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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 9 + 3 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 9 = 27
    2. 9 + 27 = 36
    Ergebnis:
    36
  2. ●40
    Rechne: (6 + 3) · 2
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 6 + 3 = 9
    2. 9 · 2 = 18
    Ergebnis:
    18

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 11 + 5 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 8 = 40
    2. 11 + 40 = 51
    Ergebnis:
    51
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 19 und erhalte 36. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    17

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 24 + 32 + 26
243226
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 24 + 26 + 32
  2. 24 + 26 = 50
  3. 50 + 32 = 82
  1. Vertauschen: 24 + 26 + 32
  2. 24 + 26 = 50
  3. 50 + 32 = 82
Ergebnis:
82

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Tom rechnet 8 + 83 + 52 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    88352
    So fängst du an:
    Vertauschen: 8 + 52 + 83
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 8 + 52 + 83
    2. 8 + 52 = 60
    3. 60 + 83 = 143
    Ergebnis:
    143
  2. ●2
    Rechne geschickt: 25 + 71 + 35
    257135
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 + 35 + 71
    2. 25 + 35 = 60
    3. 60 + 71 = 131
    Ergebnis:
    131
  3. ★3
    Rechne geschickt: 35 + 258 + 39 + 65 + 61
    35258396561
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 35 + 65 + 39 + 61 + 258
    2. 35 + 65 = 100 und 39 + 61 = 100
    3. 100 + 100 + 258 = 458
    Ergebnis:
    458

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Jonas rechnet 49 + 46 als 50 + 46. Was muss Jonas danach noch tun? Was kommt heraus?
4946
Schritt für Schritt
  1. Jonas hat 49 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 50 + 46 = 96.
  3. 1 wieder abziehen: 96 − 1 = 95
  1. Jonas hat 49 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 50 + 46 = 96.
  3. 1 wieder abziehen: 96 − 1 = 95
Ergebnis:
95

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Lina rechnet 39 + 37 als 40 + 37. Was muss Lina danach noch tun? Was kommt heraus?
    3937
    So fängst du an:
    Lina hat 39 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Lina hat 39 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 40 + 37 = 77.
    3. 1 wieder abziehen: 77 − 1 = 76
    Ergebnis:
    76
  2. ●5
    Can rechnet 69 + 44 als 70 + 44. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
    6944
    Lösung zeigen
    1. Can hat 69 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 70 + 44 = 114.
    3. 1 wieder abziehen: 114 − 1 = 113
    Ergebnis:
    113
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 397 + 679
    397679
    Lösung zeigen
    1. 397 bekommt 3 dazu, 679 gibt 3 ab.
    2. 397 + 679 = 400 + 676
    3. 400 + 676 = 1076
    Ergebnis:
    1076

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 27
Schritt für Schritt
  1. 27 = 20 + 7
  2. 7 · 20 = 140 und 7 · 7 = 49
  3. 140 + 49 = 189
  1. 27 = 20 + 7
  2. 7 · 20 = 140 und 7 · 7 = 49
  3. 140 + 49 = 189
Ergebnis:
189

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 6 Tüten mit je 39 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    6 · 39
    Lösung zeigen
    1. 6 · 39
    2. 39 = 30 + 9
    3. 6 · 30 = 180 und 6 · 9 = 54
    4. 180 + 54 = 234
    Ergebnis:
    234 Bonbons
  2. ●8
    Es gibt 5 Reihen mit je 36 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 36
    2. 36 = 30 + 6
    3. 5 · 30 = 150 und 5 · 6 = 30
    4. 150 + 30 = 180
    Ergebnis:
    180 Stühle
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 83
    Lösung zeigen
    1. 83 = 80 + 3
    2. 8 · 80 = 640 und 8 · 3 = 24
    3. 640 + 24 = 664
    Ergebnis:
    664

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 275 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 275 : 5?
275: 5
Schritt für Schritt
  1. 275 = 250 + 25
  2. 250 : 5 = 50 und 25 : 5 = 5
  3. 50 + 5 = 55
  1. 275 = 250 + 25
  2. 250 : 5 = 50 und 25 : 5 = 5
  3. 50 + 5 = 55
Ergebnis:
55

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 217 : 7
    So fängst du an:
    217 = 210 + 7
    Lösung zeigen
    1. 217 = 210 + 7
    2. 210 : 7 = 30 und 7 : 7 = 1
    3. 30 + 1 = 31
    Ergebnis:
    31
  2. ●11
    76 Murmeln werden gleichmäßig auf 4 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 76 : 4
    2. 76 = 40 + 36
    3. 40 : 4 = 10 und 36 : 4 = 9
    4. 10 + 9 = 19
    Ergebnis:
    19 Murmeln
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 1251 : 9
    Lösung zeigen
    1. 1251 = 1170 + 81
    2. 1170 : 9 = 130 und 81 : 9 = 9
    3. 130 + 9 = 139
    Ergebnis:
    139

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 4 · 14 = 2 · ___
4 · 14=2 · ?
Schritt für Schritt
  1. 4 wird halb so groß: 2.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
  3. 14 · 2 = 28
  1. 4 wird halb so groß: 2.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
  3. 14 · 2 = 28
Ergebnis:
28

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 73 + 56 = 72 + ___
    So fängst du an:
    73 wird zu 72: 1 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 73 wird zu 72: 1 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 56 um 1 größer.
    3. 56 + 1 = 57
    Ergebnis:
    57
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 55 + 26 = 56 + ___
    55 + 26=56 + ?
    Lösung zeigen
    1. 55 wird zu 56: 1 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 26 um 1 kleiner.
    3. 26 − 1 = 25
    Ergebnis:
    25
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 18 · 15 = 9 · ___
    Lösung zeigen
    1. 18 wird halb so groß: 9.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 15 doppelt so groß.
    3. 15 · 2 = 30
    Ergebnis:
    30

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Hanna verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 90

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    So fängst du an:
    8 · 25 = 4 · 50
    Lösung zeigen
    1. 8 · 25 = 4 · 50
    2. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  2. ●17
    Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ★18
    Warum ist 32 · 25 dasselbe wie 16 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 32 · 25 = 16 · 50
    3. 16 · 50 = 800
    Ergebnis:
    800

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 341 + 497? Nenne ihn. Rechne danach.
341 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
  2. 341 + 497 = 338 + 500
  3. 338 + 500 = 838
  1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
  2. 341 + 497 = 338 + 500
  3. 338 + 500 = 838
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 838

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 5 · 27? Nenne ihn. Rechne danach.
    5 · 27zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 27 = 20 + 7.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 27 = 20 + 7.
    2. 5 · 20 = 100 und 5 · 7 = 35
    3. Zusammen: 135
    Ergebnis:
    zerlegen, 135
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 18 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    18 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 5 · 70? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 70 = 70 + 0.
    2. 5 · 70 = 350 und 5 · 0 = 0
    3. Zusammen: 350
    Ergebnis:
    zerlegen, 350

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Lina rechnet 700 − 343 und erhält 367. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 367 + 343 = 710
  2. 710 ist nicht 700: Es ist falsch.
  3. 700 − 343 = 357
  1. Umkehraufgabe: 367 + 343 = 710
  2. 710 ist nicht 700: Es ist falsch.
  3. 700 − 343 = 357
Ergebnis:
falsch, richtig ist 357

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Noah rechnet 608 − 492 und erhält 216. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 216 + 492 = 708
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 216 + 492 = 708
    2. 708 ist nicht 608: Es ist falsch.
    3. 608 − 492 = 116
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 116
  2. ●23
    Can rechnet 704 − 634 und erhält 60. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 60 + 634 = 694
    2. 694 ist nicht 704: Es ist falsch.
    3. 704 − 634 = 70
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 70
  3. ★24
    Can rechnet 2118 : 6 und erhält 355. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    2118 : 6Ergebnis 355?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 355 · 6 = 2130
    2. 2130 ist nicht 2118: Es ist falsch.
    3. 2118 : 6 = 353
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 353

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 15 + 66 + 25
    156625
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 15 + 25 + 66
    2. 15 + 25 = 40
    3. 40 + 66 = 106
    Ergebnis:
    106
  2. ●26
    In einem Lager stehen 50 Regale mit je 2 Packungen. In jeder Packung sind 13 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    50 Regale2 Packungen13 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 50 · 2 · 13
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 13 = 1300
    Ergebnis:
    1300 Bälle
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 298 + 28 = 300 + ___
    29828
    Lösung zeigen
    1. 298 wird zu 300: 2 mehr.
    2. Also muss 28 um 2 kleiner werden: 28 − 2 = 26
    3. 300 + 26 = 326
    Ergebnis:
    26
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 157 − 99
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 1 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 157 − 99 = 158 − 100
    3. 158 − 100 = 58
    Ergebnis:
    58
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 68
    Lösung zeigen
    1. 68 = 60 + 8
    2. 3 · 60 = 180 und 3 · 8 = 24
    3. 180 + 24 = 204
    Ergebnis:
    204
  6. ●30
    Mia rechnet 3 · 17 so: erst 3 · 10, dann 7 dazu. Mia erhält 37. Zeige am Bild, was fehlt.
    1073
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 3 Reihen mit je 7 Kästchen, nicht nur 7.
    2. Rechter Teil: 3 · 7 = 21
    3. 30 + 21 = 51
    Ergebnis:
    51

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 21 + 43 + 29 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    214329
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    93

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Paul rechnet 298 + 48 als 300 + 48. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    29848
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    346

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 59
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    236

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 285 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 285 : 5?
    285: 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    57

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 52 − 38 = ___ − 43
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    57

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Noah verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 80

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 41? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 328

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Tom erhält für 67 · 46 das Ergebnis 2982. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 3082

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 143
  2. 131
  3. 458
  4. 76
  5. 113
  6. 1076
  7. 234 Bonbons
  8. 180 Stühle
  9. 664
  10. 31
  11. 19 Murmeln
  12. 139
  13. 57
  14. 25
  15. 30
  16. 200
  17. 90
  18. 800
  19. zerlegen, 135
  20. halbieren und verdoppeln, 90
  21. zerlegen, 350
  22. falsch, richtig ist 116
  23. falsch, richtig ist 70
  24. falsch, richtig ist 353
  25. 106
  26. 1300 Bälle
  27. 26
  28. 58
  29. 204
  30. 51
  31. 93
  32. 346
  33. 236
  34. 57
  35. 57
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  37. zerlegen, 328
  38. falsch, richtig ist 3082
  39. 36
  40. 18
  41. 51
  42. 17