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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 29 − 2 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 7 = 14
    2. 29 − 14 = 15
    Ergebnis:
    15
  2. ●40
    Rechne: (3 + 7) · 9
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 3 + 7 = 10
    2. 10 · 9 = 90
    Ergebnis:
    90

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 11 + 9 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 4 = 36
    2. 11 + 36 = 47
    Ergebnis:
    47
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 28 und erhalte 86. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    58

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Sofia rechnet 32 + 22 + 68 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
322268
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 32 + 68 + 22
  2. 32 + 68 = 100
  3. 100 + 22 = 122
  1. Vertauschen: 32 + 68 + 22
  2. 32 + 68 = 100
  3. 100 + 22 = 122
Ergebnis:
122

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 19 + 45 + 21
    194521
    So fängst du an:
    Vertauschen: 19 + 21 + 45
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 19 + 21 + 45
    2. 19 + 21 = 40
    3. 40 + 45 = 85
    Ergebnis:
    85
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 28 + 57 + 22 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    285722
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 28 + 22 + 57
    2. 28 + 22 = 50
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 57 = 107
    Ergebnis:
    107
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 77 + 184 + 23 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    7718423
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 77 + 23 + 184
    2. 77 + 23 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 184 = 284
    Ergebnis:
    284

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Aylin rechnet 98 + 59 als 100 + 59. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
9859
Schritt für Schritt
  1. Aylin hat 98 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 59 = 159.
  3. 2 wieder abziehen: 159 − 2 = 157
  1. Aylin hat 98 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 59 = 159.
  3. 2 wieder abziehen: 159 − 2 = 157
Ergebnis:
157

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Can rechnet 39 + 29 als 40 + 29. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
    3929
    So fängst du an:
    Can hat 39 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Can hat 39 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 40 + 29 = 69.
    3. 1 wieder abziehen: 69 − 1 = 68
    Ergebnis:
    68
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 48 + 49
    4849
    Lösung zeigen
    1. 48 bekommt 2 dazu, 49 gibt 2 ab.
    2. 48 + 49 = 50 + 47
    3. 50 + 47 = 97
    Ergebnis:
    97
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 498 + 428
    498428
    Lösung zeigen
    1. 498 bekommt 2 dazu, 428 gibt 2 ab.
    2. 498 + 428 = 500 + 426
    3. 500 + 426 = 926
    Ergebnis:
    926

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 29
Schritt für Schritt
  1. 29 = 20 + 9
  2. 9 · 20 = 180 und 9 · 9 = 81
  3. 180 + 81 = 261
  1. 29 = 20 + 9
  2. 9 · 20 = 180 und 9 · 9 = 81
  3. 180 + 81 = 261
Ergebnis:
261

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 3 Tüten mit je 63 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    3 · 63
    Lösung zeigen
    1. 3 · 63
    2. 63 = 60 + 3
    3. 3 · 60 = 180 und 3 · 3 = 9
    4. 180 + 9 = 189
    Ergebnis:
    189 Bonbons
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 67
    Lösung zeigen
    1. 67 = 60 + 7
    2. 3 · 60 = 180 und 3 · 7 = 21
    3. 180 + 21 = 201
    Ergebnis:
    201
  3. ★9
    Es gibt 7 Hefte mit je 53 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 53
    2. 53 = 50 + 3
    3. 7 · 50 = 350 und 7 · 3 = 21
    4. 350 + 21 = 371
    Ergebnis:
    371 Hefte

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

285 Murmeln werden gleichmäßig auf 5 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 285 : 5
  2. 285 = 250 + 35
  3. 250 : 5 = 50 und 35 : 5 = 7
  4. 50 + 7 = 57
  1. 285 : 5
  2. 285 = 250 + 35
  3. 250 : 5 = 50 und 35 : 5 = 7
  4. 50 + 7 = 57
Ergebnis:
57 Murmeln

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    369 Murmeln werden gleichmäßig auf 9 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    369 : 9
    Lösung zeigen
    1. 369 : 9
    2. 369 = 360 + 9
    3. 360 : 9 = 40 und 9 : 9 = 1
    4. 40 + 1 = 41
    Ergebnis:
    41 Murmeln
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 102 : 3
    Lösung zeigen
    1. 102 = 90 + 12
    2. 90 : 3 = 30 und 12 : 3 = 4
    3. 30 + 4 = 34
    Ergebnis:
    34
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 336 : 4
    Lösung zeigen
    1. 336 = 320 + 16
    2. 320 : 4 = 80 und 16 : 4 = 4
    3. 80 + 4 = 84
    Ergebnis:
    84

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 97 − 31 = ___ − 32
Schritt für Schritt
  1. 31 wird zu 32: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 97 um 1 größer.
  3. 97 + 1 = 98
  1. 31 wird zu 32: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 97 um 1 größer.
  3. 97 + 1 = 98
Ergebnis:
98

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 43 + 29 = 40 + ___
    So fängst du an:
    43 wird zu 40: 3 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 43 wird zu 40: 3 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 29 um 3 größer.
    3. 29 + 3 = 32
    Ergebnis:
    32
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 85 − 64 = ___ − 69
    Lösung zeigen
    1. 64 wird zu 69: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 85 um 5 größer.
    3. 85 + 5 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 71 − 12 = ___ − 13
    Lösung zeigen
    1. 12 wird zu 13: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 71 um 1 größer.
    3. 71 + 1 = 72
    Ergebnis:
    72

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
Schritt für Schritt
  1. 8 · 25 = 4 · 50
  2. 4 · 50 = 200
  1. 8 · 25 = 4 · 50
  2. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  2. ●17
    Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 15 = 7 · 30
    3. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  3. ★18
    Warum ist 14 · 35 dasselbe wie 7 · 70? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 35 = 7 · 70
    3. 7 · 70 = 490
    Ergebnis:
    490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 28 + 61 + 72? Nenne ihn und rechne.
28 + 61 + 72zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 28 + 72 = 100
  3. 100 + 61 = 161
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 28 + 72 = 100
  3. 100 + 61 = 161
Ergebnis:
vertauschen, 161

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 247 + 497? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 247 + 497 = 244 + 500
    3. 244 + 500 = 744
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 744
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 5 · 49? Nenne ihn und rechne.
    5 · 49zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 49 = 40 + 9.
    2. 5 · 40 = 200 und 5 · 9 = 45
    3. Zusammen: 245
    Ergebnis:
    zerlegen, 245
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 14 · 5? Nenne ihn und rechne.
    14 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Aylin rechnet 580 − 273 und erhält 407. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 407 + 273 = 680
  2. 680 ist nicht 580: Es ist falsch.
  3. 580 − 273 = 307
  1. Umkehraufgabe: 407 + 273 = 680
  2. 680 ist nicht 580: Es ist falsch.
  3. 580 − 273 = 307
Ergebnis:
falsch, richtig ist 307

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Emma erhält für 83 · 22 das Ergebnis 1726. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 80 · 20 = 1600
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 80 · 20 = 1600
    2. 1726 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 83 · 22 = 1826
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1826
  2. ●23
    Sofia erhält für 54 · 18 das Ergebnis 1972. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 50 · 20 = 1000
    2. 1972 liegt zu weit weg. Genau: 54 · 18 = 972
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 972
  3. ★24
    Ben rechnet 4499 − 2539 und erhält 1960. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 1960 + 2539 = 4499
    2. 4499 ist genau 4499: Es stimmt.
    3. 4499 − 2539 = 1960
    Ergebnis:
    stimmt, 1960

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 31 + 67 + 29 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    316729
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 31 + 29 + 67
    2. 31 + 29 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 67 = 127
    Ergebnis:
    127
  2. ●26
    Rechne geschickt: 20 · 19 · 5
    20195
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 20 · 5 · 19
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 19 = 1900
    Ergebnis:
    1900
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 49 + 68 = 50 + ___
    4968
    Lösung zeigen
    1. 49 wird zu 50: 1 mehr.
    2. Also muss 68 um 1 kleiner werden: 68 − 1 = 67
    3. 50 + 67 = 117
    Ergebnis:
    67
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 161 − 39 = ___ − 40
    Lösung zeigen
    1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 161 um 1 größer: 162.
    3. 162 − 40 = 122
    Ergebnis:
    162
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 6 · 60 = 360 und 6 · 1 = 6
    3. 360 − 6 = 354
    Ergebnis:
    354
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 6 · 27?
    2076
    Lösung zeigen
    1. Links: 6 · 20 = 120
    2. Rechts: 6 · 7 = 42
    3. 6 · 27 = 120 + 42 = 162
    Ergebnis:
    6 · 20 und 6 · 7, zusammen 162

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 15 + 14 + 35 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    151435
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    64

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 68 + 29
    6829
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    97

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 9 Reihen mit je 53 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    477 Stühle

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 378 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 378 : 6?
    378: 6
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    63

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 57 + 73 = 59 + ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    71

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Ben verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 123 + 399? Nenne ihn und rechne.
    123 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 522

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Can erhält für 52 · 39 das Ergebnis 2028. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 2028

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 85
  2. 107
  3. 284
  4. 68
  5. 97
  6. 926
  7. 189 Bonbons
  8. 201
  9. 371 Hefte
  10. 41 Murmeln
  11. 34
  12. 84
  13. 32
  14. 90
  15. 72
  16. 80
  17. 210
  18. 490
  19. gegensinnig verändern, 744
  20. zerlegen, 245
  21. halbieren und verdoppeln, 70
  22. falsch, richtig ist 1826
  23. falsch, richtig ist 972
  24. stimmt, 1960
  25. 127
  26. 1900
  27. 67
  28. 162
  29. 354
  30. 6 · 20 und 6 · 7, zusammen 162
  31. 64
  32. 97
  33. 477 Stühle
  34. 63
  35. 71
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  37. gegensinnig verändern, 522
  38. stimmt, 2028
  39. 15
  40. 90
  41. 47
  42. 58