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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 77 − 5 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 8 = 40
    2. 77 − 40 = 37
    Ergebnis:
    37
  2. ●40
    Rechne: (7 + 5) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 7 + 5 = 12
    2. 12 · 6 = 72
    Ergebnis:
    72

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 7 + 7 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 7 · 4 = 28
    2. 7 + 28 = 35
    Ergebnis:
    35
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 15 und erhalte 70. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    55

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 15 + 38 + 5 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
15385
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 15 + 5 + 38
  2. 15 + 5 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 38 = 58
  1. Vertauschen: 15 + 5 + 38
  2. 15 + 5 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 38 = 58
Ergebnis:
58

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 24 + 61 + 76 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    246176
    So fängst du an:
    Vertauschen: 24 + 76 + 61
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 24 + 76 + 61
    2. 24 + 76 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 61 = 161
    Ergebnis:
    161
  2. ●2
    Emma rechnet 14 + 52 + 26 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    145226
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 26 + 52
    2. 14 + 26 = 40
    3. 40 + 52 = 92
    Ergebnis:
    92
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 54 + 471 + 46 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    5447146
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 54 + 46 + 471
    2. 54 + 46 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 471 = 571
    Ergebnis:
    571

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 37 + 37
3737
Schritt für Schritt
  1. 37 bekommt 3 dazu, 37 gibt 3 ab.
  2. 37 + 37 = 40 + 34
  3. 40 + 34 = 74
  1. 37 bekommt 3 dazu, 37 gibt 3 ab.
  2. 37 + 37 = 40 + 34
  3. 40 + 34 = 74
Ergebnis:
74

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 37 + 74
    3774
    So fängst du an:
    37 bekommt 3 dazu, 74 gibt 3 ab.
    Lösung zeigen
    1. 37 bekommt 3 dazu, 74 gibt 3 ab.
    2. 37 + 74 = 40 + 71
    3. 40 + 71 = 111
    Ergebnis:
    111
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 298 + 94 = 300 + ___
    29894
    Lösung zeigen
    1. 298 wird zu 300: 2 mehr.
    2. Also muss 94 um 2 kleiner werden: 94 − 2 = 92
    3. 300 + 92 = 392
    Ergebnis:
    92
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 1997 + 286 = 2000 + ___
    1997286
    Lösung zeigen
    1. 1997 wird zu 2000: 3 mehr.
    2. Also muss 286 um 3 kleiner werden: 286 − 3 = 283
    3. 2000 + 283 = 2283
    Ergebnis:
    283

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 7 Tüten mit je 62 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 7 · 62
  2. 62 = 60 + 2
  3. 7 · 60 = 420 und 7 · 2 = 14
  4. 420 + 14 = 434
  1. 7 · 62
  2. 62 = 60 + 2
  3. 7 · 60 = 420 und 7 · 2 = 14
  4. 420 + 14 = 434
Ergebnis:
434 Bonbons

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 23
    So fängst du an:
    23 = 20 + 3
    Lösung zeigen
    1. 23 = 20 + 3
    2. 5 · 20 = 100 und 5 · 3 = 15
    3. 100 + 15 = 115
    Ergebnis:
    115
  2. ●8
    Es gibt 3 Tüten mit je 16 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 16
    2. 16 = 10 + 6
    3. 3 · 10 = 30 und 3 · 6 = 18
    4. 30 + 18 = 48
    Ergebnis:
    48 Bonbons
  3. ★9
    Es gibt 8 Tüten mit je 58 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 58
    2. 58 = 50 + 8
    3. 8 · 50 = 400 und 8 · 8 = 64
    4. 400 + 64 = 464
    Ergebnis:
    464 Bonbons

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 486 : 9
Schritt für Schritt
  1. 486 = 450 + 36
  2. 450 : 9 = 50 und 36 : 9 = 4
  3. 50 + 4 = 54
  1. 486 = 450 + 36
  2. 450 : 9 = 50 und 36 : 9 = 4
  3. 50 + 4 = 54
Ergebnis:
54

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    402 Bücher werden gleichmäßig auf 6 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    402 : 6
    Lösung zeigen
    1. 402 : 6
    2. 402 = 360 + 42
    3. 360 : 6 = 60 und 42 : 6 = 7
    4. 60 + 7 = 67
    Ergebnis:
    67 Bücher
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 376 : 8
    Lösung zeigen
    1. 376 = 320 + 56
    2. 320 : 8 = 40 und 56 : 8 = 7
    3. 40 + 7 = 47
    Ergebnis:
    47
  3. ★12
    376 Murmeln werden gleichmäßig auf 4 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 376 : 4
    2. 376 = 360 + 16
    3. 360 : 4 = 90 und 16 : 4 = 4
    4. 90 + 4 = 94
    Ergebnis:
    94 Murmeln

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 19 + 71 = 20 + ___
19 + 71=20 + ?
Schritt für Schritt
  1. 19 wird zu 20: 1 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 71 um 1 kleiner.
  3. 71 − 1 = 70
  1. 19 wird zu 20: 1 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 71 um 1 kleiner.
  3. 71 − 1 = 70
Ergebnis:
70

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 16 · 6 = 8 · ___
    16 · 6=8 · ?
    So fängst du an:
    16 wird halb so groß: 8.
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 6 doppelt so groß.
    3. 6 · 2 = 12
    Ergebnis:
    12
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 75 − 14 = ___ − 16
    Lösung zeigen
    1. 14 wird zu 16: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 75 um 2 größer.
    3. 75 + 2 = 77
    Ergebnis:
    77
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 12 · 12 = 6 · ___
    12 · 12=6 · ?
    Lösung zeigen
    1. 12 wird halb so groß: 6.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
    3. 12 · 2 = 24
    Ergebnis:
    24

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Lea verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 15 = 7 · 30
    3. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  2. ●17
    Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  3. ★18
    Warum ist 36 · 5 dasselbe wie 18 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 36 · 5 = 18 · 10
    3. 18 · 10 = 180
    Ergebnis:
    180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
Schritt für Schritt
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 200

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 6 · 67? Nenne ihn. Rechne danach.
    6 · 67zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 67 = 60 + 7.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 67 = 60 + 7.
    2. 6 · 60 = 360 und 6 · 7 = 42
    3. Zusammen: 402
    Ergebnis:
    zerlegen, 402
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 23 + 74 + 77? Nenne ihn. Rechne danach.
    23 + 74 + 77zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 23 + 77 = 100
    3. 100 + 74 = 174
    Ergebnis:
    vertauschen, 174
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 16 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Mia erhält für 87 · 14 das Ergebnis 1018. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 90 · 10 = 900
  2. 1018 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 87 · 14 = 1218
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 90 · 10 = 900
  2. 1018 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 87 · 14 = 1218
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 1218

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Tom erhält für 62 · 45 das Ergebnis 2790. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 60 · 50 = 3000
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 60 · 50 = 3000
    2. 2790 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 62 · 45 = 2790
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 2790
  2. ●23
    Sofia rechnet 450 : 6 und erhält 77. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    450 : 6Ergebnis 77?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 77 · 6 = 462
    2. 462 ist nicht 450: Es ist falsch.
    3. 450 : 6 = 75
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 75
  3. ★24
    Sofia rechnet 9548 − 8730 und erhält 838. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 838 + 8730 = 9568
    2. 9568 ist nicht 9548: Es ist falsch.
    3. 9548 − 8730 = 818
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 818

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 7 + 26 + 43
    72643
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 7 + 43 + 26
    2. 7 + 43 = 50
    3. 50 + 26 = 76
    Ergebnis:
    76
  2. ●26
    In einem Lager stehen 25 Regale mit je 4 Packungen. In jeder Packung sind 14 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    25 Regale4 Packungen14 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 25 · 4 · 14
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 14 = 1400
    Ergebnis:
    1400 Bälle
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 299 + 25
    29925
    Lösung zeigen
    1. 299 bekommt 1 dazu, 25 gibt 1 ab.
    2. 299 + 25 = 300 + 24
    3. 300 + 24 = 324
    Ergebnis:
    324
  4. ●28
    Ben rechnet 71 − 39 als 71 − 40 und erhält 31. Ist das schon das Ergebnis?
    71 − 3971 − 40
    Lösung zeigen
    1. Ben hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 31 + 1 = 32
    Ergebnis:
    Nein, 32
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 29
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 6 · 30 = 180 und 6 · 1 = 6
    3. 180 − 6 = 174
    Ergebnis:
    174
  6. ●30
    Zeynep rechnet 3 · 23 so: erst 3 · 20, dann 3 dazu. Zeynep erhält 63. Zeige am Bild, was fehlt.
    2033
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 3 Reihen mit je 3 Kästchen, nicht nur 3.
    2. Rechter Teil: 3 · 3 = 9
    3. 60 + 9 = 69
    Ergebnis:
    69

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Lea rechnet 22 + 24 + 8 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    22248
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    54

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Milan rechnet 299 + 55 als 300 + 55. Was muss Milan danach noch tun? Was kommt heraus?
    29955
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    354

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 68
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    272

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 372 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 372 : 6?
    372: 6
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    62

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 18 · 5 = 9 · ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 29 + 47 + 71? Nenne ihn. Rechne danach.
    29 + 47 + 71zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 147

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Can rechnet 558 : 6 und erhält 92. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    558 : 6Ergebnis 92?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 93

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 161
  2. 92
  3. 571
  4. 111
  5. 92
  6. 283
  7. 115
  8. 48 Bonbons
  9. 464 Bonbons
  10. 67 Bücher
  11. 47
  12. 94 Murmeln
  13. 12
  14. 77
  15. 24
  16. 210
  17. 80
  18. 180
  19. zerlegen, 402
  20. vertauschen, 174
  21. halbieren und verdoppeln, 80
  22. stimmt, 2790
  23. falsch, richtig ist 75
  24. falsch, richtig ist 818
  25. 76
  26. 1400 Bälle
  27. 324
  28. Nein, 32
  29. 174
  30. 69
  31. 54
  32. 354
  33. 272
  34. 62
  35. 10
  36. 90
  37. vertauschen, 147
  38. falsch, richtig ist 93
  39. 37
  40. 72
  41. 35
  42. 55