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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 39 − 3 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 8 = 24
    2. 39 − 24 = 15
    Ergebnis:
    15
  2. ●40
    Rechne: (3 + 8) · 9
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 3 + 8 = 11
    2. 11 · 9 = 99
    Ergebnis:
    99

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 2 + 3 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 9 = 27
    2. 2 + 27 = 29
    Ergebnis:
    29
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 37 und erhalte 54. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    17

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 28 + 35 + 32
283532
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 28 + 32 + 35
  2. 28 + 32 = 60
  3. 60 + 35 = 95
  1. Vertauschen: 28 + 32 + 35
  2. 28 + 32 = 60
  3. 60 + 35 = 95
Ergebnis:
95

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 14 + 19 + 6
    14196
    So fängst du an:
    Vertauschen: 14 + 6 + 19
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 6 + 19
    2. 14 + 6 = 20
    3. 20 + 19 = 39
    Ergebnis:
    39
  2. ●2
    Ben rechnet 79 + 18 + 21 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    791821
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 79 + 21 + 18
    2. 79 + 21 = 100
    3. 100 + 18 = 118
    Ergebnis:
    118
  3. ★3
    Rechne geschickt: 101 + 301 + 37 + 99 + 63
    101301379963
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 101 + 99 + 37 + 63 + 301
    2. 101 + 99 = 200 und 37 + 63 = 100
    3. 200 + 100 + 301 = 601
    Ergebnis:
    601

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 298 + 24 = 300 + ___
29824
Schritt für Schritt
  1. 298 wird zu 300: 2 mehr.
  2. Also muss 24 um 2 kleiner werden: 24 − 2 = 22
  3. 300 + 22 = 322
  1. 298 wird zu 300: 2 mehr.
  2. Also muss 24 um 2 kleiner werden: 24 − 2 = 22
  3. 300 + 22 = 322
Ergebnis:
22

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 39 + 27
    3927
    So fängst du an:
    39 bekommt 1 dazu, 27 gibt 1 ab.
    Lösung zeigen
    1. 39 bekommt 1 dazu, 27 gibt 1 ab.
    2. 39 + 27 = 40 + 26
    3. 40 + 26 = 66
    Ergebnis:
    66
  2. ●5
    Sofia rechnet 69 + 87 als 70 + 87. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
    6987
    Lösung zeigen
    1. Sofia hat 69 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 70 + 87 = 157.
    3. 1 wieder abziehen: 157 − 1 = 156
    Ergebnis:
    156
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 396 + 485
    396485
    Lösung zeigen
    1. 396 bekommt 4 dazu, 485 gibt 4 ab.
    2. 396 + 485 = 400 + 481
    3. 400 + 481 = 881
    Ergebnis:
    881

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 46
Schritt für Schritt
  1. 46 = 40 + 6
  2. 4 · 40 = 160 und 4 · 6 = 24
  3. 160 + 24 = 184
  1. 46 = 40 + 6
  2. 4 · 40 = 160 und 4 · 6 = 24
  3. 160 + 24 = 184
Ergebnis:
184

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 29
    So fängst du an:
    29 = 30 − 1
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 6 · 30 = 180 und 6 · 1 = 6
    3. 180 − 6 = 174
    Ergebnis:
    174
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 45
    Lösung zeigen
    1. 45 = 40 + 5
    2. 8 · 40 = 320 und 8 · 5 = 40
    3. 320 + 40 = 360
    Ergebnis:
    360
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 52
    Lösung zeigen
    1. 52 = 50 + 2
    2. 9 · 50 = 450 und 9 · 2 = 18
    3. 450 + 18 = 468
    Ergebnis:
    468

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 152 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 152 : 4?
152: 4
Schritt für Schritt
  1. 152 = 120 + 32
  2. 120 : 4 = 30 und 32 : 4 = 8
  3. 30 + 8 = 38
  1. 152 = 120 + 32
  2. 120 : 4 = 30 und 32 : 4 = 8
  3. 30 + 8 = 38
Ergebnis:
38

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 210 : 5
    So fängst du an:
    210 = 200 + 10
    Lösung zeigen
    1. 210 = 200 + 10
    2. 200 : 5 = 40 und 10 : 5 = 2
    3. 40 + 2 = 42
    Ergebnis:
    42
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 198 : 3
    Lösung zeigen
    1. 198 = 180 + 18
    2. 180 : 3 = 60 und 18 : 3 = 6
    3. 60 + 6 = 66
    Ergebnis:
    66
  3. ★12
    132 Sticker werden gleichmäßig auf 3 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 132 : 3
    2. 132 = 120 + 12
    3. 120 : 3 = 40 und 12 : 3 = 4
    4. 40 + 4 = 44
    Ergebnis:
    44 Sticker

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 27 + 68 = 28 + ___
27 + 68=28 + ?
Schritt für Schritt
  1. 27 wird zu 28: 1 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 68 um 1 kleiner.
  3. 68 − 1 = 67
  1. 27 wird zu 28: 1 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 68 um 1 kleiner.
  3. 68 − 1 = 67
Ergebnis:
67

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 83 − 69 = ___ − 74
    So fängst du an:
    69 wird zu 74: 5 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 69 wird zu 74: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 83 um 5 größer.
    3. 83 + 5 = 88
    Ergebnis:
    88
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 52 − 20 = ___ − 22
    Lösung zeigen
    1. 20 wird zu 22: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 52 um 2 größer.
    3. 52 + 2 = 54
    Ergebnis:
    54
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 12 · 13 = 6 · ___
    12 · 13=6 · ?
    Lösung zeigen
    1. 12 wird halb so groß: 6.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
    3. 13 · 2 = 26
    Ergebnis:
    26

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
Schritt für Schritt
  1. 16 · 25 = 8 · 50
  2. 8 · 50 = 400
  1. 16 · 25 = 8 · 50
  2. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Sofia verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  2. ●17
    Tom verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  3. ★18
    Paul verdoppelt bei 36 · 5 beide Faktoren und rechnet 72 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 72 · 10 = 720, aber 36 · 5 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 6 · 49? Nenne ihn. Rechne danach.
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 49 = 40 + 9.
  2. 6 · 40 = 240 und 6 · 9 = 54
  3. Zusammen: 294
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 49 = 40 + 9.
  2. 6 · 40 = 240 und 6 · 9 = 54
  3. Zusammen: 294
Ergebnis:
zerlegen, 294

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 18 + 53 + 82? Nenne ihn. Rechne danach.
    18 + 53 + 82zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 18 + 82 = 100
    3. 100 + 53 = 153
    Ergebnis:
    vertauschen, 153
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 210 + 598? Nenne ihn. Rechne danach.
    210 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    2. 210 + 598 = 208 + 600
    3. 208 + 600 = 808
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 808
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 299 + 198? Nenne ihn. Rechne danach.
    299 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 299 + 198 = 297 + 200
    3. 297 + 200 = 497
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 497

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Tom rechnet 396 : 6 und erhält 76. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
396 : 6Ergebnis 76?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 76 · 6 = 456
  2. 456 ist nicht 396: Es ist falsch.
  3. 396 : 6 = 66
  1. Umkehraufgabe: 76 · 6 = 456
  2. 456 ist nicht 396: Es ist falsch.
  3. 396 : 6 = 66
Ergebnis:
falsch, richtig ist 66

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Emma erhält für 84 · 35 das Ergebnis 2840. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 80 · 40 = 3200
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 80 · 40 = 3200
    2. 2840 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 84 · 35 = 2940
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2940
  2. ●23
    Aylin rechnet 532 : 7 und erhält 76. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    532 : 7Ergebnis 76?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 76 · 7 = 532
    2. 532 ist genau 532: Es stimmt.
    3. 532 : 7 = 76
    Ergebnis:
    stimmt, 76
  3. ★24
    Aylin erhält für 480 · 44 das Ergebnis 20.920. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 500 · 40 = 20.000
    2. 20.920 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 480 · 44 = 21.120
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 21.120

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 44 + 89 + 16
    448916
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 44 + 16 + 89
    2. 44 + 16 = 60
    3. 60 + 89 = 149
    Ergebnis:
    149
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 50 · 3 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    5032
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 3
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 3 = 300
    Ergebnis:
    300
  3. ●27
    Elias rechnet 38 + 55 als 40 + 55. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
    3855
    Lösung zeigen
    1. Elias hat 38 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 40 + 55 = 95.
    3. 2 wieder abziehen: 95 − 2 = 93
    Ergebnis:
    93
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 76 − 19 = ___ − 20
    Lösung zeigen
    1. 19 wird zu 20: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 76 um 1 größer: 77.
    3. 77 − 20 = 57
    Ergebnis:
    77
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 4 · 60 = 240 und 4 · 1 = 4
    3. 240 − 4 = 236
    Ergebnis:
    236
  6. ●30
    Ben rechnet 4 · 19 so: erst 4 · 10, dann 9 dazu. Ben erhält 49. Zeige am Bild, was fehlt.
    1094
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 4 Reihen mit je 9 Kästchen, nicht nur 9.
    2. Rechter Teil: 4 · 9 = 36
    3. 40 + 36 = 76
    Ergebnis:
    76

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Elias rechnet 23 + 45 + 27 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    234527
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    95

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 198 + 85 = 200 + ___
    19885
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    83

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 8 Tüten mit je 55 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    440 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 132 : 4
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    33

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 70 + 80 = 68 + ___
    70 + 80=68 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    82

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Emma verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 80

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 177 + 497? Nenne ihn. Rechne danach.
    177 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 674

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Lina erhält für 27 · 17 das Ergebnis 559. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 459

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 39
  2. 118
  3. 601
  4. 66
  5. 156
  6. 881
  7. 174
  8. 360
  9. 468
  10. 42
  11. 66
  12. 44 Sticker
  13. 88
  14. 54
  15. 26
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  19. vertauschen, 153
  20. gegensinnig verändern, 808
  21. gegensinnig verändern, 497
  22. falsch, richtig ist 2940
  23. stimmt, 76
  24. falsch, richtig ist 21.120
  25. 149
  26. 300
  27. 93
  28. 77
  29. 236
  30. 76
  31. 95
  32. 83
  33. 440 Bonbons
  34. 33
  35. 82
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  37. gegensinnig verändern, 674
  38. falsch, richtig ist 459
  39. 15
  40. 99
  41. 29
  42. 17