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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 8 + 2 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 9 = 18
    2. 8 + 18 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●40
    Rechne: (9 + 2) · 8
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 9 + 2 = 11
    2. 11 · 8 = 88
    Ergebnis:
    88

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 12 + 6 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 4 = 24
    2. 12 + 24 = 36
    Ergebnis:
    36
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 7 und erhalte 35. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    28

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 4 + 53 + 16
45316
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 4 + 16 + 53
  2. 4 + 16 = 20
  3. 20 + 53 = 73
  1. Vertauschen: 4 + 16 + 53
  2. 4 + 16 = 20
  3. 20 + 53 = 73
Ergebnis:
73

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Noah rechnet 65 + 56 + 35 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    655635
    So fängst du an:
    Vertauschen: 65 + 35 + 56
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 65 + 35 + 56
    2. 65 + 35 = 100
    3. 100 + 56 = 156
    Ergebnis:
    156
  2. ●2
    Rechne geschickt: 37 + 12 + 63
    371263
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 37 + 63 + 12
    2. 37 + 63 = 100
    3. 100 + 12 = 112
    Ergebnis:
    112
  3. ★3
    Rechne geschickt: 31 + 248 + 169
    31248169
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 31 + 169 + 248
    2. 31 + 169 = 200
    3. 200 + 248 = 448
    Ergebnis:
    448

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 98 + 34
9834
Schritt für Schritt
  1. 98 bekommt 2 dazu, 34 gibt 2 ab.
  2. 98 + 34 = 100 + 32
  3. 100 + 32 = 132
  1. 98 bekommt 2 dazu, 34 gibt 2 ab.
  2. 98 + 34 = 100 + 32
  3. 100 + 32 = 132
Ergebnis:
132

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Emma rechnet 99 + 78 als 100 + 78. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
    9978
    So fängst du an:
    Emma hat 99 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Emma hat 99 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 100 + 78 = 178.
    3. 1 wieder abziehen: 178 − 1 = 177
    Ergebnis:
    177
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 39 + 27 = 40 + ___
    3927
    Lösung zeigen
    1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
    2. Also muss 27 um 1 kleiner werden: 27 − 1 = 26
    3. 40 + 26 = 66
    Ergebnis:
    26
  3. ★6
    Emma rechnet 1996 + 856 als 2000 + 856. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
    1996856
    Lösung zeigen
    1. Emma hat 1996 um 4 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 4 zu groß: 2000 + 856 = 2856.
    3. 4 wieder abziehen: 2856 − 4 = 2852
    Ergebnis:
    2852

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 3 Reihen mit je 26 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 3 · 26
  2. 26 = 20 + 6
  3. 3 · 20 = 60 und 3 · 6 = 18
  4. 60 + 18 = 78
  1. 3 · 26
  2. 26 = 20 + 6
  3. 3 · 20 = 60 und 3 · 6 = 18
  4. 60 + 18 = 78
Ergebnis:
78 Stühle

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 6 Tüten mit je 66 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    6 · 66
    Lösung zeigen
    1. 6 · 66
    2. 66 = 60 + 6
    3. 6 · 60 = 360 und 6 · 6 = 36
    4. 360 + 36 = 396
    Ergebnis:
    396 Bonbons
  2. ●8
    Es gibt 4 Hefte mit je 33 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 4 · 33
    2. 33 = 30 + 3
    3. 4 · 30 = 120 und 4 · 3 = 12
    4. 120 + 12 = 132
    Ergebnis:
    132 Hefte
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 4 · 113
    Lösung zeigen
    1. 113 = 100 + 10 + 3
    2. 4 · 100 = 400; 4 · 10 = 40; 4 · 3 = 12
    3. 400 + 40 + 12 = 452
    Ergebnis:
    452

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 123 : 3
Schritt für Schritt
  1. 123 = 120 + 3
  2. 120 : 3 = 40 und 3 : 3 = 1
  3. 40 + 1 = 41
  1. 123 = 120 + 3
  2. 120 : 3 = 40 und 3 : 3 = 1
  3. 40 + 1 = 41
Ergebnis:
41

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 413 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 413 : 7?
    413: 7
    So fängst du an:
    413 = 350 + 63
    Lösung zeigen
    1. 413 = 350 + 63
    2. 350 : 7 = 50 und 63 : 7 = 9
    3. 50 + 9 = 59
    Ergebnis:
    59
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 102 : 3
    Lösung zeigen
    1. 102 = 90 + 12
    2. 90 : 3 = 30 und 12 : 3 = 4
    3. 30 + 4 = 34
    Ergebnis:
    34
  3. ★12
    Zerlege 464 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 464 : 4?
    464: 4
    Lösung zeigen
    1. 464 = 440 + 24
    2. 440 : 4 = 110 und 24 : 4 = 6
    3. 110 + 6 = 116
    Ergebnis:
    116

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 63 − 46 = ___ − 47
Schritt für Schritt
  1. 46 wird zu 47: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 63 um 1 größer.
  3. 63 + 1 = 64
  1. 46 wird zu 47: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 63 um 1 größer.
  3. 63 + 1 = 64
Ergebnis:
64

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 16 · 3 = 8 · ___
    16 · 3=8 · ?
    So fängst du an:
    16 wird halb so groß: 8.
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 3 doppelt so groß.
    3. 3 · 2 = 6
    Ergebnis:
    6
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 69 + 46 = 79 + ___
    69 + 46=79 + ?
    Lösung zeigen
    1. 69 wird zu 79: 10 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 46 um 10 kleiner.
    3. 46 − 10 = 36
    Ergebnis:
    36
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 9 · 61 + 9 · 9 = 9 · ___
    9 · 61 + 9 · 9=9 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 9.
    2. 9 mal 61 und 9 mal 9 sind zusammen 9 mal (61 + 9).
    3. 61 + 9 = 70
    Ergebnis:
    70

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ben verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
    Lösung zeigen
    1. 14 · 15 = 7 · 30
    2. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  3. ★18
    Sofia verdoppelt bei 12 · 75 beide Faktoren und rechnet 24 · 150. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 150 = 3600, aber 12 · 75 = 900
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 18 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
Schritt für Schritt
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 90

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 33 + 73 + 67? Nenne ihn. Rechne danach.
    33 + 73 + 67zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 33 + 67 = 100
    3. 100 + 73 = 173
    Ergebnis:
    vertauschen, 173
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 45 + 79 + 55? Nenne ihn. Rechne danach.
    45 + 79 + 55zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 45 + 55 = 100
    3. 100 + 79 = 179
    Ergebnis:
    vertauschen, 179
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 3820 − 2057? Nenne ihn. Rechne danach.
    3820 − 2057zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 3820 − 2057 = 1763
    Ergebnis:
    schriftlich, 1763

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Noah rechnet 375 − 271 und erhält 204. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 204 + 271 = 475
  2. 475 ist nicht 375: Es ist falsch.
  3. 375 − 271 = 104
  1. Umkehraufgabe: 204 + 271 = 475
  2. 475 ist nicht 375: Es ist falsch.
  3. 375 − 271 = 104
Ergebnis:
falsch, richtig ist 104

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Milan erhält für 53 · 36 das Ergebnis 1808. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 50 · 40 = 2000
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 50 · 40 = 2000
    2. 1808 liegt zu weit weg. Genau: 53 · 36 = 1908
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1908
  2. ●23
    Jonas rechnet 482 − 146 und erhält 336. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 336 + 146 = 482
    2. 482 ist genau 482: Es stimmt.
    3. 482 − 146 = 336
    Ergebnis:
    stimmt, 336
  3. ★24
    Zeynep rechnet 2818 − 2645 und erhält 183. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 183 + 2645 = 2828
    2. 2828 ist nicht 2818: Es ist falsch.
    3. 2818 − 2645 = 173
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 173

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 43 + 23 + 7
    43237
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 43 + 7 + 23
    2. 43 + 7 = 50
    3. 50 + 23 = 73
    Ergebnis:
    73
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 11 · 4 · 25 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    11425
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 11
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 11 = 1100
    Ergebnis:
    1100
  3. ●27
    Aylin rechnet 297 + 74 als 300 + 74. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
    29774
    Lösung zeigen
    1. Aylin hat 297 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 300 + 74 = 374.
    3. 3 wieder abziehen: 374 − 3 = 371
    Ergebnis:
    371
  4. ●28
    Mia rechnet 96 − 19 als 96 − 20 und erhält 76. Ist das schon das Ergebnis?
    96 − 1996 − 20
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 76 + 1 = 77
    Ergebnis:
    Nein, 77
  5. ●29
    Es gibt 7 Hefte mit je 65 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 65
    2. 65 = 60 + 5
    3. 7 · 60 = 420 und 7 · 5 = 35
    4. 420 + 35 = 455
    Ergebnis:
    455 Hefte
  6. ●30
    Tom rechnet 7 · 17 so: erst 7 · 10, dann 7 dazu. Tom erhält 77. Zeige am Bild, was fehlt.
    1077
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 7 Reihen mit je 7 Kästchen, nicht nur 7.
    2. Rechter Teil: 7 · 7 = 49
    3. 70 + 49 = 119
    Ergebnis:
    119

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 11 + 26 + 39
    112639
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    76

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 199 + 66
    19966
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    265

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 29
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    174

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 282 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 282 : 6?
    282: 6
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    47

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 16 · 10 = 8 · ___
    16 · 10=8 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    80

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 214 + 299? Nenne ihn. Rechne danach.
    214 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 513

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Lea erhält für 31 · 25 das Ergebnis 775. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 775

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 156
  2. 112
  3. 448
  4. 177
  5. 26
  6. 2852
  7. 396 Bonbons
  8. 132 Hefte
  9. 452
  10. 59
  11. 34
  12. 116
  13. 6
  14. 36
  15. 70
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  17. 210
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 900
  19. vertauschen, 173
  20. vertauschen, 179
  21. schriftlich, 1763
  22. falsch, richtig ist 1908
  23. stimmt, 336
  24. falsch, richtig ist 173
  25. 73
  26. 1100
  27. 371
  28. Nein, 77
  29. 455 Hefte
  30. 119
  31. 76
  32. 265
  33. 174
  34. 47
  35. 20
  36. 80
  37. gegensinnig verändern, 513
  38. stimmt, 775
  39. 26
  40. 88
  41. 36
  42. 28