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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 9 + 5 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 8 = 40
    2. 9 + 40 = 49
    Ergebnis:
    49
  2. ●40
    Rechne: (5 + 6) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 5 + 6 = 11
    2. 11 · 6 = 66
    Ergebnis:
    66

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 7 + 3 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 5 = 15
    2. 7 + 15 = 22
    Ergebnis:
    22
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 32 und erhalte 61. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    29

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Ben rechnet 67 + 36 + 33 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
673633
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 67 + 33 + 36
  2. 67 + 33 = 100
  3. 100 + 36 = 136
  1. Vertauschen: 67 + 33 + 36
  2. 67 + 33 = 100
  3. 100 + 36 = 136
Ergebnis:
136

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 14 + 42 + 86
    144286
    So fängst du an:
    Vertauschen: 14 + 86 + 42
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 86 + 42
    2. 14 + 86 = 100
    3. 100 + 42 = 142
    Ergebnis:
    142
  2. ●2
    Rechne geschickt: 13 + 45 + 17
    134517
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 13 + 17 + 45
    2. 13 + 17 = 30
    3. 30 + 45 = 75
    Ergebnis:
    75
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 163 + 882 + 37 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    16388237
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 163 + 37 + 882
    2. 163 + 37 = 200
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 200 + 882 = 1082
    Ergebnis:
    1082

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 49 + 94
4994
Schritt für Schritt
  1. 49 bekommt 1 dazu, 94 gibt 1 ab.
  2. 49 + 94 = 50 + 93
  3. 50 + 93 = 143
  1. 49 bekommt 1 dazu, 94 gibt 1 ab.
  2. 49 + 94 = 50 + 93
  3. 50 + 93 = 143
Ergebnis:
143

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 68 + 94
    6894
    So fängst du an:
    68 bekommt 2 dazu, 94 gibt 2 ab.
    Lösung zeigen
    1. 68 bekommt 2 dazu, 94 gibt 2 ab.
    2. 68 + 94 = 70 + 92
    3. 70 + 92 = 162
    Ergebnis:
    162
  2. ●5
    Lina rechnet 67 + 86 als 70 + 86. Was muss Lina danach noch tun? Was kommt heraus?
    6786
    Lösung zeigen
    1. Lina hat 67 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 70 + 86 = 156.
    3. 3 wieder abziehen: 156 − 3 = 153
    Ergebnis:
    153
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 496 + 756
    496756
    Lösung zeigen
    1. 496 bekommt 4 dazu, 756 gibt 4 ab.
    2. 496 + 756 = 500 + 752
    3. 500 + 752 = 1252
    Ergebnis:
    1252

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 5 Reihen mit je 25 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 5 · 25
  2. 25 = 20 + 5
  3. 5 · 20 = 100 und 5 · 5 = 25
  4. 100 + 25 = 125
  1. 5 · 25
  2. 25 = 20 + 5
  3. 5 · 20 = 100 und 5 · 5 = 25
  4. 100 + 25 = 125
Ergebnis:
125 Stühle

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 31
    So fängst du an:
    31 = 30 + 1
    Lösung zeigen
    1. 31 = 30 + 1
    2. 6 · 30 = 180 und 6 · 1 = 6
    3. 180 + 6 = 186
    Ergebnis:
    186
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 16
    Lösung zeigen
    1. 16 = 10 + 6
    2. 6 · 10 = 60 und 6 · 6 = 36
    3. 60 + 36 = 96
    Ergebnis:
    96
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 7 · 286
    Lösung zeigen
    1. 286 = 200 + 80 + 6
    2. 7 · 200 = 1400; 7 · 80 = 560; 7 · 6 = 42
    3. 1400 + 560 + 42 = 2002
    Ergebnis:
    2002

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 144 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 144 : 6?
144: 6
Schritt für Schritt
  1. 144 = 120 + 24
  2. 120 : 6 = 20 und 24 : 6 = 4
  3. 20 + 4 = 24
  1. 144 = 120 + 24
  2. 120 : 6 = 20 und 24 : 6 = 4
  3. 20 + 4 = 24
Ergebnis:
24

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    207 Murmeln werden gleichmäßig auf 3 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    207 : 3
    Lösung zeigen
    1. 207 : 3
    2. 207 = 180 + 27
    3. 180 : 3 = 60 und 27 : 3 = 9
    4. 60 + 9 = 69
    Ergebnis:
    69 Murmeln
  2. ●11
    376 Sticker werden gleichmäßig auf 8 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 376 : 8
    2. 376 = 320 + 56
    3. 320 : 8 = 40 und 56 : 8 = 7
    4. 40 + 7 = 47
    Ergebnis:
    47 Sticker
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 145 : 5
    Lösung zeigen
    1. 145 = 100 + 45
    2. 100 : 5 = 20 und 45 : 5 = 9
    3. 20 + 9 = 29
    Ergebnis:
    29

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 74 − 68 = ___ − 73
Schritt für Schritt
  1. 68 wird zu 73: 5 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 74 um 5 größer.
  3. 74 + 5 = 79
  1. 68 wird zu 73: 5 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 74 um 5 größer.
  3. 74 + 5 = 79
Ergebnis:
79

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 87 − 19 = ___ − 21
    So fängst du an:
    19 wird zu 21: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 19 wird zu 21: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 87 um 2 größer.
    3. 87 + 2 = 89
    Ergebnis:
    89
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 8 · 12 = 4 · ___
    8 · 12=4 · ?
    Lösung zeigen
    1. 8 wird halb so groß: 4.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
    3. 12 · 2 = 24
    Ergebnis:
    24
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 8 · 34 + 8 · 5 = 8 · ___
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 8.
    2. 8 mal 34 und 8 mal 5 sind zusammen 8 mal (34 + 5).
    3. 34 + 5 = 39
    Ergebnis:
    39

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
Schritt für Schritt
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  2. ●17
    Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 15 = 7 · 30
    3. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  3. ★18
    Warum ist 32 · 25 dasselbe wie 16 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 32 · 25 = 16 · 50
    3. 16 · 50 = 800
    Ergebnis:
    800

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 303 + 299? Nenne ihn. Rechne danach.
Schritt für Schritt
  1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
  2. 303 + 299 = 302 + 300
  3. 302 + 300 = 602
  1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
  2. 303 + 299 = 302 + 300
  3. 302 + 300 = 602
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 602

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 9 · 49? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 49 = 40 + 9.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 49 = 40 + 9.
    2. 9 · 40 = 360 und 9 · 9 = 81
    3. Zusammen: 441
    Ergebnis:
    zerlegen, 441
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 25 + 54 + 75? Nenne ihn. Rechne danach.
    25 + 54 + 75zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 25 + 75 = 100
    3. 100 + 54 = 154
    Ergebnis:
    vertauschen, 154
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 220 + 497? Nenne ihn. Rechne danach.
    220 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 220 + 497 = 217 + 500
    3. 217 + 500 = 717
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 717

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Jonas rechnet 210 : 6 und erhält 45. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
210 : 6Ergebnis 45?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 45 · 6 = 270
  2. 270 ist nicht 210: Es ist falsch.
  3. 210 : 6 = 35
  1. Umkehraufgabe: 45 · 6 = 270
  2. 270 ist nicht 210: Es ist falsch.
  3. 210 : 6 = 35
Ergebnis:
falsch, richtig ist 35

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Milan rechnet 455 : 5 und erhält 93. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    455 : 5Ergebnis 93?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 93 · 5 = 465
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 93 · 5 = 465
    2. 465 ist nicht 455: Es ist falsch.
    3. 455 : 5 = 91
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 91
  2. ●23
    Paul rechnet 168 : 7 und erhält 34. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    168 : 7Ergebnis 34?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 34 · 7 = 238
    2. 238 ist nicht 168: Es ist falsch.
    3. 168 : 7 = 24
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 24
  3. ★24
    Milan rechnet 8449 − 632 und erhält 7817. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 7817 + 632 = 8449
    2. 8449 ist genau 8449: Es stimmt.
    3. 8449 − 632 = 7817
    Ergebnis:
    stimmt, 7817

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Zeynep rechnet 14 + 83 + 16 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    148316
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 16 + 83
    2. 14 + 16 = 30
    3. 30 + 83 = 113
    Ergebnis:
    113
  2. ●26
    Rechne geschickt: 6 · 5 · 2
    652
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 · 2 · 6
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 6 = 60
    Ergebnis:
    60
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 67 + 64
    6764
    Lösung zeigen
    1. 67 bekommt 3 dazu, 64 gibt 3 ab.
    2. 67 + 64 = 70 + 61
    3. 70 + 61 = 131
    Ergebnis:
    131
  4. ●28
    Lina rechnet 139 − 38 als 139 − 40 und erhält 99. Ist das schon das Ergebnis?
    139 − 38139 − 40
    Lösung zeigen
    1. Lina hat 2 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 99 + 2 = 101
    Ergebnis:
    Nein, 101
  5. ●29
    Es gibt 4 Hefte mit je 56 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 4 · 56
    2. 56 = 50 + 6
    3. 4 · 50 = 200 und 4 · 6 = 24
    4. 200 + 24 = 224
    Ergebnis:
    224 Hefte
  6. ●30
    Lina rechnet 4 · 12 so: erst 4 · 10, dann 2 dazu. Lina erhält 42. Zeige am Bild, was fehlt.
    1024
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 4 Reihen mit je 2 Kästchen, nicht nur 2.
    2. Rechter Teil: 4 · 2 = 8
    3. 40 + 8 = 48
    Ergebnis:
    48

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 8 + 41 + 42
    84142
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    91

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 197 + 28 = 200 + ___
    19728
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    25

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 19
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    76

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 462 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 462 : 7?
    462: 7
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    66

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 65 − 16 = ___ − 18
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    67

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    70

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 12 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Ben erhält für 81 · 39 das Ergebnis 3359. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 3159

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 142
  2. 75
  3. 1082
  4. 162
  5. 153
  6. 1252
  7. 186
  8. 96
  9. 2002
  10. 69 Murmeln
  11. 47 Sticker
  12. 29
  13. 89
  14. 24
  15. 39
  16. 70
  17. 210
  18. 800
  19. zerlegen, 441
  20. vertauschen, 154
  21. gegensinnig verändern, 717
  22. falsch, richtig ist 91
  23. falsch, richtig ist 24
  24. stimmt, 7817
  25. 113
  26. 60
  27. 131
  28. Nein, 101
  29. 224 Hefte
  30. 48
  31. 91
  32. 25
  33. 76
  34. 66
  35. 67
  36. 70
  37. halbieren und verdoppeln, 300
  38. falsch, richtig ist 3159
  39. 49
  40. 66
  41. 22
  42. 29