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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 57 − 3 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 7 = 21
    2. 57 − 21 = 36
    Ergebnis:
    36
  2. ●40
    Rechne: (4 + 9) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 9 = 13
    2. 13 · 7 = 91
    Ergebnis:
    91

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 3 + 9 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 4 = 36
    2. 3 + 36 = 39
    Ergebnis:
    39
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 33 und erhalte 61. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    28

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 15 + 41 + 5
15415
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 15 + 5 + 41
  2. 15 + 5 = 20
  3. 20 + 41 = 61
  1. Vertauschen: 15 + 5 + 41
  2. 15 + 5 = 20
  3. 20 + 41 = 61
Ergebnis:
61

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Elias rechnet 14 + 82 + 36 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    148236
    So fängst du an:
    Vertauschen: 14 + 36 + 82
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 36 + 82
    2. 14 + 36 = 50
    3. 50 + 82 = 132
    Ergebnis:
    132
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 89 + 16 + 11 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    891611
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 89 + 11 + 16
    2. 89 + 11 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 16 = 116
    Ergebnis:
    116
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 213 + 118 + 81 + 87 + 19 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    213118818719
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 213 + 87 + 81 + 19 + 118
    2. 213 + 87 = 300 und 81 + 19 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 300 + 100 + 118 = 518
    Ergebnis:
    518

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 98 + 39
9839
Schritt für Schritt
  1. 98 bekommt 2 dazu, 39 gibt 2 ab.
  2. 98 + 39 = 100 + 37
  3. 100 + 37 = 137
  1. 98 bekommt 2 dazu, 39 gibt 2 ab.
  2. 98 + 39 = 100 + 37
  3. 100 + 37 = 137
Ergebnis:
137

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Sofia rechnet 48 + 47 als 50 + 47. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
    4847
    So fängst du an:
    Sofia hat 48 um 2 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Sofia hat 48 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 50 + 47 = 97.
    3. 2 wieder abziehen: 97 − 2 = 95
    Ergebnis:
    95
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 297 + 59
    29759
    Lösung zeigen
    1. 297 bekommt 3 dazu, 59 gibt 3 ab.
    2. 297 + 59 = 300 + 56
    3. 300 + 56 = 356
    Ergebnis:
    356
  3. ★6
    Tom rechnet 496 + 897 als 500 + 897. Was muss Tom danach noch tun? Was kommt heraus?
    496897
    Lösung zeigen
    1. Tom hat 496 um 4 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 4 zu groß: 500 + 897 = 1397.
    3. 4 wieder abziehen: 1397 − 4 = 1393
    Ergebnis:
    1393

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 9 Tüten mit je 38 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 9 · 38
  2. 38 = 30 + 8
  3. 9 · 30 = 270 und 9 · 8 = 72
  4. 270 + 72 = 342
  1. 9 · 38
  2. 38 = 30 + 8
  3. 9 · 30 = 270 und 9 · 8 = 72
  4. 270 + 72 = 342
Ergebnis:
342 Bonbons

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 7 Hefte mit je 62 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    7 · 62
    Lösung zeigen
    1. 7 · 62
    2. 62 = 60 + 2
    3. 7 · 60 = 420 und 7 · 2 = 14
    4. 420 + 14 = 434
    Ergebnis:
    434 Hefte
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 8 · 20 = 160 und 8 · 1 = 8
    3. 160 − 8 = 152
    Ergebnis:
    152
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 7 · 40 = 280 und 7 · 1 = 7
    3. 280 − 7 = 273
    Ergebnis:
    273

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 195 : 3
Schritt für Schritt
  1. 195 = 180 + 15
  2. 180 : 3 = 60 und 15 : 3 = 5
  3. 60 + 5 = 65
  1. 195 = 180 + 15
  2. 180 : 3 = 60 und 15 : 3 = 5
  3. 60 + 5 = 65
Ergebnis:
65

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 345 : 5
    So fängst du an:
    345 = 300 + 45
    Lösung zeigen
    1. 345 = 300 + 45
    2. 300 : 5 = 60 und 45 : 5 = 9
    3. 60 + 9 = 69
    Ergebnis:
    69
  2. ●11
    171 Sticker werden gleichmäßig auf 3 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 171 : 3
    2. 171 = 150 + 21
    3. 150 : 3 = 50 und 21 : 3 = 7
    4. 50 + 7 = 57
    Ergebnis:
    57 Sticker
  3. ★12
    224 Murmeln werden gleichmäßig auf 8 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 224 : 8
    2. 224 = 160 + 64
    3. 160 : 8 = 20 und 64 : 8 = 8
    4. 20 + 8 = 28
    Ergebnis:
    28 Murmeln

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 6 · 7 = 3 · ___
6 · 7=3 · ?
Schritt für Schritt
  1. 6 wird halb so groß: 3.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 7 doppelt so groß.
  3. 7 · 2 = 14
  1. 6 wird halb so groß: 3.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 7 doppelt so groß.
  3. 7 · 2 = 14
Ergebnis:
14

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 12 · 3 = 6 · ___
    12 · 3=6 · ?
    So fängst du an:
    12 wird halb so groß: 6.
    Lösung zeigen
    1. 12 wird halb so groß: 6.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 3 doppelt so groß.
    3. 3 · 2 = 6
    Ergebnis:
    6
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 6 · 9 = 3 · ___
    6 · 9=3 · ?
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
    3. 9 · 2 = 18
    Ergebnis:
    18
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 17 + 27 = 18 + ___
    Lösung zeigen
    1. 17 wird zu 18: 1 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 27 um 1 kleiner.
    3. 27 − 1 = 26
    Ergebnis:
    26

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Sofia verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Tom verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
    Lösung zeigen
    1. 14 · 15 = 7 · 30
    2. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  3. ★18
    Warum ist 36 · 5 dasselbe wie 18 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 36 · 5 = 18 · 10
    3. 18 · 10 = 180
    Ergebnis:
    180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 81? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 81 = 80 + 1.
  2. 8 · 80 = 640 und 8 · 1 = 8
  3. Zusammen: 648
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 81 = 80 + 1.
  2. 8 · 80 = 640 und 8 · 1 = 8
  3. Zusammen: 648
Ergebnis:
zerlegen, 648

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 37 + 63 + 63? Nenne ihn und rechne.
    37 + 63 + 63zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 37 + 63 = 100
    3. 100 + 63 = 163
    Ergebnis:
    vertauschen, 163
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 26 + 68 + 74? Nenne ihn und rechne.
    26 + 68 + 74zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 26 + 74 = 100
    3. 100 + 68 = 168
    Ergebnis:
    vertauschen, 168
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 5 · 22? Nenne ihn und rechne.
    5 · 22zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 22 = 20 + 2.
    2. 5 · 20 = 100 und 5 · 2 = 10
    3. Zusammen: 110
    Ergebnis:
    zerlegen, 110

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Elias rechnet 84 : 3 und erhält 28. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
84 : 3Ergebnis 28?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 28 · 3 = 84
  2. 84 ist genau 84: Es stimmt.
  3. 84 : 3 = 28
  1. Umkehraufgabe: 28 · 3 = 84
  2. 84 ist genau 84: Es stimmt.
  3. 84 : 3 = 28
Ergebnis:
stimmt, 28

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Zeynep rechnet 384 − 212 und erhält 272. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 272 + 212 = 484
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 272 + 212 = 484
    2. 484 ist nicht 384: Es ist falsch.
    3. 384 − 212 = 172
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 172
  2. ●23
    Hanna rechnet 445 − 206 und erhält 239. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 239 + 206 = 445
    2. 445 ist genau 445: Es stimmt.
    3. 445 − 206 = 239
    Ergebnis:
    stimmt, 239
  3. ★24
    Paul rechnet 6299 − 3435 und erhält 2854. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 2854 + 3435 = 6289
    2. 6289 ist nicht 6299: Es ist falsch.
    3. 6299 − 3435 = 2864
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2864

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 22 + 33 + 38 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    223338
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 22 + 38 + 33
    2. 22 + 38 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 33 = 93
    Ergebnis:
    93
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 19 · 50 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    19502
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 19
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 19 = 1900
    Ergebnis:
    1900
  3. ●27
    Tom rechnet 298 + 35 als 300 + 35. Was muss Tom danach noch tun? Was kommt heraus?
    29835
    Lösung zeigen
    1. Tom hat 298 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 300 + 35 = 335.
    3. 2 wieder abziehen: 335 − 2 = 333
    Ergebnis:
    333
  4. ●28
    Noah rechnet 85 − 48 als 85 − 50 und erhält 35. Ist das schon das Ergebnis?
    85 − 4885 − 50
    Lösung zeigen
    1. Noah hat 2 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 35 + 2 = 37
    Ergebnis:
    Nein, 37
  5. ●29
    Es gibt 8 Reihen mit je 31 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 31
    2. 31 = 30 + 1
    3. 8 · 30 = 240 und 8 · 1 = 8
    4. 240 + 8 = 248
    Ergebnis:
    248 Stühle
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 6 Reihen mit je 25 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2056
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 6 · 20 = 120
    2. Rechter Teil: 6 · 5 = 30
    3. Zusammen: 120 + 30 = 150
    Ergebnis:
    150 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 39 + 44 + 61
    394461
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    144

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 97 + 86 = 100 + ___
    9786
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    83

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 64
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    256

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    390 Sticker werden gleichmäßig auf 6 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    65 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 86 + 27 = 89 + ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    24

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    210

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 322 + 598? Nenne ihn und rechne.
    322 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 920

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Lea erhält für 74 · 14 das Ergebnis 2036. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1036

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 132
  2. 116
  3. 518
  4. 95
  5. 356
  6. 1393
  7. 434 Hefte
  8. 152
  9. 273
  10. 69
  11. 57 Sticker
  12. 28 Murmeln
  13. 6
  14. 18
  15. 26
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  17. 210
  18. 180
  19. vertauschen, 163
  20. vertauschen, 168
  21. zerlegen, 110
  22. falsch, richtig ist 172
  23. stimmt, 239
  24. falsch, richtig ist 2864
  25. 93
  26. 1900
  27. 333
  28. Nein, 37
  29. 248 Stühle
  30. 150 Kästchen
  31. 144
  32. 83
  33. 256
  34. 65 Sticker
  35. 24
  36. 210
  37. gegensinnig verändern, 920
  38. falsch, richtig ist 1036
  39. 36
  40. 91
  41. 39
  42. 28