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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 9 + 4 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 2 = 8
    2. 9 + 8 = 17
    Ergebnis:
    17
  2. ●40
    Rechne: (9 + 3) · 5
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 9 + 3 = 12
    2. 12 · 5 = 60
    Ergebnis:
    60

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 6 + 3 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 2 = 6
    2. 6 + 6 = 12
    Ergebnis:
    12
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 5 und erhalte 30. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    25

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Paul rechnet 12 + 63 + 8 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
12638
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 12 + 8 + 63
  2. 12 + 8 = 20
  3. 20 + 63 = 83
  1. Vertauschen: 12 + 8 + 63
  2. 12 + 8 = 20
  3. 20 + 63 = 83
Ergebnis:
83

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 9 + 16 + 21 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    91621
    So fängst du an:
    Vertauschen: 9 + 21 + 16
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 9 + 21 + 16
    2. 9 + 21 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 16 = 46
    Ergebnis:
    46
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 8 + 29 + 52 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    82952
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 8 + 52 + 29
    2. 8 + 52 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 29 = 89
    Ergebnis:
    89
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 802 + 807 + 39 + 198 + 61 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    8028073919861
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 802 + 198 + 39 + 61 + 807
    2. 802 + 198 = 1000 und 39 + 61 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 1000 + 100 + 807 = 1907
    Ergebnis:
    1907

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 37 + 28
3728
Schritt für Schritt
  1. 37 bekommt 3 dazu, 28 gibt 3 ab.
  2. 37 + 28 = 40 + 25
  3. 40 + 25 = 65
  1. 37 bekommt 3 dazu, 28 gibt 3 ab.
  2. 37 + 28 = 40 + 25
  3. 40 + 25 = 65
Ergebnis:
65

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 198 + 25 = 200 + ___
    19825
    So fängst du an:
    198 wird zu 200: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 198 wird zu 200: 2 mehr.
    2. Also muss 25 um 2 kleiner werden: 25 − 2 = 23
    3. 200 + 23 = 223
    Ergebnis:
    23
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 68 + 24 = 70 + ___
    6824
    Lösung zeigen
    1. 68 wird zu 70: 2 mehr.
    2. Also muss 24 um 2 kleiner werden: 24 − 2 = 22
    3. 70 + 22 = 92
    Ergebnis:
    22
  3. ★6
    Zeynep rechnet 499 + 626 als 500 + 626. Was muss Zeynep danach noch tun? Was kommt heraus?
    499626
    Lösung zeigen
    1. Zeynep hat 499 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 500 + 626 = 1126.
    3. 1 wieder abziehen: 1126 − 1 = 1125
    Ergebnis:
    1125

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 29
Schritt für Schritt
  1. 29 = 30 − 1
  2. 3 · 30 = 90 und 3 · 1 = 3
  3. 90 − 3 = 87
  1. 29 = 30 − 1
  2. 3 · 30 = 90 und 3 · 1 = 3
  3. 90 − 3 = 87
Ergebnis:
87

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 19
    So fängst du an:
    19 = 20 − 1
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 3 · 20 = 60 und 3 · 1 = 3
    3. 60 − 3 = 57
    Ergebnis:
    57
  2. ●8
    Es gibt 4 Tüten mit je 35 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 4 · 35
    2. 35 = 30 + 5
    3. 4 · 30 = 120 und 4 · 5 = 20
    4. 120 + 20 = 140
    Ergebnis:
    140 Bonbons
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 9 · 60 = 540 und 9 · 1 = 9
    3. 540 − 9 = 531
    Ergebnis:
    531

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 192 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 192 : 6?
192: 6
Schritt für Schritt
  1. 192 = 180 + 12
  2. 180 : 6 = 30 und 12 : 6 = 2
  3. 30 + 2 = 32
  1. 192 = 180 + 12
  2. 180 : 6 = 30 und 12 : 6 = 2
  3. 30 + 2 = 32
Ergebnis:
32

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    324 Sticker werden gleichmäßig auf 6 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    324 : 6
    Lösung zeigen
    1. 324 : 6
    2. 324 = 300 + 24
    3. 300 : 6 = 50 und 24 : 6 = 4
    4. 50 + 4 = 54
    Ergebnis:
    54 Sticker
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 306 : 9
    Lösung zeigen
    1. 306 = 270 + 36
    2. 270 : 9 = 30 und 36 : 9 = 4
    3. 30 + 4 = 34
    Ergebnis:
    34
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 1215 : 9
    Lösung zeigen
    1. 1215 = 1170 + 45
    2. 1170 : 9 = 130 und 45 : 9 = 5
    3. 130 + 5 = 135
    Ergebnis:
    135

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 78 − 48 = ___ − 58
Schritt für Schritt
  1. 48 wird zu 58: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 78 um 10 größer.
  3. 78 + 10 = 88
  1. 48 wird zu 58: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 78 um 10 größer.
  3. 78 + 10 = 88
Ergebnis:
88

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 98 − 87 = ___ − 97
    So fängst du an:
    87 wird zu 97: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 87 wird zu 97: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 98 um 10 größer.
    3. 98 + 10 = 108
    Ergebnis:
    108
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 4 · 14 = 2 · ___
    4 · 14=2 · ?
    Lösung zeigen
    1. 4 wird halb so groß: 2.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
    3. 14 · 2 = 28
    Ergebnis:
    28
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 5 · 57 + 5 · 4 = 5 · ___
    5 · 57 + 5 · 4=5 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 5.
    2. 5 mal 57 und 5 mal 4 sind zusammen 5 mal (57 + 4).
    3. 57 + 4 = 61
    Ergebnis:
    61

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  2. ●17
    Can verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  3. ★18
    Sofia verdoppelt bei 36 · 5 beide Faktoren und rechnet 72 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 72 · 10 = 720, aber 36 · 5 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 7 · 22? Nenne ihn. Rechne danach.
7 · 22zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 22 = 20 + 2.
  2. 7 · 20 = 140 und 7 · 2 = 14
  3. Zusammen: 154
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 22 = 20 + 2.
  2. 7 · 20 = 140 und 7 · 2 = 14
  3. Zusammen: 154
Ergebnis:
zerlegen, 154

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 41 + 48 + 59? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 41 + 59 = 100
    3. 100 + 48 = 148
    Ergebnis:
    vertauschen, 148
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 16 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 315 + 198? Nenne ihn. Rechne danach.
    315 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 315 + 198 = 313 + 200
    3. 313 + 200 = 513
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 513

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Mia rechnet 261 : 3 und erhält 86. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
261 : 3Ergebnis 86?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 86 · 3 = 258
  2. 258 ist nicht 261: Es ist falsch.
  3. 261 : 3 = 87
  1. Umkehraufgabe: 86 · 3 = 258
  2. 258 ist nicht 261: Es ist falsch.
  3. 261 : 3 = 87
Ergebnis:
falsch, richtig ist 87

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Mia rechnet 778 − 704 und erhält 74. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 74 + 704 = 778
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 74 + 704 = 778
    2. 778 ist genau 778: Es stimmt.
    3. 778 − 704 = 74
    Ergebnis:
    stimmt, 74
  2. ●23
    Lea erhält für 67 · 47 das Ergebnis 4149. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 70 · 50 = 3500
    2. 4149 liegt zu weit weg. Genau: 67 · 47 = 3149
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 3149
  3. ★24
    Mia rechnet 1692 : 3 und erhält 564. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    1692 : 3Ergebnis 564?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 564 · 3 = 1692
    2. 1692 ist genau 1692: Es stimmt.
    3. 1692 : 3 = 564
    Ergebnis:
    stimmt, 564

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Elias rechnet 7 + 78 + 33 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    77833
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 7 + 33 + 78
    2. 7 + 33 = 40
    3. 40 + 78 = 118
    Ergebnis:
    118
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 5 · 4 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    542
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 · 2 · 4
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 4 = 40
    Ergebnis:
    40
  3. ●27
    Jonas rechnet 49 + 85 als 50 + 85. Was muss Jonas danach noch tun? Was kommt heraus?
    4985
    Lösung zeigen
    1. Jonas hat 49 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 50 + 85 = 135.
    3. 1 wieder abziehen: 135 − 1 = 134
    Ergebnis:
    134
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 58 − 19
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 1 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 58 − 19 = 59 − 20
    3. 59 − 20 = 39
    Ergebnis:
    39
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 63
    Lösung zeigen
    1. 63 = 60 + 3
    2. 9 · 60 = 540 und 9 · 3 = 27
    3. 540 + 27 = 567
    Ergebnis:
    567
  6. ●30
    Lea rechnet 3 · 28 so: erst 3 · 20, dann 8 dazu. Lea erhält 68. Zeige am Bild, was fehlt.
    2083
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 3 Reihen mit je 8 Kästchen, nicht nur 8.
    2. Rechter Teil: 3 · 8 = 24
    3. 60 + 24 = 84
    Ergebnis:
    84

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 6 + 39 + 14
    63914
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    59

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 297 + 28 = 300 + ___
    29728
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    25

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 5 Hefte mit je 58 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    290 Hefte

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 144 : 8
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    18

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 42 + 72 = 39 + ___
    42 + 72=39 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    75

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Milan verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 80

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 29 + 41 + 71? Nenne ihn. Rechne danach.
    29 + 41 + 71zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 141

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Aylin erhält für 56 · 18 das Ergebnis 1108. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1008

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 46
  2. 89
  3. 1907
  4. 23
  5. 22
  6. 1125
  7. 57
  8. 140 Bonbons
  9. 531
  10. 54 Sticker
  11. 34
  12. 135
  13. 108
  14. 28
  15. 61
  16. 400
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  19. vertauschen, 148
  20. halbieren und verdoppeln, 80
  21. gegensinnig verändern, 513
  22. stimmt, 74
  23. falsch, richtig ist 3149
  24. stimmt, 564
  25. 118
  26. 40
  27. 134
  28. 39
  29. 567
  30. 84
  31. 59
  32. 25
  33. 290 Hefte
  34. 18
  35. 75
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  37. vertauschen, 141
  38. falsch, richtig ist 1008
  39. 17
  40. 60
  41. 12
  42. 25