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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 7 + 4 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 5 = 20
    2. 7 + 20 = 27
    Ergebnis:
    27
  2. ●40
    Rechne: (2 + 3) · 5
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 2 + 3 = 5
    2. 5 · 5 = 25
    Ergebnis:
    25

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 11 + 4 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 2 = 8
    2. 11 + 8 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 24 und erhalte 80. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    56

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 12 + 21 + 8 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
12218
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 12 + 8 + 21
  2. 12 + 8 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 21 = 41
  1. Vertauschen: 12 + 8 + 21
  2. 12 + 8 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 21 = 41
Ergebnis:
41

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 17 + 62 + 23 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    176223
    So fängst du an:
    Vertauschen: 17 + 23 + 62
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 17 + 23 + 62
    2. 17 + 23 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 62 = 102
    Ergebnis:
    102
  2. ●2
    Rechne geschickt: 15 + 88 + 35
    158835
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 15 + 35 + 88
    2. 15 + 35 = 50
    3. 50 + 88 = 138
    Ergebnis:
    138
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 66 + 675 + 34 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    6667534
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 66 + 34 + 675
    2. 66 + 34 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 675 = 775
    Ergebnis:
    775

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Lea rechnet 198 + 39 als 200 + 39. Was muss Lea danach noch tun? Was kommt heraus?
19839
Schritt für Schritt
  1. Lea hat 198 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 200 + 39 = 239.
  3. 2 wieder abziehen: 239 − 2 = 237
  1. Lea hat 198 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 200 + 39 = 239.
  3. 2 wieder abziehen: 239 − 2 = 237
Ergebnis:
237

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Lea rechnet 299 + 97 als 300 + 97. Was muss Lea danach noch tun? Was kommt heraus?
    29997
    So fängst du an:
    Lea hat 299 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Lea hat 299 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 300 + 97 = 397.
    3. 1 wieder abziehen: 397 − 1 = 396
    Ergebnis:
    396
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 299 + 73 = 300 + ___
    29973
    Lösung zeigen
    1. 299 wird zu 300: 1 mehr.
    2. Also muss 73 um 1 kleiner werden: 73 − 1 = 72
    3. 300 + 72 = 372
    Ergebnis:
    72
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 399 + 436 = 400 + ___
    399436
    Lösung zeigen
    1. 399 wird zu 400: 1 mehr.
    2. Also muss 436 um 1 kleiner werden: 436 − 1 = 435
    3. 400 + 435 = 835
    Ergebnis:
    435

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 39
Schritt für Schritt
  1. 39 = 40 − 1
  2. 4 · 40 = 160 und 4 · 1 = 4
  3. 160 − 4 = 156
  1. 39 = 40 − 1
  2. 4 · 40 = 160 und 4 · 1 = 4
  3. 160 − 4 = 156
Ergebnis:
156

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 45
    So fängst du an:
    45 = 40 + 5
    Lösung zeigen
    1. 45 = 40 + 5
    2. 8 · 40 = 320 und 8 · 5 = 40
    3. 320 + 40 = 360
    Ergebnis:
    360
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 3 · 50 = 150 und 3 · 1 = 3
    3. 150 − 3 = 147
    Ergebnis:
    147
  3. ★9
    Es gibt 9 Tüten mit je 72 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 72
    2. 72 = 70 + 2
    3. 9 · 70 = 630 und 9 · 2 = 18
    4. 630 + 18 = 648
    Ergebnis:
    648 Bonbons

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

567 Murmeln werden gleichmäßig auf 9 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 567 : 9
  2. 567 = 540 + 27
  3. 540 : 9 = 60 und 27 : 9 = 3
  4. 60 + 3 = 63
  1. 567 : 9
  2. 567 = 540 + 27
  3. 540 : 9 = 60 und 27 : 9 = 3
  4. 60 + 3 = 63
Ergebnis:
63 Murmeln

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    248 Bücher werden gleichmäßig auf 4 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    248 : 4
    Lösung zeigen
    1. 248 : 4
    2. 248 = 240 + 8
    3. 240 : 4 = 60 und 8 : 4 = 2
    4. 60 + 2 = 62
    Ergebnis:
    62 Bücher
  2. ●11
    Zerlege 528 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 528 : 8?
    528: 8
    Lösung zeigen
    1. 528 = 480 + 48
    2. 480 : 8 = 60 und 48 : 8 = 6
    3. 60 + 6 = 66
    Ergebnis:
    66
  3. ★12
    1358 Murmeln werden gleichmäßig auf 7 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 1358 : 7
    2. 1358 = 1330 + 28
    3. 1330 : 7 = 190 und 28 : 7 = 4
    4. 190 + 4 = 194
    Ergebnis:
    194 Murmeln

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 73 + 59 = 71 + ___
73 + 59=71 + ?
Schritt für Schritt
  1. 73 wird zu 71: 2 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 59 um 2 größer.
  3. 59 + 2 = 61
  1. 73 wird zu 71: 2 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 59 um 2 größer.
  3. 59 + 2 = 61
Ergebnis:
61

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 6 · 5 = 3 · ___
    6 · 5=3 · ?
    So fängst du an:
    6 wird halb so groß: 3.
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 5 doppelt so groß.
    3. 5 · 2 = 10
    Ergebnis:
    10
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 29 + 28 = 31 + ___
    Lösung zeigen
    1. 29 wird zu 31: 2 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 28 um 2 kleiner.
    3. 28 − 2 = 26
    Ergebnis:
    26
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 69 − 57 = ___ − 62
    Lösung zeigen
    1. 57 wird zu 62: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 69 um 5 größer.
    3. 69 + 5 = 74
    Ergebnis:
    74

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 12 · 15 = 6 · 30
  3. 6 · 30 = 180
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 12 · 15 = 6 · 30
  3. 6 · 30 = 180
Ergebnis:
180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
    So fängst du an:
    12 · 15 = 6 · 30
    Lösung zeigen
    1. 12 · 15 = 6 · 30
    2. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    Lösung zeigen
    1. 16 · 25 = 8 · 50
    2. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ★18
    Lina verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 6 · 65? Nenne ihn. Rechne danach.
6 · 65zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 65 = 60 + 5.
  2. 6 · 60 = 360 und 6 · 5 = 30
  3. Zusammen: 390
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 65 = 60 + 5.
  2. 6 · 60 = 360 und 6 · 5 = 30
  3. Zusammen: 390
Ergebnis:
zerlegen, 390

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 7 · 65? Nenne ihn. Rechne danach.
    7 · 65zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 65 = 60 + 5.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 65 = 60 + 5.
    2. 7 · 60 = 420 und 7 · 5 = 35
    3. Zusammen: 455
    Ergebnis:
    zerlegen, 455
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 18 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    18 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 14 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Noah rechnet 708 − 165 und erhält 563. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 563 + 165 = 728
  2. 728 ist nicht 708: Es ist falsch.
  3. 708 − 165 = 543
  1. Umkehraufgabe: 563 + 165 = 728
  2. 728 ist nicht 708: Es ist falsch.
  3. 708 − 165 = 543
Ergebnis:
falsch, richtig ist 543

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Sofia rechnet 674 − 130 und erhält 534. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 534 + 130 = 664
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 534 + 130 = 664
    2. 664 ist nicht 674: Es ist falsch.
    3. 674 − 130 = 544
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 544
  2. ●23
    Aylin erhält für 62 · 13 das Ergebnis 606. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 60 · 10 = 600
    2. 606 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 62 · 13 = 806
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 806
  3. ★24
    Ben rechnet 952 : 4 und erhält 237. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    952 : 4Ergebnis 237?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 237 · 4 = 948
    2. 948 ist nicht 952: Es ist falsch.
    3. 952 : 4 = 238
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 238

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 19 + 39 + 11 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    193911
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 19 + 11 + 39
    2. 19 + 11 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 39 = 69
    Ergebnis:
    69
  2. ●26
    In einem Lager stehen 20 Regale mit je 5 Packungen. In jeder Packung sind 11 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    20 Regale5 Packungen11 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 20 · 5 · 11
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 11 = 1100
    Ergebnis:
    1100 Bälle
  3. ●27
    Hanna rechnet 69 + 74 als 70 + 74. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
    6974
    Lösung zeigen
    1. Hanna hat 69 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 70 + 74 = 144.
    3. 1 wieder abziehen: 144 − 1 = 143
    Ergebnis:
    143
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 216 − 198 = ___ − 200
    Lösung zeigen
    1. 198 wird zu 200: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 216 um 2 größer: 218.
    3. 218 − 200 = 18
    Ergebnis:
    218
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 35
    Lösung zeigen
    1. 35 = 30 + 5
    2. 5 · 30 = 150 und 5 · 5 = 25
    3. 150 + 25 = 175
    Ergebnis:
    175
  6. ●30
    Lea rechnet 5 · 22 so: erst 5 · 20, dann 2 dazu. Lea erhält 102. Zeige am Bild, was fehlt.
    2025
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 5 Reihen mit je 2 Kästchen, nicht nur 2.
    2. Rechter Teil: 5 · 2 = 10
    3. 100 + 10 = 110
    Ergebnis:
    110

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 62 + 84 + 38 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    628438
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    184

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 37 + 84 = 40 + ___
    3784
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    81

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 39
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    351

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 513 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 513 : 9?
    513: 9
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    57

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 92 − 57 = ___ − 58
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    93

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    70

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 388 + 399? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 787

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Milan rechnet 913 − 566 und erhält 337. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 347

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 102
  2. 138
  3. 775
  4. 396
  5. 72
  6. 435
  7. 360
  8. 147
  9. 648 Bonbons
  10. 62 Bücher
  11. 66
  12. 194 Murmeln
  13. 10
  14. 26
  15. 74
  16. 180
  17. 400
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  19. zerlegen, 455
  20. halbieren und verdoppeln, 90
  21. halbieren und verdoppeln, 70
  22. falsch, richtig ist 544
  23. falsch, richtig ist 806
  24. falsch, richtig ist 238
  25. 69
  26. 1100 Bälle
  27. 143
  28. 218
  29. 175
  30. 110
  31. 184
  32. 81
  33. 351
  34. 57
  35. 93
  36. 70
  37. gegensinnig verändern, 787
  38. falsch, richtig ist 347
  39. 27
  40. 25
  41. 19
  42. 56