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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 34 − 3 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 5 = 15
    2. 34 − 15 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●40
    Rechne: (6 + 4) · 9
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 6 + 4 = 10
    2. 10 · 9 = 90
    Ergebnis:
    90

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 11 + 5 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 8 = 40
    2. 11 + 40 = 51
    Ergebnis:
    51
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 38 und erhalte 94. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    56

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 15 + 18 + 45 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
151845
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 15 + 45 + 18
  2. 15 + 45 = 60
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 18 = 78
  1. Vertauschen: 15 + 45 + 18
  2. 15 + 45 = 60
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 18 = 78
Ergebnis:
78

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 17 + 41 + 23 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    174123
    So fängst du an:
    Vertauschen: 17 + 23 + 41
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 17 + 23 + 41
    2. 17 + 23 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 41 = 81
    Ergebnis:
    81
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 29 + 86 + 31 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    298631
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 29 + 31 + 86
    2. 29 + 31 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 86 = 146
    Ergebnis:
    146
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 33 + 203 + 167 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    33203167
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 33 + 167 + 203
    2. 33 + 167 = 200
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 200 + 203 = 403
    Ergebnis:
    403

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 98 + 49
9849
Schritt für Schritt
  1. 98 bekommt 2 dazu, 49 gibt 2 ab.
  2. 98 + 49 = 100 + 47
  3. 100 + 47 = 147
  1. 98 bekommt 2 dazu, 49 gibt 2 ab.
  2. 98 + 49 = 100 + 47
  3. 100 + 47 = 147
Ergebnis:
147

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 98 + 88 = 100 + ___
    9888
    So fängst du an:
    98 wird zu 100: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 98 wird zu 100: 2 mehr.
    2. Also muss 88 um 2 kleiner werden: 88 − 2 = 86
    3. 100 + 86 = 186
    Ergebnis:
    86
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 68 + 26 = 70 + ___
    6826
    Lösung zeigen
    1. 68 wird zu 70: 2 mehr.
    2. Also muss 26 um 2 kleiner werden: 26 − 2 = 24
    3. 70 + 24 = 94
    Ergebnis:
    24
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 696 + 517
    696517
    Lösung zeigen
    1. 696 bekommt 4 dazu, 517 gibt 4 ab.
    2. 696 + 517 = 700 + 513
    3. 700 + 513 = 1213
    Ergebnis:
    1213

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 57
Schritt für Schritt
  1. 57 = 50 + 7
  2. 9 · 50 = 450 und 9 · 7 = 63
  3. 450 + 63 = 513
  1. 57 = 50 + 7
  2. 9 · 50 = 450 und 9 · 7 = 63
  3. 450 + 63 = 513
Ergebnis:
513

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 5 Tüten mit je 27 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    5 · 27
    Lösung zeigen
    1. 5 · 27
    2. 27 = 20 + 7
    3. 5 · 20 = 100 und 5 · 7 = 35
    4. 100 + 35 = 135
    Ergebnis:
    135 Bonbons
  2. ●8
    Es gibt 8 Reihen mit je 29 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 29
    2. 29 = 20 + 9
    3. 8 · 20 = 160 und 8 · 9 = 72
    4. 160 + 72 = 232
    Ergebnis:
    232 Stühle
  3. ★9
    Es gibt 9 Reihen mit je 75 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 75
    2. 75 = 70 + 5
    3. 9 · 70 = 630 und 9 · 5 = 45
    4. 630 + 45 = 675
    Ergebnis:
    675 Stühle

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 105 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 105 : 7?
105: 7
Schritt für Schritt
  1. 105 = 70 + 35
  2. 70 : 7 = 10 und 35 : 7 = 5
  3. 10 + 5 = 15
  1. 105 = 70 + 35
  2. 70 : 7 = 10 und 35 : 7 = 5
  3. 10 + 5 = 15
Ergebnis:
15

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 423 : 9
    So fängst du an:
    423 = 360 + 63
    Lösung zeigen
    1. 423 = 360 + 63
    2. 360 : 9 = 40 und 63 : 9 = 7
    3. 40 + 7 = 47
    Ergebnis:
    47
  2. ●11
    Zerlege 232 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 232 : 8?
    232: 8
    Lösung zeigen
    1. 232 = 160 + 72
    2. 160 : 8 = 20 und 72 : 8 = 9
    3. 20 + 9 = 29
    Ergebnis:
    29
  3. ★12
    448 Murmeln werden gleichmäßig auf 7 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 448 : 7
    2. 448 = 420 + 28
    3. 420 : 7 = 60 und 28 : 7 = 4
    4. 60 + 4 = 64
    Ergebnis:
    64 Murmeln

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 59 − 33 = ___ − 35
Schritt für Schritt
  1. 33 wird zu 35: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 59 um 2 größer.
  3. 59 + 2 = 61
  1. 33 wird zu 35: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 59 um 2 größer.
  3. 59 + 2 = 61
Ergebnis:
61

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 35 + 80 = 36 + ___
    35 + 80=36 + ?
    So fängst du an:
    35 wird zu 36: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 35 wird zu 36: 1 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 80 um 1 kleiner.
    3. 80 − 1 = 79
    Ergebnis:
    79
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 87 − 75 = ___ − 77
    Lösung zeigen
    1. 75 wird zu 77: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 87 um 2 größer.
    3. 87 + 2 = 89
    Ergebnis:
    89
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 5 · 21 + 5 · 3 = 5 · ___
    5 · 21 + 5 · 3=5 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 5.
    2. 5 mal 21 und 5 mal 3 sind zusammen 5 mal (21 + 3).
    3. 21 + 3 = 24
    Ergebnis:
    24

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
Schritt für Schritt
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
Ergebnis:
180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    So fängst du an:
    16 · 25 = 8 · 50
    Lösung zeigen
    1. 16 · 25 = 8 · 50
    2. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  2. ●17
    Tom verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  3. ★18
    Jonas verdoppelt bei 14 · 35 beide Faktoren und rechnet 28 · 70. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 70 = 1960, aber 14 · 35 = 490
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 8 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 200

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 150 + 598? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    2. 150 + 598 = 148 + 600
    3. 148 + 600 = 748
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 748
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 7670 − 5170? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 7670 − 5170 = 2500
    Ergebnis:
    schriftlich, 2500

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Mia rechnet 105 : 3 und erhält 35. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
105 : 3Ergebnis 35?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 35 · 3 = 105
  2. 105 ist genau 105: Es stimmt.
  3. 105 : 3 = 35
  1. Umkehraufgabe: 35 · 3 = 105
  2. 105 ist genau 105: Es stimmt.
  3. 105 : 3 = 35
Ergebnis:
stimmt, 35

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Can rechnet 346 − 217 und erhält 129. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 129 + 217 = 346
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 129 + 217 = 346
    2. 346 ist genau 346: Es stimmt.
    3. 346 − 217 = 129
    Ergebnis:
    stimmt, 129
  2. ●23
    Emma erhält für 33 · 24 das Ergebnis 792. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 30 · 20 = 600
    2. 792 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 33 · 24 = 792
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 792
  3. ★24
    Can rechnet 6727 − 2153 und erhält 4574. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 4574 + 2153 = 6727
    2. 6727 ist genau 6727: Es stimmt.
    3. 6727 − 2153 = 4574
    Ergebnis:
    stimmt, 4574

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 38 + 81 + 12 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    388112
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 38 + 12 + 81
    2. 38 + 12 = 50
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 81 = 131
    Ergebnis:
    131
  2. ●26
    In einem Lager stehen 20 Regale mit je 5 Packungen. In jeder Packung sind 17 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    20 Regale5 Packungen17 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 20 · 5 · 17
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 17 = 1700
    Ergebnis:
    1700 Bälle
  3. ●27
    Paul rechnet 47 + 59 als 50 + 59. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    4759
    Lösung zeigen
    1. Paul hat 47 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 50 + 59 = 109.
    3. 3 wieder abziehen: 109 − 3 = 106
    Ergebnis:
    106
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 123 − 38
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 2 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 123 − 38 = 125 − 40
    3. 125 − 40 = 85
    Ergebnis:
    85
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 62
    Lösung zeigen
    1. 62 = 60 + 2
    2. 8 · 60 = 480 und 8 · 2 = 16
    3. 480 + 16 = 496
    Ergebnis:
    496
  6. ●30
    Ben rechnet 4 · 27 so: erst 4 · 20, dann 7 dazu. Ben erhält 87. Zeige am Bild, was fehlt.
    2074
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 4 Reihen mit je 7 Kästchen, nicht nur 7.
    2. Rechter Teil: 4 · 7 = 28
    3. 80 + 28 = 108
    Ergebnis:
    108

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Sofia rechnet 39 + 73 + 61 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    397361
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    173

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 67 + 26 = 70 + ___
    6726
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    23

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 53
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    371

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 432 : 9
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    48

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 69 − 45 = ___ − 46
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    70

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Zeynep rechnet 385 : 5 und erhält 77. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    385 : 5Ergebnis 77?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 77

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 81
  2. 146
  3. 403
  4. 86
  5. 24
  6. 1213
  7. 135 Bonbons
  8. 232 Stühle
  9. 675 Stühle
  10. 47
  11. 29
  12. 64 Murmeln
  13. 79
  14. 89
  15. 24
  16. 400
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 490
  19. halbieren und verdoppeln, 80
  20. gegensinnig verändern, 748
  21. schriftlich, 2500
  22. stimmt, 129
  23. stimmt, 792
  24. stimmt, 4574
  25. 131
  26. 1700 Bälle
  27. 106
  28. 85
  29. 496
  30. 108
  31. 173
  32. 23
  33. 371
  34. 48
  35. 70
  36. 180
  37. halbieren und verdoppeln, 200
  38. stimmt, 77
  39. 19
  40. 90
  41. 51
  42. 56