Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenÜbenBasiswissenAlle Kapitel

Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 19 − 2 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 7 = 14
    2. 19 − 14 = 5
    Ergebnis:
    5
  2. ●40
    Rechne: (8 + 8) · 8
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 8 = 16
    2. 16 · 8 = 128
    Ergebnis:
    128

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 6 + 9 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 7 = 63
    2. 6 + 63 = 69
    Ergebnis:
    69
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 8 und erhalte 19. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    11

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 14 + 55 + 46
145546
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 14 + 46 + 55
  2. 14 + 46 = 60
  3. 60 + 55 = 115
  1. Vertauschen: 14 + 46 + 55
  2. 14 + 46 = 60
  3. 60 + 55 = 115
Ergebnis:
115

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 26 + 43 + 24 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    264324
    So fängst du an:
    Vertauschen: 26 + 24 + 43
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 26 + 24 + 43
    2. 26 + 24 = 50
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 43 = 93
    Ergebnis:
    93
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 15 + 87 + 45 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    158745
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 15 + 45 + 87
    2. 15 + 45 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 87 = 147
    Ergebnis:
    147
  3. ★3
    Jonas rechnet 56 + 152 + 76 + 244 + 24 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    561527624424
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 56 + 244 + 76 + 24 + 152
    2. 56 + 244 = 300 und 76 + 24 = 100
    3. 300 + 100 + 152 = 552
    Ergebnis:
    552

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 97 + 47 = 100 + ___
9747
Schritt für Schritt
  1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
  2. Also muss 47 um 3 kleiner werden: 47 − 3 = 44
  3. 100 + 44 = 144
  1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
  2. Also muss 47 um 3 kleiner werden: 47 − 3 = 44
  3. 100 + 44 = 144
Ergebnis:
44

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 99 + 54
    9954
    So fängst du an:
    99 bekommt 1 dazu, 54 gibt 1 ab.
    Lösung zeigen
    1. 99 bekommt 1 dazu, 54 gibt 1 ab.
    2. 99 + 54 = 100 + 53
    3. 100 + 53 = 153
    Ergebnis:
    153
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 24
    29824
    Lösung zeigen
    1. 298 bekommt 2 dazu, 24 gibt 2 ab.
    2. 298 + 24 = 300 + 22
    3. 300 + 22 = 322
    Ergebnis:
    322
  3. ★6
    Zeynep rechnet 499 + 459 als 500 + 459. Was muss Zeynep danach noch tun? Was kommt heraus?
    499459
    Lösung zeigen
    1. Zeynep hat 499 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 500 + 459 = 959.
    3. 1 wieder abziehen: 959 − 1 = 958
    Ergebnis:
    958

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 3 Reihen mit je 52 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 3 · 52
  2. 52 = 50 + 2
  3. 3 · 50 = 150 und 3 · 2 = 6
  4. 150 + 6 = 156
  1. 3 · 52
  2. 52 = 50 + 2
  3. 3 · 50 = 150 und 3 · 2 = 6
  4. 150 + 6 = 156
Ergebnis:
156 Stühle

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 6 Tüten mit je 31 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    6 · 31
    Lösung zeigen
    1. 6 · 31
    2. 31 = 30 + 1
    3. 6 · 30 = 180 und 6 · 1 = 6
    4. 180 + 6 = 186
    Ergebnis:
    186 Bonbons
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 55
    Lösung zeigen
    1. 55 = 50 + 5
    2. 8 · 50 = 400 und 8 · 5 = 40
    3. 400 + 40 = 440
    Ergebnis:
    440
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 97
    Lösung zeigen
    1. 97 = 90 + 7
    2. 5 · 90 = 450 und 5 · 7 = 35
    3. 450 + 35 = 485
    Ergebnis:
    485

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

78 Murmeln werden gleichmäßig auf 3 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 78 : 3
  2. 78 = 60 + 18
  3. 60 : 3 = 20 und 18 : 3 = 6
  4. 20 + 6 = 26
  1. 78 : 3
  2. 78 = 60 + 18
  3. 60 : 3 = 20 und 18 : 3 = 6
  4. 20 + 6 = 26
Ergebnis:
26 Murmeln

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 156 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 156 : 4?
    156: 4
    So fängst du an:
    156 = 120 + 36
    Lösung zeigen
    1. 156 = 120 + 36
    2. 120 : 4 = 30 und 36 : 4 = 9
    3. 30 + 9 = 39
    Ergebnis:
    39
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 255 : 5
    Lösung zeigen
    1. 255 = 250 + 5
    2. 250 : 5 = 50 und 5 : 5 = 1
    3. 50 + 1 = 51
    Ergebnis:
    51
  3. ★12
    69 Sticker werden gleichmäßig auf 3 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 69 : 3
    2. 69 = 60 + 9
    3. 60 : 3 = 20 und 9 : 3 = 3
    4. 20 + 3 = 23
    Ergebnis:
    23 Sticker

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 40 + 86 = 39 + ___
40 + 86=39 + ?
Schritt für Schritt
  1. 40 wird zu 39: 1 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 86 um 1 größer.
  3. 86 + 1 = 87
  1. 40 wird zu 39: 1 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 86 um 1 größer.
  3. 86 + 1 = 87
Ergebnis:
87

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 18 · 13 = 9 · ___
    So fängst du an:
    18 wird halb so groß: 9.
    Lösung zeigen
    1. 18 wird halb so groß: 9.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
    3. 13 · 2 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 31 + 35 = 28 + ___
    31 + 35=28 + ?
    Lösung zeigen
    1. 31 wird zu 28: 3 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 35 um 3 größer.
    3. 35 + 3 = 38
    Ergebnis:
    38
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 8 · 15 = 4 · ___
    8 · 15=4 · ?
    Lösung zeigen
    1. 8 wird halb so groß: 4.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 15 doppelt so groß.
    3. 15 · 2 = 30
    Ergebnis:
    30

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Jonas verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Hanna verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  2. ●17
    Lina verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  3. ★18
    Warum ist 24 · 125 dasselbe wie 12 · 250? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 24 · 125 = 12 · 250
    3. 12 · 250 = 3000
    Ergebnis:
    3000

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
Schritt für Schritt
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 200

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 243 + 198? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 243 + 198 = 241 + 200
    3. 241 + 200 = 441
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 441
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 13 + 46 + 87? Nenne ihn. Rechne danach.
    13 + 46 + 87zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 13 + 87 = 100
    3. 100 + 46 = 146
    Ergebnis:
    vertauschen, 146
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 4 · 30? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 30 = 30 + 0.
    2. 4 · 30 = 120 und 4 · 0 = 0
    3. Zusammen: 120
    Ergebnis:
    zerlegen, 120

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Lea erhält für 50 · 38 das Ergebnis 1700. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 50 · 40 = 2000
  2. 1700 liegt zu weit weg. Genau: 50 · 38 = 1900
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 50 · 40 = 2000
  2. 1700 liegt zu weit weg. Genau: 50 · 38 = 1900
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 1900

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Milan rechnet 426 : 6 und erhält 73. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    426 : 6Ergebnis 73?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 73 · 6 = 438
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 73 · 6 = 438
    2. 438 ist nicht 426: Es ist falsch.
    3. 426 : 6 = 71
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 71
  2. ●23
    Hanna erhält für 56 · 30 das Ergebnis 1580. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 60 · 30 = 1800
    2. 1580 liegt zu weit weg. Genau: 56 · 30 = 1680
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1680
  3. ★24
    Jonas rechnet 1475 : 5 und erhält 294. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    1475 : 5Ergebnis 294?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 294 · 5 = 1470
    2. 1470 ist nicht 1475: Es ist falsch.
    3. 1475 : 5 = 295
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 295

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 8 + 63 + 12 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    86312
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 8 + 12 + 63
    2. 8 + 12 = 20
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 63 = 83
    Ergebnis:
    83
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 17 · 5 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    1752
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 · 2 · 17
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 17 = 170
    Ergebnis:
    170
  3. ●27
    Noah rechnet 67 + 54 als 70 + 54. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
    6754
    Lösung zeigen
    1. Noah hat 67 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 70 + 54 = 124.
    3. 3 wieder abziehen: 124 − 3 = 121
    Ergebnis:
    121
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 217 − 197 = ___ − 200
    Lösung zeigen
    1. 197 wird zu 200: 3 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 217 um 3 größer: 220.
    3. 220 − 200 = 20
    Ergebnis:
    220
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 8 · 50 = 400 und 8 · 1 = 8
    3. 400 − 8 = 392
    Ergebnis:
    392
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 7 · 13?
    1037
    Lösung zeigen
    1. Links: 7 · 10 = 70
    2. Rechts: 7 · 3 = 21
    3. 7 · 13 = 70 + 21 = 91
    Ergebnis:
    7 · 10 und 7 · 3, zusammen 91

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 29 + 75 + 21 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    297521
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    125

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 98 + 47
    9847
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    145

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 38
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    114

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 51 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 51 : 3?
    51: 3
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    17

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 12 · 12 = 6 · ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    24

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 378 + 399? Nenne ihn. Rechne danach.
    378 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 777

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Jonas erhält für 46 · 43 das Ergebnis 2178. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1978

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 93
  2. 147
  3. 552
  4. 153
  5. 322
  6. 958
  7. 186 Bonbons
  8. 440
  9. 485
  10. 39
  11. 51
  12. 23 Sticker
  13. 26
  14. 38
  15. 30
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  18. 3000
  19. gegensinnig verändern, 441
  20. vertauschen, 146
  21. zerlegen, 120
  22. falsch, richtig ist 71
  23. falsch, richtig ist 1680
  24. falsch, richtig ist 295
  25. 83
  26. 170
  27. 121
  28. 220
  29. 392
  30. 7 · 10 und 7 · 3, zusammen 91
  31. 125
  32. 145
  33. 114
  34. 17
  35. 24
  36. 200
  37. gegensinnig verändern, 777
  38. falsch, richtig ist 1978
  39. 5
  40. 128
  41. 69
  42. 11