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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 20 − 3 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 4 = 12
    2. 20 − 12 = 8
    Ergebnis:
    8
  2. ●40
    Rechne: (3 + 7) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 3 + 7 = 10
    2. 10 · 6 = 60
    Ergebnis:
    60

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 9 + 9 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 6 = 54
    2. 9 + 54 = 63
    Ergebnis:
    63
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 5 und erhalte 55. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    50

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 11 + 56 + 19
115619
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 11 + 19 + 56
  2. 11 + 19 = 30
  3. 30 + 56 = 86
  1. Vertauschen: 11 + 19 + 56
  2. 11 + 19 = 30
  3. 30 + 56 = 86
Ergebnis:
86

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Aylin rechnet 4 + 43 + 16 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    44316
    So fängst du an:
    Vertauschen: 4 + 16 + 43
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 4 + 16 + 43
    2. 4 + 16 = 20
    3. 20 + 43 = 63
    Ergebnis:
    63
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 22 + 77 + 8 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    22778
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 22 + 8 + 77
    2. 22 + 8 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 77 = 107
    Ergebnis:
    107
  3. ★3
    Rechne geschickt: 335 + 128 + 665
    335128665
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 335 + 665 + 128
    2. 335 + 665 = 1000
    3. 1000 + 128 = 1128
    Ergebnis:
    1128

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 89
29889
Schritt für Schritt
  1. 298 bekommt 2 dazu, 89 gibt 2 ab.
  2. 298 + 89 = 300 + 87
  3. 300 + 87 = 387
  1. 298 bekommt 2 dazu, 89 gibt 2 ab.
  2. 298 + 89 = 300 + 87
  3. 300 + 87 = 387
Ergebnis:
387

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 98 + 67 = 100 + ___
    9867
    So fängst du an:
    98 wird zu 100: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 98 wird zu 100: 2 mehr.
    2. Also muss 67 um 2 kleiner werden: 67 − 2 = 65
    3. 100 + 65 = 165
    Ergebnis:
    65
  2. ●5
    Mia rechnet 38 + 95 als 40 + 95. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
    3895
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 38 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 40 + 95 = 135.
    3. 2 wieder abziehen: 135 − 2 = 133
    Ergebnis:
    133
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 498 + 684
    498684
    Lösung zeigen
    1. 498 bekommt 2 dazu, 684 gibt 2 ab.
    2. 498 + 684 = 500 + 682
    3. 500 + 682 = 1182
    Ergebnis:
    1182

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 69
Schritt für Schritt
  1. 69 = 60 + 9
  2. 6 · 60 = 360 und 6 · 9 = 54
  3. 360 + 54 = 414
  1. 69 = 60 + 9
  2. 6 · 60 = 360 und 6 · 9 = 54
  3. 360 + 54 = 414
Ergebnis:
414

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 4 Hefte mit je 59 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    4 · 59
    Lösung zeigen
    1. 4 · 59
    2. 59 = 50 + 9
    3. 4 · 50 = 200 und 4 · 9 = 36
    4. 200 + 36 = 236
    Ergebnis:
    236 Hefte
  2. ●8
    Es gibt 9 Hefte mit je 22 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 22
    2. 22 = 20 + 2
    3. 9 · 20 = 180 und 9 · 2 = 18
    4. 180 + 18 = 198
    Ergebnis:
    198 Hefte
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 4 · 384
    Lösung zeigen
    1. 384 = 300 + 80 + 4
    2. 4 · 300 = 1200; 4 · 80 = 320; 4 · 4 = 16
    3. 1200 + 320 + 16 = 1536
    Ergebnis:
    1536

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

621 Sticker werden gleichmäßig auf 9 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 621 : 9
  2. 621 = 540 + 81
  3. 540 : 9 = 60 und 81 : 9 = 9
  4. 60 + 9 = 69
  1. 621 : 9
  2. 621 = 540 + 81
  3. 540 : 9 = 60 und 81 : 9 = 9
  4. 60 + 9 = 69
Ergebnis:
69 Sticker

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 306 : 6
    So fängst du an:
    306 = 300 + 6
    Lösung zeigen
    1. 306 = 300 + 6
    2. 300 : 6 = 50 und 6 : 6 = 1
    3. 50 + 1 = 51
    Ergebnis:
    51
  2. ●11
    65 Bücher werden gleichmäßig auf 5 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 65 : 5
    2. 65 = 50 + 15
    3. 50 : 5 = 10 und 15 : 5 = 3
    4. 10 + 3 = 13
    Ergebnis:
    13 Bücher
  3. ★12
    704 Bücher werden gleichmäßig auf 4 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 704 : 4
    2. 704 = 680 + 24
    3. 680 : 4 = 170 und 24 : 4 = 6
    4. 170 + 6 = 176
    Ergebnis:
    176 Bücher

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 50 + 53 = 47 + ___
Schritt für Schritt
  1. 50 wird zu 47: 3 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 53 um 3 größer.
  3. 53 + 3 = 56
  1. 50 wird zu 47: 3 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 53 um 3 größer.
  3. 53 + 3 = 56
Ergebnis:
56

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 52 − 26 = ___ − 31
    So fängst du an:
    26 wird zu 31: 5 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 26 wird zu 31: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 52 um 5 größer.
    3. 52 + 5 = 57
    Ergebnis:
    57
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 51 + 85 = 49 + ___
    Lösung zeigen
    1. 51 wird zu 49: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 85 um 2 größer.
    3. 85 + 2 = 87
    Ergebnis:
    87
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 5 · 34 + 5 · 8 = 5 · ___
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 5.
    2. 5 mal 34 und 5 mal 8 sind zusammen 5 mal (34 + 8).
    3. 34 + 8 = 42
    Ergebnis:
    42

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Noah verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ben verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  2. ●17
    Zeynep verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  3. ★18
    Warum ist 32 · 25 dasselbe wie 16 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 32 · 25 = 16 · 50
    3. 16 · 50 = 800
    Ergebnis:
    800

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 242 + 497? Nenne ihn. Rechne danach.
Schritt für Schritt
  1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
  2. 242 + 497 = 239 + 500
  3. 239 + 500 = 739
  1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
  2. 242 + 497 = 239 + 500
  3. 239 + 500 = 739
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 739

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 14 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    14 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 5 · 69? Nenne ihn. Rechne danach.
    5 · 69zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 69 = 60 + 9.
    2. 5 · 60 = 300 und 5 · 9 = 45
    3. Zusammen: 345
    Ergebnis:
    zerlegen, 345
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 8 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Sofia erhält für 80 · 19 das Ergebnis 1620. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 80 · 20 = 1600
  2. 1620 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 80 · 19 = 1520
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 80 · 20 = 1600
  2. 1620 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 80 · 19 = 1520
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 1520

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Lina rechnet 524 − 462 und erhält 72. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 72 + 462 = 534
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 72 + 462 = 534
    2. 534 ist nicht 524: Es ist falsch.
    3. 524 − 462 = 62
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 62
  2. ●23
    Tom rechnet 129 : 3 und erhält 43. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    129 : 3Ergebnis 43?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 43 · 3 = 129
    2. 129 ist genau 129: Es stimmt.
    3. 129 : 3 = 43
    Ergebnis:
    stimmt, 43
  3. ★24
    Tom rechnet 1944 : 8 und erhält 245. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    1944 : 8Ergebnis 245?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 245 · 8 = 1960
    2. 1960 ist nicht 1944: Es ist falsch.
    3. 1944 : 8 = 243
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 243

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 7 + 69 + 33 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    76933
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 7 + 33 + 69
    2. 7 + 33 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 69 = 109
    Ergebnis:
    109
  2. ●26
    In einem Lager stehen 5 Regale mit je 2 Kisten. In jeder Kiste sind 9 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    5 Regale2 Kisten9 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 5 · 2 · 9
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 9 = 90
    Ergebnis:
    90 Bälle
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 38 + 63
    3863
    Lösung zeigen
    1. 38 bekommt 2 dazu, 63 gibt 2 ab.
    2. 38 + 63 = 40 + 61
    3. 40 + 61 = 101
    Ergebnis:
    101
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 195 − 38 = ___ − 40
    Lösung zeigen
    1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 195 um 2 größer: 197.
    3. 197 − 40 = 157
    Ergebnis:
    197
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 4 · 60 = 240 und 4 · 1 = 4
    3. 240 − 4 = 236
    Ergebnis:
    236
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 4 Reihen mit je 27 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2074
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 4 · 20 = 80
    2. Rechter Teil: 4 · 7 = 28
    3. Zusammen: 80 + 28 = 108
    Ergebnis:
    108 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 22 + 22 + 18 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    222218
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    62

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Mia rechnet 49 + 35 als 50 + 35. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
    4935
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    84

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 13
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    104

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    282 Sticker werden gleichmäßig auf 6 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    47 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 12 · 12 = 6 · ___
    12 · 12=6 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    24

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 37 + 71 + 63? Nenne ihn. Rechne danach.
    37 + 71 + 63zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 171

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Mia rechnet 378 : 7 und erhält 64. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    378 : 7Ergebnis 64?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 54

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 63
  2. 107
  3. 1128
  4. 65
  5. 133
  6. 1182
  7. 236 Hefte
  8. 198 Hefte
  9. 1536
  10. 51
  11. 13 Bücher
  12. 176 Bücher
  13. 57
  14. 87
  15. 42
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  18. 800
  19. halbieren und verdoppeln, 70
  20. zerlegen, 345
  21. halbieren und verdoppeln, 200
  22. falsch, richtig ist 62
  23. stimmt, 43
  24. falsch, richtig ist 243
  25. 109
  26. 90 Bälle
  27. 101
  28. 197
  29. 236
  30. 108 Kästchen
  31. 62
  32. 84
  33. 104
  34. 47 Sticker
  35. 24
  36. 200
  37. vertauschen, 171
  38. falsch, richtig ist 54
  39. 8
  40. 60
  41. 63
  42. 50