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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 15 − 4 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 2 = 8
    2. 15 − 8 = 7
    Ergebnis:
    7
  2. ●40
    Rechne: (4 + 8) · 8
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 8 = 12
    2. 12 · 8 = 96
    Ergebnis:
    96

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 12 + 8 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 8 · 2 = 16
    2. 12 + 16 = 28
    Ergebnis:
    28
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 23 und erhalte 49. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    26

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 3 + 39 + 17 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
33917
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 3 + 17 + 39
  2. 3 + 17 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 39 = 59
  1. Vertauschen: 3 + 17 + 39
  2. 3 + 17 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 39 = 59
Ergebnis:
59

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 5 + 46 + 45
    54645
    So fängst du an:
    Vertauschen: 5 + 45 + 46
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 + 45 + 46
    2. 5 + 45 = 50
    3. 50 + 46 = 96
    Ergebnis:
    96
  2. ●2
    Lina rechnet 7 + 17 + 23 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    71723
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 7 + 23 + 17
    2. 7 + 23 = 30
    3. 30 + 17 = 47
    Ergebnis:
    47
  3. ★3
    Rechne geschickt: 237 + 215 + 63
    23721563
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 237 + 63 + 215
    2. 237 + 63 = 300
    3. 300 + 215 = 515
    Ergebnis:
    515

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 67 + 26
6726
Schritt für Schritt
  1. 67 bekommt 3 dazu, 26 gibt 3 ab.
  2. 67 + 26 = 70 + 23
  3. 70 + 23 = 93
  1. 67 bekommt 3 dazu, 26 gibt 3 ab.
  2. 67 + 26 = 70 + 23
  3. 70 + 23 = 93
Ergebnis:
93

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 48 + 86 = 50 + ___
    4886
    So fängst du an:
    48 wird zu 50: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
    2. Also muss 86 um 2 kleiner werden: 86 − 2 = 84
    3. 50 + 84 = 134
    Ergebnis:
    84
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 39 + 43
    3943
    Lösung zeigen
    1. 39 bekommt 1 dazu, 43 gibt 1 ab.
    2. 39 + 43 = 40 + 42
    3. 40 + 42 = 82
    Ergebnis:
    82
  3. ★6
    Mia rechnet 699 + 689 als 700 + 689. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
    699689
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 699 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 700 + 689 = 1389.
    3. 1 wieder abziehen: 1389 − 1 = 1388
    Ergebnis:
    1388

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 4 Reihen mit je 27 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 4 · 27
  2. 27 = 20 + 7
  3. 4 · 20 = 80 und 4 · 7 = 28
  4. 80 + 28 = 108
  1. 4 · 27
  2. 27 = 20 + 7
  3. 4 · 20 = 80 und 4 · 7 = 28
  4. 80 + 28 = 108
Ergebnis:
108 Stühle

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 47
    So fängst du an:
    47 = 40 + 7
    Lösung zeigen
    1. 47 = 40 + 7
    2. 5 · 40 = 200 und 5 · 7 = 35
    3. 200 + 35 = 235
    Ergebnis:
    235
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 4 · 60 = 240 und 4 · 1 = 4
    3. 240 − 4 = 236
    Ergebnis:
    236
  3. ★9
    Es gibt 7 Tüten mit je 15 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 15
    2. 15 = 10 + 5
    3. 7 · 10 = 70 und 7 · 5 = 35
    4. 70 + 35 = 105
    Ergebnis:
    105 Bonbons

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 140 : 5
Schritt für Schritt
  1. 140 = 100 + 40
  2. 100 : 5 = 20 und 40 : 5 = 8
  3. 20 + 8 = 28
  1. 140 = 100 + 40
  2. 100 : 5 = 20 und 40 : 5 = 8
  3. 20 + 8 = 28
Ergebnis:
28

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    60 Bücher werden gleichmäßig auf 5 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    60 : 5
    Lösung zeigen
    1. 60 : 5
    2. 60 = 50 + 10
    3. 50 : 5 = 10 und 10 : 5 = 2
    4. 10 + 2 = 12
    Ergebnis:
    12 Bücher
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 413 : 7
    Lösung zeigen
    1. 413 = 350 + 63
    2. 350 : 7 = 50 und 63 : 7 = 9
    3. 50 + 9 = 59
    Ergebnis:
    59
  3. ★12
    321 Murmeln werden gleichmäßig auf 3 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 321 : 3
    2. 321 = 300 + 21
    3. 300 : 3 = 100 und 21 : 3 = 7
    4. 100 + 7 = 107
    Ergebnis:
    107 Murmeln

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 95 − 24 = ___ − 29
Schritt für Schritt
  1. 24 wird zu 29: 5 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 95 um 5 größer.
  3. 95 + 5 = 100
  1. 24 wird zu 29: 5 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 95 um 5 größer.
  3. 95 + 5 = 100
Ergebnis:
100

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 16 · 6 = 8 · ___
    16 · 6=8 · ?
    So fängst du an:
    16 wird halb so groß: 8.
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 6 doppelt so groß.
    3. 6 · 2 = 12
    Ergebnis:
    12
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 18 · 11 = 9 · ___
    18 · 11=9 · ?
    Lösung zeigen
    1. 18 wird halb so groß: 9.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 11 doppelt so groß.
    3. 11 · 2 = 22
    Ergebnis:
    22
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 87 + 85 = 88 + ___
    Lösung zeigen
    1. 87 wird zu 88: 1 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 85 um 1 kleiner.
    3. 85 − 1 = 84
    Ergebnis:
    84

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
Schritt für Schritt
  1. 18 · 5 = 9 · 10
  2. 9 · 10 = 90
  1. 18 · 5 = 9 · 10
  2. 9 · 10 = 90
Ergebnis:
90

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    So fängst du an:
    8 · 25 = 4 · 50
    Lösung zeigen
    1. 8 · 25 = 4 · 50
    2. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  2. ●17
    Sofia verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  3. ★18
    Warum ist 12 · 75 dasselbe wie 6 · 150? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 75 = 6 · 150
    3. 6 · 150 = 900
    Ergebnis:
    900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 332 + 598? Nenne ihn. Rechne danach.
Schritt für Schritt
  1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
  2. 332 + 598 = 330 + 600
  3. 330 + 600 = 930
  1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
  2. 332 + 598 = 330 + 600
  3. 330 + 600 = 930
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 930

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 4 · 28? Nenne ihn. Rechne danach.
    4 · 28zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 28 = 20 + 8.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 28 = 20 + 8.
    2. 4 · 20 = 80 und 4 · 8 = 32
    3. Zusammen: 112
    Ergebnis:
    zerlegen, 112
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 181 + 198? Nenne ihn. Rechne danach.
    181 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 181 + 198 = 179 + 200
    3. 179 + 200 = 379
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 379
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 6 · 77? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 77 = 70 + 7.
    2. 6 · 70 = 420 und 6 · 7 = 42
    3. Zusammen: 462
    Ergebnis:
    zerlegen, 462

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Hanna rechnet 189 : 3 und erhält 63. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
189 : 3Ergebnis 63?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 63 · 3 = 189
  2. 189 ist genau 189: Es stimmt.
  3. 189 : 3 = 63
  1. Umkehraufgabe: 63 · 3 = 189
  2. 189 ist genau 189: Es stimmt.
  3. 189 : 3 = 63
Ergebnis:
stimmt, 63

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Elias rechnet 608 : 8 und erhält 78. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    608 : 8Ergebnis 78?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 78 · 8 = 624
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 78 · 8 = 624
    2. 624 ist nicht 608: Es ist falsch.
    3. 608 : 8 = 76
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 76
  2. ●23
    Ben rechnet 657 − 571 und erhält 96. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 96 + 571 = 667
    2. 667 ist nicht 657: Es ist falsch.
    3. 657 − 571 = 86
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 86
  3. ★24
    Paul rechnet 990 : 5 und erhält 198. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    990 : 5Ergebnis 198?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 198 · 5 = 990
    2. 990 ist genau 990: Es stimmt.
    3. 990 : 5 = 198
    Ergebnis:
    stimmt, 198

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Emma rechnet 57 + 28 + 43 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    572843
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 57 + 43 + 28
    2. 57 + 43 = 100
    3. 100 + 28 = 128
    Ergebnis:
    128
  2. ●26
    Rechne geschickt: 19 · 2 · 50
    19250
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 19
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 19 = 1900
    Ergebnis:
    1900
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 69 + 89 = 70 + ___
    6989
    Lösung zeigen
    1. 69 wird zu 70: 1 mehr.
    2. Also muss 89 um 1 kleiner werden: 89 − 1 = 88
    3. 70 + 88 = 158
    Ergebnis:
    88
  4. ●28
    Milan rechnet 222 − 198 als 222 − 200 und erhält 22. Ist das schon das Ergebnis?
    222 − 198222 − 200
    Lösung zeigen
    1. Milan hat 2 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 22 + 2 = 24
    Ergebnis:
    Nein, 24
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 29
    Lösung zeigen
    1. 29 = 20 + 9
    2. 7 · 20 = 140 und 7 · 9 = 63
    3. 140 + 63 = 203
    Ergebnis:
    203
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 3 · 23?
    2033
    Lösung zeigen
    1. Links: 3 · 20 = 60
    2. Rechts: 3 · 3 = 9
    3. 3 · 23 = 60 + 9 = 69
    Ergebnis:
    3 · 20 und 3 · 3, zusammen 69

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Zeynep rechnet 37 + 27 + 13 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    372713
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    77

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Sofia rechnet 39 + 35 als 40 + 35. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
    3935
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    74

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 5 Tüten mit je 62 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    310 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    190 Murmeln werden gleichmäßig auf 5 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    38 Murmeln

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 14 · 6 = 7 · ___
    14 · 6=7 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Sofia erhält für 46 · 27 das Ergebnis 2242. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1242

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 96
  2. 47
  3. 515
  4. 84
  5. 82
  6. 1388
  7. 235
  8. 236
  9. 105 Bonbons
  10. 12 Bücher
  11. 59
  12. 107 Murmeln
  13. 12
  14. 22
  15. 84
  16. 200
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  18. 900
  19. zerlegen, 112
  20. gegensinnig verändern, 379
  21. zerlegen, 462
  22. falsch, richtig ist 76
  23. falsch, richtig ist 86
  24. stimmt, 198
  25. 128
  26. 1900
  27. 88
  28. Nein, 24
  29. 203
  30. 3 · 20 und 3 · 3, zusammen 69
  31. 77
  32. 74
  33. 310 Bonbons
  34. 38 Murmeln
  35. 12
  36. 400
  37. halbieren und verdoppeln, 400
  38. falsch, richtig ist 1242
  39. 7
  40. 96
  41. 28
  42. 26