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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 3 + 2 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 8 = 16
    2. 3 + 16 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●40
    Rechne: (3 + 5) · 4
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 3 + 5 = 8
    2. 8 · 4 = 32
    Ergebnis:
    32

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 8 + 4 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 6 = 24
    2. 8 + 24 = 32
    Ergebnis:
    32
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 25 und erhalte 77. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    52

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 25 + 73 + 25 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
257325
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 25 + 25 + 73
  2. 25 + 25 = 50
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 73 = 123
  1. Vertauschen: 25 + 25 + 73
  2. 25 + 25 = 50
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 73 = 123
Ergebnis:
123

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 35 + 19 + 15
    351915
    So fängst du an:
    Vertauschen: 35 + 15 + 19
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 35 + 15 + 19
    2. 35 + 15 = 50
    3. 50 + 19 = 69
    Ergebnis:
    69
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 15 + 54 + 5 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    15545
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 15 + 5 + 54
    2. 15 + 5 = 20
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 54 = 74
    Ergebnis:
    74
  3. ★3
    Hanna rechnet 247 + 538 + 53 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    24753853
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 247 + 53 + 538
    2. 247 + 53 = 300
    3. 300 + 538 = 838
    Ergebnis:
    838

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 37 + 94 = 40 + ___
3794
Schritt für Schritt
  1. 37 wird zu 40: 3 mehr.
  2. Also muss 94 um 3 kleiner werden: 94 − 3 = 91
  3. 40 + 91 = 131
  1. 37 wird zu 40: 3 mehr.
  2. Also muss 94 um 3 kleiner werden: 94 − 3 = 91
  3. 40 + 91 = 131
Ergebnis:
91

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 97 + 49 = 100 + ___
    9749
    So fängst du an:
    97 wird zu 100: 3 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
    2. Also muss 49 um 3 kleiner werden: 49 − 3 = 46
    3. 100 + 46 = 146
    Ergebnis:
    46
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 49 + 46 = 50 + ___
    4946
    Lösung zeigen
    1. 49 wird zu 50: 1 mehr.
    2. Also muss 46 um 1 kleiner werden: 46 − 1 = 45
    3. 50 + 45 = 95
    Ergebnis:
    45
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 399 + 816 = 400 + ___
    399816
    Lösung zeigen
    1. 399 wird zu 400: 1 mehr.
    2. Also muss 816 um 1 kleiner werden: 816 − 1 = 815
    3. 400 + 815 = 1215
    Ergebnis:
    815

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 39
Schritt für Schritt
  1. 39 = 30 + 9
  2. 8 · 30 = 240 und 8 · 9 = 72
  3. 240 + 72 = 312
  1. 39 = 30 + 9
  2. 8 · 30 = 240 und 8 · 9 = 72
  3. 240 + 72 = 312
Ergebnis:
312

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 9 Tüten mit je 18 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    9 · 18
    Lösung zeigen
    1. 9 · 18
    2. 18 = 10 + 8
    3. 9 · 10 = 90 und 9 · 8 = 72
    4. 90 + 72 = 162
    Ergebnis:
    162 Bonbons
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 23
    Lösung zeigen
    1. 23 = 20 + 3
    2. 7 · 20 = 140 und 7 · 3 = 21
    3. 140 + 21 = 161
    Ergebnis:
    161
  3. ★9
    Es gibt 7 Tüten mit je 25 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 25
    2. 25 = 20 + 5
    3. 7 · 20 = 140 und 7 · 5 = 35
    4. 140 + 35 = 175
    Ergebnis:
    175 Bonbons

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 185 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 185 : 5?
185: 5
Schritt für Schritt
  1. 185 = 150 + 35
  2. 150 : 5 = 30 und 35 : 5 = 7
  3. 30 + 7 = 37
  1. 185 = 150 + 35
  2. 150 : 5 = 30 und 35 : 5 = 7
  3. 30 + 7 = 37
Ergebnis:
37

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    236 Sticker werden gleichmäßig auf 4 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    236 : 4
    Lösung zeigen
    1. 236 : 4
    2. 236 = 200 + 36
    3. 200 : 4 = 50 und 36 : 4 = 9
    4. 50 + 9 = 59
    Ergebnis:
    59 Sticker
  2. ●11
    Zerlege 153 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 153 : 3?
    153: 3
    Lösung zeigen
    1. 153 = 150 + 3
    2. 150 : 3 = 50 und 3 : 3 = 1
    3. 50 + 1 = 51
    Ergebnis:
    51
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 856 : 8
    Lösung zeigen
    1. 856 = 800 + 56
    2. 800 : 8 = 100 und 56 : 8 = 7
    3. 100 + 7 = 107
    Ergebnis:
    107

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 4 · 10 = 2 · ___
4 · 10=2 · ?
Schritt für Schritt
  1. 4 wird halb so groß: 2.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
  3. 10 · 2 = 20
  1. 4 wird halb so groß: 2.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
  3. 10 · 2 = 20
Ergebnis:
20

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 16 · 14 = 8 · ___
    16 · 14=8 · ?
    So fängst du an:
    16 wird halb so groß: 8.
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
    3. 14 · 2 = 28
    Ergebnis:
    28
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 14 · 9 = 7 · ___
    14 · 9=7 · ?
    Lösung zeigen
    1. 14 wird halb so groß: 7.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
    3. 9 · 2 = 18
    Ergebnis:
    18
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 57 − 42 = ___ − 44
    Lösung zeigen
    1. 42 wird zu 44: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 57 um 2 größer.
    3. 57 + 2 = 59
    Ergebnis:
    59

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
Schritt für Schritt
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
Ergebnis:
180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Elias verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  2. ●17
    Paul verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 24 · 125
    Lösung zeigen
    1. 24 · 125 = 12 · 250
    2. 12 · 250 = 3000
    Ergebnis:
    3000

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 17 + 24 + 83? Nenne ihn. Rechne danach.
17 + 24 + 83zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 17 + 83 = 100
  3. 100 + 24 = 124
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 17 + 83 = 100
  3. 100 + 24 = 124
Ergebnis:
vertauschen, 124

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 31 + 58 + 69? Nenne ihn. Rechne danach.
    31 + 58 + 69zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 31 + 69 = 100
    3. 100 + 58 = 158
    Ergebnis:
    vertauschen, 158
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 8 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 39 + 52 + 61? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 39 + 61 = 100
    3. 100 + 52 = 152
    Ergebnis:
    vertauschen, 152

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Noah rechnet 752 − 524 und erhält 238. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 238 + 524 = 762
  2. 762 ist nicht 752: Es ist falsch.
  3. 752 − 524 = 228
  1. Umkehraufgabe: 238 + 524 = 762
  2. 762 ist nicht 752: Es ist falsch.
  3. 752 − 524 = 228
Ergebnis:
falsch, richtig ist 228

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas rechnet 824 − 346 und erhält 488. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 488 + 346 = 834
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 488 + 346 = 834
    2. 834 ist nicht 824: Es ist falsch.
    3. 824 − 346 = 478
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 478
  2. ●23
    Elias erhält für 41 · 20 das Ergebnis 720. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 40 · 20 = 800
    2. 720 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 41 · 20 = 820
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 820
  3. ★24
    Jonas erhält für 183 · 37 das Ergebnis 6771. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 200 · 40 = 8000
    2. 6771 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 183 · 37 = 6771
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 6771

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Milan rechnet 27 + 56 + 13 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    275613
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 27 + 13 + 56
    2. 27 + 13 = 40
    3. 40 + 56 = 96
    Ergebnis:
    96
  2. ●26
    In einem Lager stehen 5 Regale mit je 2 Kisten. In jeder Kiste sind 14 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    5 Regale2 Kisten14 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 5 · 2 · 14
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 14 = 140
    Ergebnis:
    140 Bälle
  3. ●27
    Aylin rechnet 298 + 55 als 300 + 55. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
    29855
    Lösung zeigen
    1. Aylin hat 298 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 300 + 55 = 355.
    3. 2 wieder abziehen: 355 − 2 = 353
    Ergebnis:
    353
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 69 − 27 = ___ − 30
    Lösung zeigen
    1. 27 wird zu 30: 3 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 69 um 3 größer: 72.
    3. 72 − 30 = 42
    Ergebnis:
    72
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 35
    Lösung zeigen
    1. 35 = 30 + 5
    2. 4 · 30 = 120 und 4 · 5 = 20
    3. 120 + 20 = 140
    Ergebnis:
    140
  6. ●30
    Aylin rechnet 7 · 27 so: erst 7 · 20, dann 7 dazu. Aylin erhält 147. Zeige am Bild, was fehlt.
    2077
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 7 Reihen mit je 7 Kästchen, nicht nur 7.
    2. Rechter Teil: 7 · 7 = 49
    3. 140 + 49 = 189
    Ergebnis:
    189

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 8 + 21 + 32 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    82132
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    61

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 39 + 34 = 40 + ___
    3934
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    33

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 29
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    232

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 325 : 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    65

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 34 + 70 = 31 + ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    73

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Can verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 7 · 37? Nenne ihn. Rechne danach.
    7 · 37zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 259

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Hanna erhält für 80 · 25 das Ergebnis 2000. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 2000

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 69
  2. 74
  3. 838
  4. 46
  5. 45
  6. 815
  7. 162 Bonbons
  8. 161
  9. 175 Bonbons
  10. 59 Sticker
  11. 51
  12. 107
  13. 28
  14. 18
  15. 59
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  18. 3000
  19. vertauschen, 158
  20. halbieren und verdoppeln, 200
  21. vertauschen, 152
  22. falsch, richtig ist 478
  23. falsch, richtig ist 820
  24. stimmt, 6771
  25. 96
  26. 140 Bälle
  27. 353
  28. 72
  29. 140
  30. 189
  31. 61
  32. 33
  33. 232
  34. 65
  35. 73
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  37. zerlegen, 259
  38. stimmt, 2000
  39. 19
  40. 32
  41. 32
  42. 52