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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 64 − 5 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 6 = 30
    2. 64 − 30 = 34
    Ergebnis:
    34
  2. ●40
    Rechne: (9 + 2) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 9 + 2 = 11
    2. 11 · 7 = 77
    Ergebnis:
    77

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 12 + 9 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 9 = 81
    2. 12 + 81 = 93
    Ergebnis:
    93
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 6 und erhalte 44. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    38

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Noah rechnet 6 + 86 + 34 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
68634
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 6 + 34 + 86
  2. 6 + 34 = 40
  3. 40 + 86 = 126
  1. Vertauschen: 6 + 34 + 86
  2. 6 + 34 = 40
  3. 40 + 86 = 126
Ergebnis:
126

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 9 + 62 + 31 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    96231
    So fängst du an:
    Vertauschen: 9 + 31 + 62
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 9 + 31 + 62
    2. 9 + 31 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 62 = 102
    Ergebnis:
    102
  2. ●2
    Zeynep rechnet 14 + 59 + 46 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    145946
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 46 + 59
    2. 14 + 46 = 60
    3. 60 + 59 = 119
    Ergebnis:
    119
  3. ★3
    Rechne geschickt: 875 + 438 + 51 + 125 + 49
    8754385112549
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 875 + 125 + 51 + 49 + 438
    2. 875 + 125 = 1000 und 51 + 49 = 100
    3. 1000 + 100 + 438 = 1538
    Ergebnis:
    1538

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 49 + 54
4954
Schritt für Schritt
  1. 49 bekommt 1 dazu, 54 gibt 1 ab.
  2. 49 + 54 = 50 + 53
  3. 50 + 53 = 103
  1. 49 bekommt 1 dazu, 54 gibt 1 ab.
  2. 49 + 54 = 50 + 53
  3. 50 + 53 = 103
Ergebnis:
103

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 97 + 58 = 100 + ___
    9758
    So fängst du an:
    97 wird zu 100: 3 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
    2. Also muss 58 um 3 kleiner werden: 58 − 3 = 55
    3. 100 + 55 = 155
    Ergebnis:
    55
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 99 + 94
    9994
    Lösung zeigen
    1. 99 bekommt 1 dazu, 94 gibt 1 ab.
    2. 99 + 94 = 100 + 93
    3. 100 + 93 = 193
    Ergebnis:
    193
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 997 + 588 = 1000 + ___
    997588
    Lösung zeigen
    1. 997 wird zu 1000: 3 mehr.
    2. Also muss 588 um 3 kleiner werden: 588 − 3 = 585
    3. 1000 + 585 = 1585
    Ergebnis:
    585

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 52
Schritt für Schritt
  1. 52 = 50 + 2
  2. 3 · 50 = 150 und 3 · 2 = 6
  3. 150 + 6 = 156
  1. 52 = 50 + 2
  2. 3 · 50 = 150 und 3 · 2 = 6
  3. 150 + 6 = 156
Ergebnis:
156

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 33
    So fängst du an:
    33 = 30 + 3
    Lösung zeigen
    1. 33 = 30 + 3
    2. 4 · 30 = 120 und 4 · 3 = 12
    3. 120 + 12 = 132
    Ergebnis:
    132
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 4 · 20 = 80 und 4 · 1 = 4
    3. 80 − 4 = 76
    Ergebnis:
    76
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 198
    Lösung zeigen
    1. 198 = 200 − 2
    2. 9 · 200 = 1800 und 9 · 2 = 18
    3. 1800 − 18 = 1782
    Ergebnis:
    1782

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 84 : 4
Schritt für Schritt
  1. 84 = 80 + 4
  2. 80 : 4 = 20 und 4 : 4 = 1
  3. 20 + 1 = 21
  1. 84 = 80 + 4
  2. 80 : 4 = 20 und 4 : 4 = 1
  3. 20 + 1 = 21
Ergebnis:
21

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 322 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 322 : 7?
    322: 7
    So fängst du an:
    322 = 280 + 42
    Lösung zeigen
    1. 322 = 280 + 42
    2. 280 : 7 = 40 und 42 : 7 = 6
    3. 40 + 6 = 46
    Ergebnis:
    46
  2. ●11
    Zerlege 78 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 78 : 6?
    78: 6
    Lösung zeigen
    1. 78 = 60 + 18
    2. 60 : 6 = 10 und 18 : 6 = 3
    3. 10 + 3 = 13
    Ergebnis:
    13
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 399 : 3
    Lösung zeigen
    1. 399 = 390 + 9
    2. 390 : 3 = 130 und 9 : 3 = 3
    3. 130 + 3 = 133
    Ergebnis:
    133

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 6 · 7 = 3 · ___
Schritt für Schritt
  1. 6 wird halb so groß: 3.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 7 doppelt so groß.
  3. 7 · 2 = 14
  1. 6 wird halb so groß: 3.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 7 doppelt so groß.
  3. 7 · 2 = 14
Ergebnis:
14

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 14 · 6 = 7 · ___
    14 · 6=7 · ?
    So fängst du an:
    14 wird halb so groß: 7.
    Lösung zeigen
    1. 14 wird halb so groß: 7.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 6 doppelt so groß.
    3. 6 · 2 = 12
    Ergebnis:
    12
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 39 + 81 = 41 + ___
    39 + 81=41 + ?
    Lösung zeigen
    1. 39 wird zu 41: 2 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 81 um 2 kleiner.
    3. 81 − 2 = 79
    Ergebnis:
    79
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 40 + 19 = 30 + ___
    40 + 19=30 + ?
    Lösung zeigen
    1. 40 wird zu 30: 10 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 19 um 10 größer.
    3. 19 + 10 = 29
    Ergebnis:
    29

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
    So fängst du an:
    14 · 5 = 7 · 10
    Lösung zeigen
    1. 14 · 5 = 7 · 10
    2. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  2. ●17
    Milan verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  3. ★18
    Hanna verdoppelt bei 12 · 75 beide Faktoren und rechnet 24 · 150. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 150 = 3600, aber 12 · 75 = 900
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 7 · 50? Nenne ihn. Rechne danach.
7 · 50zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 50 = 50 + 0.
  2. 7 · 50 = 350 und 7 · 0 = 0
  3. Zusammen: 350
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 50 = 50 + 0.
  2. 7 · 50 = 350 und 7 · 0 = 0
  3. Zusammen: 350
Ergebnis:
zerlegen, 350

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 31 + 22 + 69? Nenne ihn. Rechne danach.
    31 + 22 + 69zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 31 + 69 = 100
    3. 100 + 22 = 122
    Ergebnis:
    vertauschen, 122
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 14 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    14 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 8 · 58? Nenne ihn. Rechne danach.
    8 · 58zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 58 = 50 + 8.
    2. 8 · 50 = 400 und 8 · 8 = 64
    3. Zusammen: 464
    Ergebnis:
    zerlegen, 464

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Mia rechnet 461 − 334 und erhält 137. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 137 + 334 = 471
  2. 471 ist nicht 461: Es ist falsch.
  3. 461 − 334 = 127
  1. Umkehraufgabe: 137 + 334 = 471
  2. 471 ist nicht 461: Es ist falsch.
  3. 461 − 334 = 127
Ergebnis:
falsch, richtig ist 127

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Noah rechnet 849 − 429 und erhält 440. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 440 + 429 = 869
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 440 + 429 = 869
    2. 869 ist nicht 849: Es ist falsch.
    3. 849 − 429 = 420
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 420
  2. ●23
    Noah erhält für 31 · 20 das Ergebnis 520. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 30 · 20 = 600
    2. 520 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 31 · 20 = 620
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 620
  3. ★24
    Paul rechnet 2716 : 7 und erhält 390. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    2716 : 7Ergebnis 390?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 390 · 7 = 2730
    2. 2730 ist nicht 2716: Es ist falsch.
    3. 2716 : 7 = 388
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 388

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 4 + 88 + 36
    48836
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 4 + 36 + 88
    2. 4 + 36 = 40
    3. 40 + 88 = 128
    Ergebnis:
    128
  2. ●26
    Rechne geschickt: 17 · 2 · 50
    17250
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 17
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 17 = 1700
    Ergebnis:
    1700
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 198 + 58 = 200 + ___
    19858
    Lösung zeigen
    1. 198 wird zu 200: 2 mehr.
    2. Also muss 58 um 2 kleiner werden: 58 − 2 = 56
    3. 200 + 56 = 256
    Ergebnis:
    56
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 189 − 97
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 3 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 189 − 97 = 192 − 100
    3. 192 − 100 = 92
    Ergebnis:
    92
  5. ●29
    Es gibt 8 Tüten mit je 43 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 43
    2. 43 = 40 + 3
    3. 8 · 40 = 320 und 8 · 3 = 24
    4. 320 + 24 = 344
    Ergebnis:
    344 Bonbons
  6. ●30
    Noah rechnet 7 · 22 so: erst 7 · 20, dann 2 dazu. Noah erhält 142. Zeige am Bild, was fehlt.
    2027
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 7 Reihen mit je 2 Kästchen, nicht nur 2.
    2. Rechter Teil: 7 · 2 = 14
    3. 140 + 14 = 154
    Ergebnis:
    154

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 3 + 18 + 17 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    31817
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    38

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 199 + 23 = 200 + ___
    19923
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    22

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 29
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    87

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 96 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 96 : 6?
    96: 6
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 55 − 26 = ___ − 31
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    60

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 18 + 52 + 82? Nenne ihn. Rechne danach.
    18 + 52 + 82zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 152

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Paul rechnet 320 : 5 und erhält 63. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    320 : 5Ergebnis 63?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 64

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 102
  2. 119
  3. 1538
  4. 55
  5. 193
  6. 585
  7. 132
  8. 76
  9. 1782
  10. 46
  11. 13
  12. 133
  13. 12
  14. 79
  15. 29
  16. 70
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 900
  19. vertauschen, 122
  20. halbieren und verdoppeln, 70
  21. zerlegen, 464
  22. falsch, richtig ist 420
  23. falsch, richtig ist 620
  24. falsch, richtig ist 388
  25. 128
  26. 1700
  27. 56
  28. 92
  29. 344 Bonbons
  30. 154
  31. 38
  32. 22
  33. 87
  34. 16
  35. 60
  36. 180
  37. vertauschen, 152
  38. falsch, richtig ist 64
  39. 34
  40. 77
  41. 93
  42. 38