
    19958
    Lösung zeigen
    1. 199 wird zu 200: 1 mehr.
    2. Also muss 58 um 1 kleiner werden: 58 − 1 = 57
    3. 200 + 57 = 257
    Ergebnis:
    57
  4. ●28
    Tom rechnet 209 − 197 als 209 − 200 und erhält 9. Ist das schon das Ergebnis?
    209 − 197209 − 200
    Lösung zeigen
    1. Tom hat 3 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 9 + 3 = 12
    Ergebnis:
    Nein, 12
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 9 · 60 = 540 und 9 · 1 = 9
    3. 540 − 9 = 531
    Ergebnis:
    531
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 6 · 12?
    1026
    Lösung zeigen
    1. Links: 6 · 10 = 60
    2. Rechts: 6 · 2 = 12
    3. 6 · 12 = 60 + 12 = 72
    Ergebnis:
    6 · 10 und 6 · 2, zusammen 72

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Can rechnet 14 + 12 + 16 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    141216
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    42

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 69 + 77 = 70 + ___
    6977
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    76

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 15
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    60

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 486 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 486 : 9?
    486: 9
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    54

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 45 + 85 = 46 + ___
    45 + 85=46 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    84

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Elias erhält für 88 · 40 das Ergebnis 3620. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 3520

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 87
  2. 148
  3. 729
  4. 105
  5. 376
  6. 1124
  7. 256 Stühle
  8. 117
  9. 1995
  10. 36
  11. 55 Bücher
  12. 116
  13. 18
  14. 53
  15. 45
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  17. 400
  18. 800
  19. zerlegen, 164
  20. vertauschen, 123
  21. vertauschen, 167
  22. falsch, richtig ist 74
  23. falsch, richtig ist 95
  24. falsch, richtig ist 13.400
  25. 87
  26. 1800 Bälle
  27. 57
  28. Nein, 12
  29. 531
  30. 6 · 10 und 6 · 2, zusammen 72
  31. 42
  32. 76
  33. 60
  34. 54
  35. 84
  36. 200
  37. halbieren und verdoppeln, 200
  38. falsch, richtig ist 3520
  39. 24
  40. 32
  41. 32
  42. 29