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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 27 − 3 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 4 = 12
    2. 27 − 12 = 15
    Ergebnis:
    15
  2. ●40
    Rechne: (8 + 4) · 3
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 4 = 12
    2. 12 · 3 = 36
    Ergebnis:
    36

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 11 + 6 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 8 = 48
    2. 11 + 48 = 59
    Ergebnis:
    59
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 9 und erhalte 14. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Lea rechnet 7 + 27 + 53 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
72753
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 7 + 53 + 27
  2. 7 + 53 = 60
  3. 60 + 27 = 87
  1. Vertauschen: 7 + 53 + 27
  2. 7 + 53 = 60
  3. 60 + 27 = 87
Ergebnis:
87

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Zeynep rechnet 47 + 29 + 3 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    47293
    So fängst du an:
    Vertauschen: 47 + 3 + 29
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 47 + 3 + 29
    2. 47 + 3 = 50
    3. 50 + 29 = 79
    Ergebnis:
    79
  2. ●2
    Rechne geschickt: 72 + 82 + 28
    728228
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 72 + 28 + 82
    2. 72 + 28 = 100
    3. 100 + 82 = 182
    Ergebnis:
    182
  3. ★3
    Rechne geschickt: 706 + 407 + 17 + 294 + 83
    7064071729483
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 706 + 294 + 17 + 83 + 407
    2. 706 + 294 = 1000 und 17 + 83 = 100
    3. 1000 + 100 + 407 = 1507
    Ergebnis:
    1507

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 197 + 37
19737
Schritt für Schritt
  1. 197 bekommt 3 dazu, 37 gibt 3 ab.
  2. 197 + 37 = 200 + 34
  3. 200 + 34 = 234
  1. 197 bekommt 3 dazu, 37 gibt 3 ab.
  2. 197 + 37 = 200 + 34
  3. 200 + 34 = 234
Ergebnis:
234

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 68 + 46
    6846
    So fängst du an:
    68 bekommt 2 dazu, 46 gibt 2 ab.
    Lösung zeigen
    1. 68 bekommt 2 dazu, 46 gibt 2 ab.
    2. 68 + 46 = 70 + 44
    3. 70 + 44 = 114
    Ergebnis:
    114
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 97 + 87
    9787
    Lösung zeigen
    1. 97 bekommt 3 dazu, 87 gibt 3 ab.
    2. 97 + 87 = 100 + 84
    3. 100 + 84 = 184
    Ergebnis:
    184
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 397 + 885
    397885
    Lösung zeigen
    1. 397 bekommt 3 dazu, 885 gibt 3 ab.
    2. 397 + 885 = 400 + 882
    3. 400 + 882 = 1282
    Ergebnis:
    1282

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 9 Tüten mit je 33 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 9 · 33
  2. 33 = 30 + 3
  3. 9 · 30 = 270 und 9 · 3 = 27
  4. 270 + 27 = 297
  1. 9 · 33
  2. 33 = 30 + 3
  3. 9 · 30 = 270 und 9 · 3 = 27
  4. 270 + 27 = 297
Ergebnis:
297 Bonbons

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 6 Reihen mit je 58 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    6 · 58
    Lösung zeigen
    1. 6 · 58
    2. 58 = 50 + 8
    3. 6 · 50 = 300 und 6 · 8 = 48
    4. 300 + 48 = 348
    Ergebnis:
    348 Stühle
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 7 · 60 = 420 und 7 · 1 = 7
    3. 420 − 7 = 413
    Ergebnis:
    413
  3. ★9
    Es gibt 4 Tüten mit je 15 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 4 · 15
    2. 15 = 10 + 5
    3. 4 · 10 = 40 und 4 · 5 = 20
    4. 40 + 20 = 60
    Ergebnis:
    60 Bonbons

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 252 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 252 : 6?
252: 6
Schritt für Schritt
  1. 252 = 240 + 12
  2. 240 : 6 = 40 und 12 : 6 = 2
  3. 40 + 2 = 42
  1. 252 = 240 + 12
  2. 240 : 6 = 40 und 12 : 6 = 2
  3. 40 + 2 = 42
Ergebnis:
42

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    384 Murmeln werden gleichmäßig auf 8 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    384 : 8
    Lösung zeigen
    1. 384 : 8
    2. 384 = 320 + 64
    3. 320 : 8 = 40 und 64 : 8 = 8
    4. 40 + 8 = 48
    Ergebnis:
    48 Murmeln
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 376 : 8
    Lösung zeigen
    1. 376 = 320 + 56
    2. 320 : 8 = 40 und 56 : 8 = 7
    3. 40 + 7 = 47
    Ergebnis:
    47
  3. ★12
    267 Murmeln werden gleichmäßig auf 3 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 267 : 3
    2. 267 = 240 + 27
    3. 240 : 3 = 80 und 27 : 3 = 9
    4. 80 + 9 = 89
    Ergebnis:
    89 Murmeln

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 18 · 10 = 9 · ___
18 · 10=9 · ?
Schritt für Schritt
  1. 18 wird halb so groß: 9.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
  3. 10 · 2 = 20
  1. 18 wird halb so groß: 9.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
  3. 10 · 2 = 20
Ergebnis:
20

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 39 + 85 = 41 + ___
    So fängst du an:
    39 wird zu 41: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 39 wird zu 41: 2 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 85 um 2 kleiner.
    3. 85 − 2 = 83
    Ergebnis:
    83
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 74 − 58 = ___ − 63
    Lösung zeigen
    1. 58 wird zu 63: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 74 um 5 größer.
    3. 74 + 5 = 79
    Ergebnis:
    79
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 6 · 56 + 6 · 6 = 6 · ___
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 6.
    2. 6 mal 56 und 6 mal 6 sind zusammen 6 mal (56 + 6).
    3. 56 + 6 = 62
    Ergebnis:
    62

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 15 = 7 · 30
  3. 7 · 30 = 210
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 15 = 7 · 30
  3. 7 · 30 = 210
Ergebnis:
210

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    So fängst du an:
    16 · 25 = 8 · 50
    Lösung zeigen
    1. 16 · 25 = 8 · 50
    2. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  2. ●17
    Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ★18
    Tom verdoppelt bei 36 · 5 beide Faktoren und rechnet 72 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 72 · 10 = 720, aber 36 · 5 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 5 · 80? Nenne ihn. Rechne danach.
5 · 80zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 80 = 80 + 0.
  2. 5 · 80 = 400 und 5 · 0 = 0
  3. Zusammen: 400
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 80 = 80 + 0.
  2. 5 · 80 = 400 und 5 · 0 = 0
  3. Zusammen: 400
Ergebnis:
zerlegen, 400

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 42 + 29 + 58? Nenne ihn. Rechne danach.
    42 + 29 + 58zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 42 + 58 = 100
    3. 100 + 29 = 129
    Ergebnis:
    vertauschen, 129
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 89? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 89 = 80 + 9.
    2. 8 · 80 = 640 und 8 · 9 = 72
    3. Zusammen: 712
    Ergebnis:
    zerlegen, 712
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 12 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    12 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 12 · 25 = 6 · 50
    3. 6 · 50 = 300
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Jonas rechnet 520 : 8 und erhält 65. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
520 : 8Ergebnis 65?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 65 · 8 = 520
  2. 520 ist genau 520: Es stimmt.
  3. 520 : 8 = 65
  1. Umkehraufgabe: 65 · 8 = 520
  2. 520 ist genau 520: Es stimmt.
  3. 520 : 8 = 65
Ergebnis:
stimmt, 65

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Elias rechnet 917 − 144 und erhält 783. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 783 + 144 = 927
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 783 + 144 = 927
    2. 927 ist nicht 917: Es ist falsch.
    3. 917 − 144 = 773
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 773
  2. ●23
    Jonas erhält für 56 · 12 das Ergebnis 1672. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 60 · 10 = 600
    2. 1672 liegt zu weit weg. Genau: 56 · 12 = 672
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 672
  3. ★24
    Ben erhält für 478 · 15 das Ergebnis 8170. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 500 · 20 = 10.000
    2. 8170 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 478 · 15 = 7170
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 7170

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 63 + 86 + 37
    638637
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 63 + 37 + 86
    2. 63 + 37 = 100
    3. 100 + 86 = 186
    Ergebnis:
    186
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 25 · 5 · 4 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    2554
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 5
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 5 = 500
    Ergebnis:
    500
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 97 + 44 = 100 + ___
    9744
    Lösung zeigen
    1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
    2. Also muss 44 um 3 kleiner werden: 44 − 3 = 41
    3. 100 + 41 = 141
    Ergebnis:
    41
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 227 − 198
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 2 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 227 − 198 = 229 − 200
    3. 229 − 200 = 29
    Ergebnis:
    29
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 4 · 40 = 160 und 4 · 1 = 4
    3. 160 − 4 = 156
    Ergebnis:
    156
  6. ●30
    Paul rechnet 3 · 28 so: erst 3 · 20, dann 8 dazu. Paul erhält 68. Zeige am Bild, was fehlt.
    2083
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 3 Reihen mit je 8 Kästchen, nicht nur 8.
    2. Rechter Teil: 3 · 8 = 24
    3. 60 + 24 = 84
    Ergebnis:
    84

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 3 + 61 + 27
    36127
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    91

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 99 + 23
    9923
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    122

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 59
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    531

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 273 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 273 : 7?
    273: 7
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    39

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 22 + 64 = 12 + ___
    22 + 64=12 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    74

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Aylin verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 44 + 23 + 56? Nenne ihn. Rechne danach.
    44 + 23 + 56zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 123

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Hanna erhält für 65 · 35 das Ergebnis 3275. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2275

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 79
  2. 182
  3. 1507
  4. 114
  5. 184
  6. 1282
  7. 348 Stühle
  8. 413
  9. 60 Bonbons
  10. 48 Murmeln
  11. 47
  12. 89 Murmeln
  13. 83
  14. 79
  15. 62
  16. 400
  17. 90
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  19. vertauschen, 129
  20. zerlegen, 712
  21. halbieren und verdoppeln, 300
  22. falsch, richtig ist 773
  23. falsch, richtig ist 672
  24. falsch, richtig ist 7170
  25. 186
  26. 500
  27. 41
  28. 29
  29. 156
  30. 84
  31. 91
  32. 122
  33. 531
  34. 39
  35. 74
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  37. vertauschen, 123
  38. falsch, richtig ist 2275
  39. 15
  40. 36
  41. 59
  42. 5