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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 9 + 5 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 5 = 25
    2. 9 + 25 = 34
    Ergebnis:
    34
  2. ●40
    Rechne: (3 + 5) · 8
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 3 + 5 = 8
    2. 8 · 8 = 64
    Ergebnis:
    64

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 4 + 9 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 2 = 18
    2. 4 + 18 = 22
    Ergebnis:
    22
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 5 und erhalte 23. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    18

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 24 + 78 + 6 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
24786
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 24 + 6 + 78
  2. 24 + 6 = 30
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 78 = 108
  1. Vertauschen: 24 + 6 + 78
  2. 24 + 6 = 30
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 78 = 108
Ergebnis:
108

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 35 + 58 + 5
    35585
    So fängst du an:
    Vertauschen: 35 + 5 + 58
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 35 + 5 + 58
    2. 35 + 5 = 40
    3. 40 + 58 = 98
    Ergebnis:
    98
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 15 + 14 + 85 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    151485
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 15 + 85 + 14
    2. 15 + 85 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 14 = 114
    Ergebnis:
    114
  3. ★3
    Rechne geschickt: 174 + 397 + 26
    17439726
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 174 + 26 + 397
    2. 174 + 26 = 200
    3. 200 + 397 = 597
    Ergebnis:
    597

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 297 + 86 = 300 + ___
29786
Schritt für Schritt
  1. 297 wird zu 300: 3 mehr.
  2. Also muss 86 um 3 kleiner werden: 86 − 3 = 83
  3. 300 + 83 = 383
  1. 297 wird zu 300: 3 mehr.
  2. Also muss 86 um 3 kleiner werden: 86 − 3 = 83
  3. 300 + 83 = 383
Ergebnis:
83

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Mia rechnet 298 + 26 als 300 + 26. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
    29826
    So fängst du an:
    Mia hat 298 um 2 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 298 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 300 + 26 = 326.
    3. 2 wieder abziehen: 326 − 2 = 324
    Ergebnis:
    324
  2. ●5
    Lea rechnet 99 + 47 als 100 + 47. Was muss Lea danach noch tun? Was kommt heraus?
    9947
    Lösung zeigen
    1. Lea hat 99 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 100 + 47 = 147.
    3. 1 wieder abziehen: 147 − 1 = 146
    Ergebnis:
    146
  3. ★6
    Jonas rechnet 1998 + 259 als 2000 + 259. Was muss Jonas danach noch tun? Was kommt heraus?
    1998259
    Lösung zeigen
    1. Jonas hat 1998 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 2000 + 259 = 2259.
    3. 2 wieder abziehen: 2259 − 2 = 2257
    Ergebnis:
    2257

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 21
Schritt für Schritt
  1. 21 = 20 + 1
  2. 7 · 20 = 140 und 7 · 1 = 7
  3. 140 + 7 = 147
  1. 21 = 20 + 1
  2. 7 · 20 = 140 und 7 · 1 = 7
  3. 140 + 7 = 147
Ergebnis:
147

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 59
    So fängst du an:
    59 = 60 − 1
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 5 · 60 = 300 und 5 · 1 = 5
    3. 300 − 5 = 295
    Ergebnis:
    295
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 9 · 20 = 180 und 9 · 1 = 9
    3. 180 − 9 = 171
    Ergebnis:
    171
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 99
    Lösung zeigen
    1. 99 = 100 − 1
    2. 8 · 100 = 800 und 8 · 1 = 8
    3. 800 − 8 = 792
    Ergebnis:
    792

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 261 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 261 : 9?
261: 9
Schritt für Schritt
  1. 261 = 180 + 81
  2. 180 : 9 = 20 und 81 : 9 = 9
  3. 20 + 9 = 29
  1. 261 = 180 + 81
  2. 180 : 9 = 20 und 81 : 9 = 9
  3. 20 + 9 = 29
Ergebnis:
29

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    378 Murmeln werden gleichmäßig auf 9 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    378 : 9
    Lösung zeigen
    1. 378 : 9
    2. 378 = 360 + 18
    3. 360 : 9 = 40 und 18 : 9 = 2
    4. 40 + 2 = 42
    Ergebnis:
    42 Murmeln
  2. ●11
    136 Bücher werden gleichmäßig auf 8 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 136 : 8
    2. 136 = 80 + 56
    3. 80 : 8 = 10 und 56 : 8 = 7
    4. 10 + 7 = 17
    Ergebnis:
    17 Bücher
  3. ★12
    Zerlege 123 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 123 : 3?
    123: 3
    Lösung zeigen
    1. 123 = 120 + 3
    2. 120 : 3 = 40 und 3 : 3 = 1
    3. 40 + 1 = 41
    Ergebnis:
    41

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 8 · 15 = 4 · ___
Schritt für Schritt
  1. 8 wird halb so groß: 4.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 15 doppelt so groß.
  3. 15 · 2 = 30
  1. 8 wird halb so groß: 4.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 15 doppelt so groß.
  3. 15 · 2 = 30
Ergebnis:
30

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 14 · 7 = 7 · ___
    14 · 7=7 · ?
    So fängst du an:
    14 wird halb so groß: 7.
    Lösung zeigen
    1. 14 wird halb so groß: 7.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 7 doppelt so groß.
    3. 7 · 2 = 14
    Ergebnis:
    14
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 8 · 11 = 4 · ___
    8 · 11=4 · ?
    Lösung zeigen
    1. 8 wird halb so groß: 4.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 11 doppelt so groß.
    3. 11 · 2 = 22
    Ergebnis:
    22
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 8 · 43 + 8 · 5 = 8 · ___
    8 · 43 + 8 · 5=8 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 8.
    2. 8 mal 43 und 8 mal 5 sind zusammen 8 mal (43 + 5).
    3. 43 + 5 = 48
    Ergebnis:
    48

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
Schritt für Schritt
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Mia verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    Lösung zeigen
    1. 18 · 5 = 9 · 10
    2. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ★18
    Emma verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 170 + 198? Nenne ihn. Rechne danach.
170 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
  2. 170 + 198 = 168 + 200
  3. 168 + 200 = 368
  1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
  2. 170 + 198 = 168 + 200
  3. 168 + 200 = 368
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 368

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 9 · 39? Nenne ihn. Rechne danach.
    9 · 39zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 39 = 30 + 9.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 39 = 30 + 9.
    2. 9 · 30 = 270 und 9 · 9 = 81
    3. Zusammen: 351
    Ergebnis:
    zerlegen, 351
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 9 · 70? Nenne ihn. Rechne danach.
    9 · 70zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 70 = 70 + 0.
    2. 9 · 70 = 630 und 9 · 0 = 0
    3. Zusammen: 630
    Ergebnis:
    zerlegen, 630
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 14 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Emma erhält für 23 · 29 das Ergebnis 767. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 20 · 30 = 600
  2. 767 liegt zu weit weg. Genau: 23 · 29 = 667
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 20 · 30 = 600
  2. 767 liegt zu weit weg. Genau: 23 · 29 = 667
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 667

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Lina erhält für 27 · 22 das Ergebnis 594. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 30 · 20 = 600
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 30 · 20 = 600
    2. 594 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 27 · 22 = 594
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 594
  2. ●23
    Tom rechnet 678 − 260 und erhält 428. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 428 + 260 = 688
    2. 688 ist nicht 678: Es ist falsch.
    3. 678 − 260 = 418
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 418
  3. ★24
    Milan rechnet 884 : 4 und erhält 221. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    884 : 4Ergebnis 221?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 221 · 4 = 884
    2. 884 ist genau 884: Es stimmt.
    3. 884 : 4 = 221
    Ergebnis:
    stimmt, 221

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 6 + 79 + 14
    67914
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 6 + 14 + 79
    2. 6 + 14 = 20
    3. 20 + 79 = 99
    Ergebnis:
    99
  2. ●26
    Rechne geschickt: 25 · 3 · 4
    2534
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 3
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 3 = 300
    Ergebnis:
    300
  3. ●27
    Jonas rechnet 38 + 97 als 40 + 97. Was muss Jonas danach noch tun? Was kommt heraus?
    3897
    Lösung zeigen
    1. Jonas hat 38 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 40 + 97 = 137.
    3. 2 wieder abziehen: 137 − 2 = 135
    Ergebnis:
    135
  4. ●28
    Zeynep rechnet 150 − 27 als 150 − 30 und erhält 120. Ist das schon das Ergebnis?
    150 − 27150 − 30
    Lösung zeigen
    1. Zeynep hat 3 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 120 + 3 = 123
    Ergebnis:
    Nein, 123
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 4 · 50 = 200 und 4 · 1 = 4
    3. 200 − 4 = 196
    Ergebnis:
    196
  6. ●30
    Tom rechnet 3 · 12 so: erst 3 · 10, dann 2 dazu. Tom erhält 32. Zeige am Bild, was fehlt.
    1023
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 3 Reihen mit je 2 Kästchen, nicht nur 2.
    2. Rechter Teil: 3 · 2 = 6
    3. 30 + 6 = 36
    Ergebnis:
    36

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 16 + 28 + 34
    162834
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    78

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 97 + 74
    9774
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    171

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 49
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    343

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 354 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 354 : 6?
    354: 6
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    59

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 44 + 39 = 42 + ___
    44 + 39=42 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    41

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 35 + 23 + 65? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 123

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Ben rechnet 195 : 3 und erhält 64. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    195 : 3Ergebnis 64?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 65

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 98
  2. 114
  3. 597
  4. 324
  5. 146
  6. 2257
  7. 295
  8. 171
  9. 792
  10. 42 Murmeln
  11. 17 Bücher
  12. 41
  13. 14
  14. 22
  15. 48
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  17. 90
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  19. zerlegen, 351
  20. zerlegen, 630
  21. halbieren und verdoppeln, 70
  22. stimmt, 594
  23. falsch, richtig ist 418
  24. stimmt, 221
  25. 99
  26. 300
  27. 135
  28. Nein, 123
  29. 196
  30. 36
  31. 78
  32. 171
  33. 343
  34. 59
  35. 41
  36. 200
  37. vertauschen, 123
  38. falsch, richtig ist 65
  39. 34
  40. 64
  41. 22
  42. 18