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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 51 − 4 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 7 = 28
    2. 51 − 28 = 23
    Ergebnis:
    23
  2. ●40
    Rechne: (4 + 8) · 4
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 8 = 12
    2. 12 · 4 = 48
    Ergebnis:
    48

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 4 + 3 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 8 = 24
    2. 4 + 24 = 28
    Ergebnis:
    28
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 12 und erhalte 35. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    23

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Lea rechnet 5 + 74 + 15 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
57415
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 5 + 15 + 74
  2. 5 + 15 = 20
  3. 20 + 74 = 94
  1. Vertauschen: 5 + 15 + 74
  2. 5 + 15 = 20
  3. 20 + 74 = 94
Ergebnis:
94

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 37 + 75 + 3
    37753
    So fängst du an:
    Vertauschen: 37 + 3 + 75
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 37 + 3 + 75
    2. 37 + 3 = 40
    3. 40 + 75 = 115
    Ergebnis:
    115
  2. ●2
    Rechne geschickt: 91 + 62 + 9
    91629
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 91 + 9 + 62
    2. 91 + 9 = 100
    3. 100 + 62 = 162
    Ergebnis:
    162
  3. ★3
    Rechne geschickt: 176 + 309 + 824
    176309824
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 176 + 824 + 309
    2. 176 + 824 = 1000
    3. 1000 + 309 = 1309
    Ergebnis:
    1309

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Milan rechnet 98 + 47 als 100 + 47. Was muss Milan danach noch tun? Was kommt heraus?
9847
Schritt für Schritt
  1. Milan hat 98 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 47 = 147.
  3. 2 wieder abziehen: 147 − 2 = 145
  1. Milan hat 98 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 47 = 147.
  3. 2 wieder abziehen: 147 − 2 = 145
Ergebnis:
145

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 37 + 88
    3788
    So fängst du an:
    37 bekommt 3 dazu, 88 gibt 3 ab.
    Lösung zeigen
    1. 37 bekommt 3 dazu, 88 gibt 3 ab.
    2. 37 + 88 = 40 + 85
    3. 40 + 85 = 125
    Ergebnis:
    125
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 198 + 33
    19833
    Lösung zeigen
    1. 198 bekommt 2 dazu, 33 gibt 2 ab.
    2. 198 + 33 = 200 + 31
    3. 200 + 31 = 231
    Ergebnis:
    231
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 1999 + 493
    1999493
    Lösung zeigen
    1. 1999 bekommt 1 dazu, 493 gibt 1 ab.
    2. 1999 + 493 = 2000 + 492
    3. 2000 + 492 = 2492
    Ergebnis:
    2492

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 5 Tüten mit je 36 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 5 · 36
  2. 36 = 30 + 6
  3. 5 · 30 = 150 und 5 · 6 = 30
  4. 150 + 30 = 180
  1. 5 · 36
  2. 36 = 30 + 6
  3. 5 · 30 = 150 und 5 · 6 = 30
  4. 150 + 30 = 180
Ergebnis:
180 Bonbons

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 59
    So fängst du an:
    59 = 60 − 1
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 7 · 60 = 420 und 7 · 1 = 7
    3. 420 − 7 = 413
    Ergebnis:
    413
  2. ●8
    Es gibt 5 Tüten mit je 64 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 64
    2. 64 = 60 + 4
    3. 5 · 60 = 300 und 5 · 4 = 20
    4. 300 + 20 = 320
    Ergebnis:
    320 Bonbons
  3. ★9
    Es gibt 4 Tüten mit je 58 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 4 · 58
    2. 58 = 50 + 8
    3. 4 · 50 = 200 und 4 · 8 = 32
    4. 200 + 32 = 232
    Ergebnis:
    232 Bonbons

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 340 : 5
Schritt für Schritt
  1. 340 = 300 + 40
  2. 300 : 5 = 60 und 40 : 5 = 8
  3. 60 + 8 = 68
  1. 340 = 300 + 40
  2. 300 : 5 = 60 und 40 : 5 = 8
  3. 60 + 8 = 68
Ergebnis:
68

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 270 : 5
    So fängst du an:
    270 = 250 + 20
    Lösung zeigen
    1. 270 = 250 + 20
    2. 250 : 5 = 50 und 20 : 5 = 4
    3. 50 + 4 = 54
    Ergebnis:
    54
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 126 : 3
    Lösung zeigen
    1. 126 = 120 + 6
    2. 120 : 3 = 40 und 6 : 3 = 2
    3. 40 + 2 = 42
    Ergebnis:
    42
  3. ★12
    Zerlege 1467 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 1467 : 9?
    1467: 9
    Lösung zeigen
    1. 1467 = 1440 + 27
    2. 1440 : 9 = 160 und 27 : 9 = 3
    3. 160 + 3 = 163
    Ergebnis:
    163

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 18 · 13 = 9 · ___
18 · 13=9 · ?
Schritt für Schritt
  1. 18 wird halb so groß: 9.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
  3. 13 · 2 = 26
  1. 18 wird halb so groß: 9.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
  3. 13 · 2 = 26
Ergebnis:
26

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 75 − 60 = ___ − 70
    So fängst du an:
    60 wird zu 70: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 60 wird zu 70: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 75 um 10 größer.
    3. 75 + 10 = 85
    Ergebnis:
    85
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 18 · 15 = 9 · ___
    Lösung zeigen
    1. 18 wird halb so groß: 9.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 15 doppelt so groß.
    3. 15 · 2 = 30
    Ergebnis:
    30
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 35 + 61 = 45 + ___
    35 + 61=45 + ?
    Lösung zeigen
    1. 35 wird zu 45: 10 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 61 um 10 kleiner.
    3. 61 − 10 = 51
    Ergebnis:
    51

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Jonas verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 90

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    So fängst du an:
    18 · 5 = 9 · 10
    Lösung zeigen
    1. 18 · 5 = 9 · 10
    2. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  2. ●17
    Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 15 = 7 · 30
    3. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 75
    Lösung zeigen
    1. 12 · 75 = 6 · 150
    2. 6 · 150 = 900
    Ergebnis:
    900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 33 + 58 + 67? Nenne ihn. Rechne danach.
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 33 + 67 = 100
  3. 100 + 58 = 158
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 33 + 67 = 100
  3. 100 + 58 = 158
Ergebnis:
vertauschen, 158

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 9 · 79? Nenne ihn. Rechne danach.
    9 · 79zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 79 = 70 + 9.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 79 = 70 + 9.
    2. 9 · 70 = 630 und 9 · 9 = 81
    3. Zusammen: 711
    Ergebnis:
    zerlegen, 711
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 16 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 14 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    14 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Noah rechnet 724 − 318 und erhält 506. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 506 + 318 = 824
  2. 824 ist nicht 724: Es ist falsch.
  3. 724 − 318 = 406
  1. Umkehraufgabe: 506 + 318 = 824
  2. 824 ist nicht 724: Es ist falsch.
  3. 724 − 318 = 406
Ergebnis:
falsch, richtig ist 406

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Elias rechnet 969 − 868 und erhält 121. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 121 + 868 = 989
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 121 + 868 = 989
    2. 989 ist nicht 969: Es ist falsch.
    3. 969 − 868 = 101
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 101
  2. ●23
    Tom rechnet 75 : 3 und erhält 27. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    75 : 3Ergebnis 27?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 27 · 3 = 81
    2. 81 ist nicht 75: Es ist falsch.
    3. 75 : 3 = 25
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 25
  3. ★24
    Noah rechnet 7084 − 5964 und erhält 1110. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 1110 + 5964 = 7074
    2. 7074 ist nicht 7084: Es ist falsch.
    3. 7084 − 5964 = 1120
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1120

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 31 + 38 + 19
    313819
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 31 + 19 + 38
    2. 31 + 19 = 50
    3. 50 + 38 = 88
    Ergebnis:
    88
  2. ●26
    Rechne geschickt: 5 · 19 · 2
    5192
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 · 2 · 19
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 19 = 190
    Ergebnis:
    190
  3. ●27
    Paul rechnet 297 + 58 als 300 + 58. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    29758
    Lösung zeigen
    1. Paul hat 297 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 300 + 58 = 358.
    3. 3 wieder abziehen: 358 − 3 = 355
    Ergebnis:
    355
  4. ●28
    Mia rechnet 122 − 99 als 122 − 100 und erhält 22. Ist das schon das Ergebnis?
    122 − 99122 − 100
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 22 + 1 = 23
    Ergebnis:
    Nein, 23
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 5 · 40 = 200 und 5 · 1 = 5
    3. 200 − 5 = 195
    Ergebnis:
    195
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 5 · 23?
    2035
    Lösung zeigen
    1. Links: 5 · 20 = 100
    2. Rechts: 5 · 3 = 15
    3. 5 · 23 = 100 + 15 = 115
    Ergebnis:
    5 · 20 und 5 · 3, zusammen 115

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Hanna rechnet 12 + 34 + 18 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    123418
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    64

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 94
    29894
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    392

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 6 Reihen mit je 66 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    396 Stühle

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 200 : 8
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    25

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 18 · 8 = 9 · ___
    18 · 8=9 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Milan verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 297 + 598? Nenne ihn. Rechne danach.
    297 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 895

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Lea rechnet 852 − 350 und erhält 602. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 502

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 115
  2. 162
  3. 1309
  4. 125
  5. 231
  6. 2492
  7. 413
  8. 320 Bonbons
  9. 232 Bonbons
  10. 54
  11. 42
  12. 163
  13. 85
  14. 30
  15. 51
  16. 90
  17. 210
  18. 900
  19. zerlegen, 711
  20. halbieren und verdoppeln, 80
  21. halbieren und verdoppeln, 70
  22. falsch, richtig ist 101
  23. falsch, richtig ist 25
  24. falsch, richtig ist 1120
  25. 88
  26. 190
  27. 355
  28. Nein, 23
  29. 195
  30. 5 · 20 und 5 · 3, zusammen 115
  31. 64
  32. 392
  33. 396 Stühle
  34. 25
  35. 16
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  37. gegensinnig verändern, 895
  38. falsch, richtig ist 502
  39. 23
  40. 48
  41. 28
  42. 23