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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 20 − 2 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 5 = 10
    2. 20 − 10 = 10
    Ergebnis:
    10
  2. ●40
    Rechne: (8 + 6) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 6 = 14
    2. 14 · 7 = 98
    Ergebnis:
    98

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 10 + 6 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 4 = 24
    2. 10 + 24 = 34
    Ergebnis:
    34
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 4 und erhalte 44. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    40

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Elias rechnet 21 + 47 + 9 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
21479
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 21 + 9 + 47
  2. 21 + 9 = 30
  3. 30 + 47 = 77
  1. Vertauschen: 21 + 9 + 47
  2. 21 + 9 = 30
  3. 30 + 47 = 77
Ergebnis:
77

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 29 + 57 + 11 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    295711
    So fängst du an:
    Vertauschen: 29 + 11 + 57
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 29 + 11 + 57
    2. 29 + 11 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 57 = 97
    Ergebnis:
    97
  2. ●2
    Rechne geschickt: 21 + 73 + 9
    21739
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 21 + 9 + 73
    2. 21 + 9 = 30
    3. 30 + 73 = 103
    Ergebnis:
    103
  3. ★3
    Aylin rechnet 235 + 682 + 86 + 65 + 14 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    235682866514
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 235 + 65 + 86 + 14 + 682
    2. 235 + 65 = 300 und 86 + 14 = 100
    3. 300 + 100 + 682 = 1082
    Ergebnis:
    1082

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 48 + 47 = 50 + ___
4847
Schritt für Schritt
  1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
  2. Also muss 47 um 2 kleiner werden: 47 − 2 = 45
  3. 50 + 45 = 95
  1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
  2. Also muss 47 um 2 kleiner werden: 47 − 2 = 45
  3. 50 + 45 = 95
Ergebnis:
45

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 39 + 76 = 40 + ___
    3976
    So fängst du an:
    39 wird zu 40: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
    2. Also muss 76 um 1 kleiner werden: 76 − 1 = 75
    3. 40 + 75 = 115
    Ergebnis:
    75
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 38 + 87
    3887
    Lösung zeigen
    1. 38 bekommt 2 dazu, 87 gibt 2 ab.
    2. 38 + 87 = 40 + 85
    3. 40 + 85 = 125
    Ergebnis:
    125
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 499 + 782
    499782
    Lösung zeigen
    1. 499 bekommt 1 dazu, 782 gibt 1 ab.
    2. 499 + 782 = 500 + 781
    3. 500 + 781 = 1281
    Ergebnis:
    1281

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 5 Tüten mit je 38 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 5 · 38
  2. 38 = 30 + 8
  3. 5 · 30 = 150 und 5 · 8 = 40
  4. 150 + 40 = 190
  1. 5 · 38
  2. 38 = 30 + 8
  3. 5 · 30 = 150 und 5 · 8 = 40
  4. 150 + 40 = 190
Ergebnis:
190 Bonbons

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 19
    So fängst du an:
    19 = 20 − 1
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 3 · 20 = 60 und 3 · 1 = 3
    3. 60 − 3 = 57
    Ergebnis:
    57
  2. ●8
    Es gibt 3 Hefte mit je 32 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 32
    2. 32 = 30 + 2
    3. 3 · 30 = 90 und 3 · 2 = 6
    4. 90 + 6 = 96
    Ergebnis:
    96 Hefte
  3. ★9
    Es gibt 3 Hefte mit je 66 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 66
    2. 66 = 60 + 6
    3. 3 · 60 = 180 und 3 · 6 = 18
    4. 180 + 18 = 198
    Ergebnis:
    198 Hefte

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 558 : 9
Schritt für Schritt
  1. 558 = 540 + 18
  2. 540 : 9 = 60 und 18 : 9 = 2
  3. 60 + 2 = 62
  1. 558 = 540 + 18
  2. 540 : 9 = 60 und 18 : 9 = 2
  3. 60 + 2 = 62
Ergebnis:
62

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    92 Bücher werden gleichmäßig auf 4 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    92 : 4
    Lösung zeigen
    1. 92 : 4
    2. 92 = 80 + 12
    3. 80 : 4 = 20 und 12 : 4 = 3
    4. 20 + 3 = 23
    Ergebnis:
    23 Bücher
  2. ●11
    280 Murmeln werden gleichmäßig auf 5 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 280 : 5
    2. 280 = 250 + 30
    3. 250 : 5 = 50 und 30 : 5 = 6
    4. 50 + 6 = 56
    Ergebnis:
    56 Murmeln
  3. ★12
    Zerlege 352 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 352 : 8?
    352: 8
    Lösung zeigen
    1. 352 = 320 + 32
    2. 320 : 8 = 40 und 32 : 8 = 4
    3. 40 + 4 = 44
    Ergebnis:
    44

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 39 + 36 = 40 + ___
39 + 36=40 + ?
Schritt für Schritt
  1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 36 um 1 kleiner.
  3. 36 − 1 = 35
  1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 36 um 1 kleiner.
  3. 36 − 1 = 35
Ergebnis:
35

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 38 + 13 = 39 + ___
    38 + 13=39 + ?
    So fängst du an:
    38 wird zu 39: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 38 wird zu 39: 1 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 13 um 1 kleiner.
    3. 13 − 1 = 12
    Ergebnis:
    12
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 74 − 36 = ___ − 37
    Lösung zeigen
    1. 36 wird zu 37: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 74 um 1 größer.
    3. 74 + 1 = 75
    Ergebnis:
    75
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 82 − 25 = ___ − 35
    Lösung zeigen
    1. 25 wird zu 35: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 82 um 10 größer.
    3. 82 + 10 = 92
    Ergebnis:
    92

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Sofia verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
    So fängst du an:
    14 · 15 = 7 · 30
    Lösung zeigen
    1. 14 · 15 = 7 · 30
    2. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    Lösung zeigen
    1. 16 · 5 = 8 · 10
    2. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  3. ★18
    Warum ist 36 · 5 dasselbe wie 18 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 36 · 5 = 18 · 10
    3. 18 · 10 = 180
    Ergebnis:
    180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 8 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 200

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 14 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 27 + 58 + 73? Nenne ihn. Rechne danach.
    27 + 58 + 73zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 27 + 73 = 100
    3. 100 + 58 = 158
    Ergebnis:
    vertauschen, 158
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 6 · 55? Nenne ihn. Rechne danach.
    6 · 55zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 55 = 50 + 5.
    2. 6 · 50 = 300 und 6 · 5 = 30
    3. Zusammen: 330
    Ergebnis:
    zerlegen, 330

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Noah erhält für 73 · 16 das Ergebnis 1168. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 70 · 20 = 1400
  2. 1168 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 73 · 16 = 1168
  3. Das Ergebnis stimmt.
  1. Überschlag: 70 · 20 = 1400
  2. 1168 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 73 · 16 = 1168
  3. Das Ergebnis stimmt.
Ergebnis:
stimmt, 1168

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Paul rechnet 839 − 774 und erhält 165. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 165 + 774 = 939
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 165 + 774 = 939
    2. 939 ist nicht 839: Es ist falsch.
    3. 839 − 774 = 65
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 65
  2. ●23
    Tom rechnet 636 − 385 und erhält 351. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 351 + 385 = 736
    2. 736 ist nicht 636: Es ist falsch.
    3. 636 − 385 = 251
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 251
  3. ★24
    Jonas rechnet 2992 : 8 und erhält 375. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    2992 : 8Ergebnis 375?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 375 · 8 = 3000
    2. 3000 ist nicht 2992: Es ist falsch.
    3. 2992 : 8 = 374
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 374

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 15 + 21 + 5 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    15215
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 15 + 5 + 21
    2. 15 + 5 = 20
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 21 = 41
    Ergebnis:
    41
  2. ●26
    In einem Lager stehen 20 Regale mit je 5 Packungen. In jeder Packung sind 6 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    20 Regale5 Packungen6 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 20 · 5 · 6
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 6 = 600
    Ergebnis:
    600 Bälle
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 68 + 34 = 70 + ___
    6834
    Lösung zeigen
    1. 68 wird zu 70: 2 mehr.
    2. Also muss 34 um 2 kleiner werden: 34 − 2 = 32
    3. 70 + 32 = 102
    Ergebnis:
    32
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 132 − 49
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 1 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 132 − 49 = 133 − 50
    3. 133 − 50 = 83
    Ergebnis:
    83
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 4 · 20 = 80 und 4 · 1 = 4
    3. 80 − 4 = 76
    Ergebnis:
    76
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 5 · 25?
    2055
    Lösung zeigen
    1. Links: 5 · 20 = 100
    2. Rechts: 5 · 5 = 25
    3. 5 · 25 = 100 + 25 = 125
    Ergebnis:
    5 · 20 und 5 · 5, zusammen 125

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 39 + 16 + 11
    391611
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    66

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 299 + 43
    29943
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    342

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 59
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    236

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    160 Bücher werden gleichmäßig auf 5 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    32 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 14 + 33 = 4 + ___
    14 + 33=4 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    43

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    210

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 12 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    12 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Jonas rechnet 411 − 286 und erhält 135. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 125

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 97
  2. 103
  3. 1082
  4. 75
  5. 125
  6. 1281
  7. 57
  8. 96 Hefte
  9. 198 Hefte
  10. 23 Bücher
  11. 56 Murmeln
  12. 44
  13. 12
  14. 75
  15. 92
  16. 210
  17. 80
  18. 180
  19. halbieren und verdoppeln, 70
  20. vertauschen, 158
  21. zerlegen, 330
  22. falsch, richtig ist 65
  23. falsch, richtig ist 251
  24. falsch, richtig ist 374
  25. 41
  26. 600 Bälle
  27. 32
  28. 83
  29. 76
  30. 5 · 20 und 5 · 5, zusammen 125
  31. 66
  32. 342
  33. 236
  34. 32 Bücher
  35. 43
  36. 210
  37. halbieren und verdoppeln, 300
  38. falsch, richtig ist 125
  39. 10
  40. 98
  41. 34
  42. 40