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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 31 − 3 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 2 = 6
    2. 31 − 6 = 25
    Ergebnis:
    25
  2. ●40
    Rechne: (5 + 9) · 5
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 5 + 9 = 14
    2. 14 · 5 = 70
    Ergebnis:
    70

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 6 + 5 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 4 = 20
    2. 6 + 20 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 38 und erhalte 71. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    33

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 51 + 16 + 9 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
51169
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 51 + 9 + 16
  2. 51 + 9 = 60
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 16 = 76
  1. Vertauschen: 51 + 9 + 16
  2. 51 + 9 = 60
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 16 = 76
Ergebnis:
76

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 18 + 63 + 12 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    186312
    So fängst du an:
    Vertauschen: 18 + 12 + 63
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 18 + 12 + 63
    2. 18 + 12 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 63 = 93
    Ergebnis:
    93
  2. ●2
    Can rechnet 35 + 82 + 15 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    358215
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 35 + 15 + 82
    2. 35 + 15 = 50
    3. 50 + 82 = 132
    Ergebnis:
    132
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 657 + 286 + 343 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    657286343
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 657 + 343 + 286
    2. 657 + 343 = 1000
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 1000 + 286 = 1286
    Ergebnis:
    1286

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 97 + 44
9744
Schritt für Schritt
  1. 97 bekommt 3 dazu, 44 gibt 3 ab.
  2. 97 + 44 = 100 + 41
  3. 100 + 41 = 141
  1. 97 bekommt 3 dazu, 44 gibt 3 ab.
  2. 97 + 44 = 100 + 41
  3. 100 + 41 = 141
Ergebnis:
141

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 49 + 56
    4956
    So fängst du an:
    49 bekommt 1 dazu, 56 gibt 1 ab.
    Lösung zeigen
    1. 49 bekommt 1 dazu, 56 gibt 1 ab.
    2. 49 + 56 = 50 + 55
    3. 50 + 55 = 105
    Ergebnis:
    105
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 297 + 25
    29725
    Lösung zeigen
    1. 297 bekommt 3 dazu, 25 gibt 3 ab.
    2. 297 + 25 = 300 + 22
    3. 300 + 22 = 322
    Ergebnis:
    322
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 997 + 435
    997435
    Lösung zeigen
    1. 997 bekommt 3 dazu, 435 gibt 3 ab.
    2. 997 + 435 = 1000 + 432
    3. 1000 + 432 = 1432
    Ergebnis:
    1432

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 49
Schritt für Schritt
  1. 49 = 50 − 1
  2. 6 · 50 = 300 und 6 · 1 = 6
  3. 300 − 6 = 294
  1. 49 = 50 − 1
  2. 6 · 50 = 300 und 6 · 1 = 6
  3. 300 − 6 = 294
Ergebnis:
294

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 19
    So fängst du an:
    19 = 20 − 1
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 8 · 20 = 160 und 8 · 1 = 8
    3. 160 − 8 = 152
    Ergebnis:
    152
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 66
    Lösung zeigen
    1. 66 = 60 + 6
    2. 4 · 60 = 240 und 4 · 6 = 24
    3. 240 + 24 = 264
    Ergebnis:
    264
  3. ★9
    Es gibt 4 Hefte mit je 13 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 4 · 13
    2. 13 = 10 + 3
    3. 4 · 10 = 40 und 4 · 3 = 12
    4. 40 + 12 = 52
    Ergebnis:
    52 Hefte

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

342 Murmeln werden gleichmäßig auf 6 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 342 : 6
  2. 342 = 300 + 42
  3. 300 : 6 = 50 und 42 : 6 = 7
  4. 50 + 7 = 57
  1. 342 : 6
  2. 342 = 300 + 42
  3. 300 : 6 = 50 und 42 : 6 = 7
  4. 50 + 7 = 57
Ergebnis:
57 Murmeln

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    129 Murmeln werden gleichmäßig auf 3 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    129 : 3
    Lösung zeigen
    1. 129 : 3
    2. 129 = 120 + 9
    3. 120 : 3 = 40 und 9 : 3 = 3
    4. 40 + 3 = 43
    Ergebnis:
    43 Murmeln
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 145 : 5
    Lösung zeigen
    1. 145 = 100 + 45
    2. 100 : 5 = 20 und 45 : 5 = 9
    3. 20 + 9 = 29
    Ergebnis:
    29
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 864 : 6
    Lösung zeigen
    1. 864 = 840 + 24
    2. 840 : 6 = 140 und 24 : 6 = 4
    3. 140 + 4 = 144
    Ergebnis:
    144

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 79 − 32 = ___ − 42
Schritt für Schritt
  1. 32 wird zu 42: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 79 um 10 größer.
  3. 79 + 10 = 89
  1. 32 wird zu 42: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 79 um 10 größer.
  3. 79 + 10 = 89
Ergebnis:
89

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 84 − 64 = ___ − 74
    So fängst du an:
    64 wird zu 74: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 64 wird zu 74: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 84 um 10 größer.
    3. 84 + 10 = 94
    Ergebnis:
    94
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 61 − 55 = ___ − 57
    Lösung zeigen
    1. 55 wird zu 57: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 61 um 2 größer.
    3. 61 + 2 = 63
    Ergebnis:
    63
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 4 · 45 + 4 · 3 = 4 · ___
    4 · 45 + 4 · 3=4 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 4.
    2. 4 mal 45 und 4 mal 3 sind zusammen 4 mal (45 + 3).
    3. 45 + 3 = 48
    Ergebnis:
    48

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 15 = 7 · 30
  3. 7 · 30 = 210
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 15 = 7 · 30
  3. 7 · 30 = 210
Ergebnis:
210

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
    Lösung zeigen
    1. 14 · 15 = 7 · 30
    2. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  3. ★18
    Emma verdoppelt bei 22 · 15 beide Faktoren und rechnet 44 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 44 · 30 = 1320, aber 22 · 15 = 330
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 330

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 207 + 299? Nenne ihn. Rechne danach.
207 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
  2. 207 + 299 = 206 + 300
  3. 206 + 300 = 506
  1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
  2. 207 + 299 = 206 + 300
  3. 206 + 300 = 506
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 506

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 8 · 73? Nenne ihn. Rechne danach.
    8 · 73zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 73 = 70 + 3.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 73 = 70 + 3.
    2. 8 · 70 = 560 und 8 · 3 = 24
    3. Zusammen: 584
    Ergebnis:
    zerlegen, 584
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 43 + 55 + 57? Nenne ihn. Rechne danach.
    43 + 55 + 57zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 43 + 57 = 100
    3. 100 + 55 = 155
    Ergebnis:
    vertauschen, 155
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 9 · 82? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 82 = 80 + 2.
    2. 9 · 80 = 720 und 9 · 2 = 18
    3. Zusammen: 738
    Ergebnis:
    zerlegen, 738

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Emma rechnet 742 − 483 und erhält 259. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 259 + 483 = 742
  2. 742 ist genau 742: Es stimmt.
  3. 742 − 483 = 259
  1. Umkehraufgabe: 259 + 483 = 742
  2. 742 ist genau 742: Es stimmt.
  3. 742 − 483 = 259
Ergebnis:
stimmt, 259

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Emma erhält für 54 · 21 das Ergebnis 1334. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 50 · 20 = 1000
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 50 · 20 = 1000
    2. 1334 liegt zu weit weg. Genau: 54 · 21 = 1134
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1134
  2. ●23
    Zeynep rechnet 381 − 266 und erhält 105. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 105 + 266 = 371
    2. 371 ist nicht 381: Es ist falsch.
    3. 381 − 266 = 115
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 115
  3. ★24
    Emma erhält für 260 · 41 das Ergebnis 10.860. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 300 · 40 = 12.000
    2. 10.860 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 260 · 41 = 10.660
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 10.660

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Can rechnet 9 + 37 + 11 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    93711
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 9 + 11 + 37
    2. 9 + 11 = 20
    3. 20 + 37 = 57
    Ergebnis:
    57
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 5 · 8 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    582
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 · 2 · 8
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 8 = 80
    Ergebnis:
    80
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 297 + 44 = 300 + ___
    29744
    Lösung zeigen
    1. 297 wird zu 300: 3 mehr.
    2. Also muss 44 um 3 kleiner werden: 44 − 3 = 41
    3. 300 + 41 = 341
    Ergebnis:
    41
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 211 − 199
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 1 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 211 − 199 = 212 − 200
    3. 212 − 200 = 12
    Ergebnis:
    12
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 32
    Lösung zeigen
    1. 32 = 30 + 2
    2. 3 · 30 = 90 und 3 · 2 = 6
    3. 90 + 6 = 96
    Ergebnis:
    96
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 7 Reihen mit je 17 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1077
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 7 · 10 = 70
    2. Rechter Teil: 7 · 7 = 49
    3. Zusammen: 70 + 49 = 119
    Ergebnis:
    119 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 82 + 43 + 18
    824318
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    143

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Lea rechnet 297 + 84 als 300 + 84. Was muss Lea danach noch tun? Was kommt heraus?
    29784
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    381

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 8 Tüten mit je 42 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    336 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    276 Murmeln werden gleichmäßig auf 4 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    69 Murmeln

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 14 · 10 = 7 · ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 243 + 497? Nenne ihn. Rechne danach.
    243 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 740

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Ben rechnet 624 : 8 und erhält 77. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    624 : 8Ergebnis 77?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 78

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 93
  2. 132
  3. 1286
  4. 105
  5. 322
  6. 1432
  7. 152
  8. 264
  9. 52 Hefte
  10. 43 Murmeln
  11. 29
  12. 144
  13. 94
  14. 63
  15. 48
  16. 200
  17. 210
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 330
  19. zerlegen, 584
  20. vertauschen, 155
  21. zerlegen, 738
  22. falsch, richtig ist 1134
  23. falsch, richtig ist 115
  24. falsch, richtig ist 10.660
  25. 57
  26. 80
  27. 41
  28. 12
  29. 96
  30. 119 Kästchen
  31. 143
  32. 381
  33. 336 Bonbons
  34. 69 Murmeln
  35. 20
  36. 90
  37. gegensinnig verändern, 740
  38. falsch, richtig ist 78
  39. 25
  40. 70
  41. 26
  42. 33