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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 34 − 3 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 4 = 12
    2. 34 − 12 = 22
    Ergebnis:
    22
  2. ●40
    Rechne: (4 + 3) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 3 = 7
    2. 7 · 6 = 42
    Ergebnis:
    42

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 12 + 3 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 2 = 6
    2. 12 + 6 = 18
    Ergebnis:
    18
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 5 und erhalte 44. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    39

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 5 + 67 + 35 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
56735
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 5 + 35 + 67
  2. 5 + 35 = 40
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 67 = 107
  1. Vertauschen: 5 + 35 + 67
  2. 5 + 35 = 40
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 67 = 107
Ergebnis:
107

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Mia rechnet 13 + 89 + 27 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    138927
    So fängst du an:
    Vertauschen: 13 + 27 + 89
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 13 + 27 + 89
    2. 13 + 27 = 40
    3. 40 + 89 = 129
    Ergebnis:
    129
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 33 + 24 + 7 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    33247
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 33 + 7 + 24
    2. 33 + 7 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 24 = 64
    Ergebnis:
    64
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 157 + 164 + 37 + 43 + 63 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    157164374363
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 157 + 43 + 37 + 63 + 164
    2. 157 + 43 = 200 und 37 + 63 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 200 + 100 + 164 = 464
    Ergebnis:
    464

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 67 + 67
6767
Schritt für Schritt
  1. 67 bekommt 3 dazu, 67 gibt 3 ab.
  2. 67 + 67 = 70 + 64
  3. 70 + 64 = 134
  1. 67 bekommt 3 dazu, 67 gibt 3 ab.
  2. 67 + 67 = 70 + 64
  3. 70 + 64 = 134
Ergebnis:
134

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 297 + 77
    29777
    So fängst du an:
    297 bekommt 3 dazu, 77 gibt 3 ab.
    Lösung zeigen
    1. 297 bekommt 3 dazu, 77 gibt 3 ab.
    2. 297 + 77 = 300 + 74
    3. 300 + 74 = 374
    Ergebnis:
    374
  2. ●5
    Tom rechnet 49 + 29 als 50 + 29. Was muss Tom danach noch tun? Was kommt heraus?
    4929
    Lösung zeigen
    1. Tom hat 49 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 50 + 29 = 79.
    3. 1 wieder abziehen: 79 − 1 = 78
    Ergebnis:
    78
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 499 + 534 = 500 + ___
    499534
    Lösung zeigen
    1. 499 wird zu 500: 1 mehr.
    2. Also muss 534 um 1 kleiner werden: 534 − 1 = 533
    3. 500 + 533 = 1033
    Ergebnis:
    533

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 45
Schritt für Schritt
  1. 45 = 40 + 5
  2. 7 · 40 = 280 und 7 · 5 = 35
  3. 280 + 35 = 315
  1. 45 = 40 + 5
  2. 7 · 40 = 280 und 7 · 5 = 35
  3. 280 + 35 = 315
Ergebnis:
315

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 9 Hefte mit je 34 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    9 · 34
    Lösung zeigen
    1. 9 · 34
    2. 34 = 30 + 4
    3. 9 · 30 = 270 und 9 · 4 = 36
    4. 270 + 36 = 306
    Ergebnis:
    306 Hefte
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 7 · 40 = 280 und 7 · 1 = 7
    3. 280 − 7 = 273
    Ergebnis:
    273
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 4 · 20 = 80 und 4 · 1 = 4
    3. 80 − 4 = 76
    Ergebnis:
    76

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 340 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 340 : 5?
340: 5
Schritt für Schritt
  1. 340 = 300 + 40
  2. 300 : 5 = 60 und 40 : 5 = 8
  3. 60 + 8 = 68
  1. 340 = 300 + 40
  2. 300 : 5 = 60 und 40 : 5 = 8
  3. 60 + 8 = 68
Ergebnis:
68

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    216 Sticker werden gleichmäßig auf 6 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    216 : 6
    Lösung zeigen
    1. 216 : 6
    2. 216 = 180 + 36
    3. 180 : 6 = 30 und 36 : 6 = 6
    4. 30 + 6 = 36
    Ergebnis:
    36 Sticker
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 308 : 7
    Lösung zeigen
    1. 308 = 280 + 28
    2. 280 : 7 = 40 und 28 : 7 = 4
    3. 40 + 4 = 44
    Ergebnis:
    44
  3. ★12
    Zerlege 234 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 234 : 9?
    234: 9
    Lösung zeigen
    1. 234 = 180 + 54
    2. 180 : 9 = 20 und 54 : 9 = 6
    3. 20 + 6 = 26
    Ergebnis:
    26

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 25 + 40 = 28 + ___
Schritt für Schritt
  1. 25 wird zu 28: 3 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 40 um 3 kleiner.
  3. 40 − 3 = 37
  1. 25 wird zu 28: 3 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 40 um 3 kleiner.
  3. 40 − 3 = 37
Ergebnis:
37

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 16 · 13 = 8 · ___
    16 · 13=8 · ?
    So fängst du an:
    16 wird halb so groß: 8.
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
    3. 13 · 2 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 43 − 26 = ___ − 27
    Lösung zeigen
    1. 26 wird zu 27: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 43 um 1 größer.
    3. 43 + 1 = 44
    Ergebnis:
    44
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 70 + 24 = 60 + ___
    70 + 24=60 + ?
    Lösung zeigen
    1. 70 wird zu 60: 10 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 24 um 10 größer.
    3. 24 + 10 = 34
    Ergebnis:
    34

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Zeynep verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Paul verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  2. ●17
    Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 15 = 7 · 30
    3. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 45
    Lösung zeigen
    1. 18 · 45 = 9 · 90
    2. 9 · 90 = 810
    Ergebnis:
    810

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 16 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 80

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 12 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    12 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 12 · 25 = 6 · 50
    3. 6 · 50 = 300
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 355 + 299? Nenne ihn. Rechne danach.
    355 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    2. 355 + 299 = 354 + 300
    3. 354 + 300 = 654
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 654
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 8 · 41? Nenne ihn. Rechne danach.
    8 · 41zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 41 = 40 + 1.
    2. 8 · 40 = 320 und 8 · 1 = 8
    3. Zusammen: 328
    Ergebnis:
    zerlegen, 328

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Emma erhält für 32 · 17 das Ergebnis 744. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 30 · 20 = 600
  2. 744 liegt zu weit weg. Genau: 32 · 17 = 544
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 30 · 20 = 600
  2. 744 liegt zu weit weg. Genau: 32 · 17 = 544
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 544

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Aylin rechnet 392 : 8 und erhält 50. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    392 : 8Ergebnis 50?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 50 · 8 = 400
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 50 · 8 = 400
    2. 400 ist nicht 392: Es ist falsch.
    3. 392 : 8 = 49
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 49
  2. ●23
    Aylin rechnet 694 − 231 und erhält 473. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 473 + 231 = 704
    2. 704 ist nicht 694: Es ist falsch.
    3. 694 − 231 = 463
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 463
  3. ★24
    Jonas rechnet 3915 − 3716 und erhält 299. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 299 + 3716 = 4015
    2. 4015 ist nicht 3915: Es ist falsch.
    3. 3915 − 3716 = 199
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 199

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Mia rechnet 26 + 86 + 34 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    268634
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 26 + 34 + 86
    2. 26 + 34 = 60
    3. 60 + 86 = 146
    Ergebnis:
    146
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 2 · 16 · 5 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    2165
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 2 · 5 · 16
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 16 = 160
    Ergebnis:
    160
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 98 + 37
    9837
    Lösung zeigen
    1. 98 bekommt 2 dazu, 37 gibt 2 ab.
    2. 98 + 37 = 100 + 35
    3. 100 + 35 = 135
    Ergebnis:
    135
  4. ●28
    Lina rechnet 222 − 199 als 222 − 200 und erhält 22. Ist das schon das Ergebnis?
    222 − 199222 − 200
    Lösung zeigen
    1. Lina hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 22 + 1 = 23
    Ergebnis:
    Nein, 23
  5. ●29
    Es gibt 8 Tüten mit je 67 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 67
    2. 67 = 60 + 7
    3. 8 · 60 = 480 und 8 · 7 = 56
    4. 480 + 56 = 536
    Ergebnis:
    536 Bonbons
  6. ●30
    Mia rechnet 6 · 26 so: erst 6 · 20, dann 6 dazu. Mia erhält 126. Zeige am Bild, was fehlt.
    2066
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 6 Reihen mit je 6 Kästchen, nicht nur 6.
    2. Rechter Teil: 6 · 6 = 36
    3. 120 + 36 = 156
    Ergebnis:
    156

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 95 + 61 + 5 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    95615
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    161

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 297 + 79
    29779
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    376

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 39
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    312

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 207 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 207 : 3?
    207: 3
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    69

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 91 − 80 = ___ − 81
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    92

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 6 · 44? Nenne ihn. Rechne danach.
    6 · 44zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 264

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Lea erhält für 75 · 48 das Ergebnis 3600. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 3600

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 129
  2. 64
  3. 464
  4. 374
  5. 78
  6. 533
  7. 306 Hefte
  8. 273
  9. 76
  10. 36 Sticker
  11. 44
  12. 26
  13. 26
  14. 44
  15. 34
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  17. 210
  18. 810
  19. halbieren und verdoppeln, 300
  20. gegensinnig verändern, 654
  21. zerlegen, 328
  22. falsch, richtig ist 49
  23. falsch, richtig ist 463
  24. falsch, richtig ist 199
  25. 146
  26. 160
  27. 135
  28. Nein, 23
  29. 536 Bonbons
  30. 156
  31. 161
  32. 376
  33. 312
  34. 69
  35. 92
  36. 180
  37. zerlegen, 264
  38. stimmt, 3600
  39. 22
  40. 42
  41. 18
  42. 39