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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 39 − 5 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 5 = 25
    2. 39 − 25 = 14
    Ergebnis:
    14
  2. ●40
    Rechne: (8 + 3) · 3
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 3 = 11
    2. 11 · 3 = 33
    Ergebnis:
    33

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 7 + 6 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 4 = 24
    2. 7 + 24 = 31
    Ergebnis:
    31
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 25 und erhalte 76. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    51

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 17 + 51 + 13 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
175113
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 17 + 13 + 51
  2. 17 + 13 = 30
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 51 = 81
  1. Vertauschen: 17 + 13 + 51
  2. 17 + 13 = 30
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 51 = 81
Ergebnis:
81

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 41 + 37 + 19 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    413719
    So fängst du an:
    Vertauschen: 41 + 19 + 37
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 41 + 19 + 37
    2. 41 + 19 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 37 = 97
    Ergebnis:
    97
  2. ●2
    Rechne geschickt: 7 + 19 + 23
    71923
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 7 + 23 + 19
    2. 7 + 23 = 30
    3. 30 + 19 = 49
    Ergebnis:
    49
  3. ★3
    Tom rechnet 93 + 263 + 24 + 107 + 76 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    932632410776
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 93 + 107 + 24 + 76 + 263
    2. 93 + 107 = 200 und 24 + 76 = 100
    3. 200 + 100 + 263 = 563
    Ergebnis:
    563

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 69 + 93 = 70 + ___
6993
Schritt für Schritt
  1. 69 wird zu 70: 1 mehr.
  2. Also muss 93 um 1 kleiner werden: 93 − 1 = 92
  3. 70 + 92 = 162
  1. 69 wird zu 70: 1 mehr.
  2. Also muss 93 um 1 kleiner werden: 93 − 1 = 92
  3. 70 + 92 = 162
Ergebnis:
92

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Mia rechnet 38 + 48 als 40 + 48. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
    3848
    So fängst du an:
    Mia hat 38 um 2 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 38 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 40 + 48 = 88.
    3. 2 wieder abziehen: 88 − 2 = 86
    Ergebnis:
    86
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 97 + 64 = 100 + ___
    9764
    Lösung zeigen
    1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
    2. Also muss 64 um 3 kleiner werden: 64 − 3 = 61
    3. 100 + 61 = 161
    Ergebnis:
    61
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 1996 + 916
    1996916
    Lösung zeigen
    1. 1996 bekommt 4 dazu, 916 gibt 4 ab.
    2. 1996 + 916 = 2000 + 912
    3. 2000 + 912 = 2912
    Ergebnis:
    2912

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 3 Hefte mit je 35 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 3 · 35
  2. 35 = 30 + 5
  3. 3 · 30 = 90 und 3 · 5 = 15
  4. 90 + 15 = 105
  1. 3 · 35
  2. 35 = 30 + 5
  3. 3 · 30 = 90 und 3 · 5 = 15
  4. 90 + 15 = 105
Ergebnis:
105 Hefte

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 39
    So fängst du an:
    39 = 40 − 1
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 3 · 40 = 120 und 3 · 1 = 3
    3. 120 − 3 = 117
    Ergebnis:
    117
  2. ●8
    Es gibt 5 Hefte mit je 26 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 26
    2. 26 = 20 + 6
    3. 5 · 20 = 100 und 5 · 6 = 30
    4. 100 + 30 = 130
    Ergebnis:
    130 Hefte
  3. ★9
    Es gibt 5 Reihen mit je 84 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 84
    2. 84 = 80 + 4
    3. 5 · 80 = 400 und 5 · 4 = 20
    4. 400 + 20 = 420
    Ergebnis:
    420 Stühle

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 78 : 6
Schritt für Schritt
  1. 78 = 60 + 18
  2. 60 : 6 = 10 und 18 : 6 = 3
  3. 10 + 3 = 13
  1. 78 = 60 + 18
  2. 60 : 6 = 10 und 18 : 6 = 3
  3. 10 + 3 = 13
Ergebnis:
13

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 120 : 5
    So fängst du an:
    120 = 100 + 20
    Lösung zeigen
    1. 120 = 100 + 20
    2. 100 : 5 = 20 und 20 : 5 = 4
    3. 20 + 4 = 24
    Ergebnis:
    24
  2. ●11
    424 Bücher werden gleichmäßig auf 8 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 424 : 8
    2. 424 = 400 + 24
    3. 400 : 8 = 50 und 24 : 8 = 3
    4. 50 + 3 = 53
    Ergebnis:
    53 Bücher
  3. ★12
    Zerlege 245 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 245 : 7?
    245: 7
    Lösung zeigen
    1. 245 = 210 + 35
    2. 210 : 7 = 30 und 35 : 7 = 5
    3. 30 + 5 = 35
    Ergebnis:
    35

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 14 · 14 = 7 · ___
14 · 14=7 · ?
Schritt für Schritt
  1. 14 wird halb so groß: 7.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
  3. 14 · 2 = 28
  1. 14 wird halb so groß: 7.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
  3. 14 · 2 = 28
Ergebnis:
28

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 29 + 65 = 30 + ___
    29 + 65=30 + ?
    So fängst du an:
    29 wird zu 30: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 29 wird zu 30: 1 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 65 um 1 kleiner.
    3. 65 − 1 = 64
    Ergebnis:
    64
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 41 − 31 = ___ − 41
    Lösung zeigen
    1. 31 wird zu 41: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 41 um 10 größer.
    3. 41 + 10 = 51
    Ergebnis:
    51
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 91 − 38 = ___ − 39
    Lösung zeigen
    1. 38 wird zu 39: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 91 um 1 größer.
    3. 91 + 1 = 92
    Ergebnis:
    92

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Noah verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    So fängst du an:
    16 · 25 = 8 · 50
    Lösung zeigen
    1. 16 · 25 = 8 · 50
    2. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  2. ●17
    Emma verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  3. ★18
    Warum ist 14 · 35 dasselbe wie 7 · 70? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 35 = 7 · 70
    3. 7 · 70 = 490
    Ergebnis:
    490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 33 + 52 + 67? Nenne ihn. Rechne danach.
33 + 52 + 67zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 33 + 67 = 100
  3. 100 + 52 = 152
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 33 + 67 = 100
  3. 100 + 52 = 152
Ergebnis:
vertauschen, 152

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 16 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 4 · 27? Nenne ihn. Rechne danach.
    4 · 27zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 27 = 20 + 7.
    2. 4 · 20 = 80 und 4 · 7 = 28
    3. Zusammen: 108
    Ergebnis:
    zerlegen, 108

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Hanna rechnet 523 − 391 und erhält 142. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 142 + 391 = 533
  2. 533 ist nicht 523: Es ist falsch.
  3. 523 − 391 = 132
  1. Umkehraufgabe: 142 + 391 = 533
  2. 533 ist nicht 523: Es ist falsch.
  3. 523 − 391 = 132
Ergebnis:
falsch, richtig ist 132

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Elias rechnet 810 : 9 und erhält 92. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    810 : 9Ergebnis 92?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 92 · 9 = 828
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 92 · 9 = 828
    2. 828 ist nicht 810: Es ist falsch.
    3. 810 : 9 = 90
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 90
  2. ●23
    Aylin rechnet 324 : 4 und erhält 82. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    324 : 4Ergebnis 82?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 82 · 4 = 328
    2. 328 ist nicht 324: Es ist falsch.
    3. 324 : 4 = 81
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 81
  3. ★24
    Tom erhält für 214 · 13 das Ergebnis 2882. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 200 · 10 = 2000
    2. 2882 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 214 · 13 = 2782
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2782

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Lea rechnet 7 + 12 + 53 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    71253
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 7 + 53 + 12
    2. 7 + 53 = 60
    3. 60 + 12 = 72
    Ergebnis:
    72
  2. ●26
    In einem Lager stehen 50 Regale mit je 2 Kartons. In jedem Karton sind 7 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    50 Regale2 Kartons7 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 50 · 2 · 7
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 7 = 700
    Ergebnis:
    700 Bälle
  3. ●27
    Paul rechnet 48 + 76 als 50 + 76. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    4876
    Lösung zeigen
    1. Paul hat 48 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 50 + 76 = 126.
    3. 2 wieder abziehen: 126 − 2 = 124
    Ergebnis:
    124
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 223 − 199
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 1 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 223 − 199 = 224 − 200
    3. 224 − 200 = 24
    Ergebnis:
    24
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 16
    Lösung zeigen
    1. 16 = 10 + 6
    2. 9 · 10 = 90 und 9 · 6 = 54
    3. 90 + 54 = 144
    Ergebnis:
    144
  6. ●30
    Paul rechnet 6 · 21 so: erst 6 · 20, dann 1 dazu. Paul erhält 121. Zeige am Bild, was fehlt.
    2016
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 6 Reihen mit je 1 Kästchen, nicht nur 1.
    2. Rechter Teil: 6 · 1 = 6
    3. 120 + 6 = 126
    Ergebnis:
    126

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Noah rechnet 14 + 88 + 6 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    14886
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    108

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 39 + 79
    3979
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    118

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 33
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    264

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 486 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 486 : 9?
    486: 9
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    54

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 52 + 50 = 42 + ___
    52 + 50=42 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    60

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    70

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 8 · 89? Nenne ihn. Rechne danach.
    8 · 89zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 712

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Zeynep erhält für 38 · 24 das Ergebnis 912. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 912

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 97
  2. 49
  3. 563
  4. 86
  5. 61
  6. 2912
  7. 117
  8. 130 Hefte
  9. 420 Stühle
  10. 24
  11. 53 Bücher
  12. 35
  13. 64
  14. 51
  15. 92
  16. 400
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  18. 490
  19. halbieren und verdoppeln, 80
  20. halbieren und verdoppeln, 80
  21. zerlegen, 108
  22. falsch, richtig ist 90
  23. falsch, richtig ist 81
  24. falsch, richtig ist 2782
  25. 72
  26. 700 Bälle
  27. 124
  28. 24
  29. 144
  30. 126
  31. 108
  32. 118
  33. 264
  34. 54
  35. 60
  36. 70
  37. zerlegen, 712
  38. stimmt, 912
  39. 14
  40. 33
  41. 31
  42. 51