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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 4 + 3 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 9 = 27
    2. 4 + 27 = 31
    Ergebnis:
    31
  2. ●40
    Rechne: (4 + 7) · 9
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 7 = 11
    2. 11 · 9 = 99
    Ergebnis:
    99

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 8 + 9 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 9 = 81
    2. 8 + 81 = 89
    Ergebnis:
    89
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 13 und erhalte 71. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    58

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 12 + 42 + 48 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
124248
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 12 + 48 + 42
  2. 12 + 48 = 60
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 42 = 102
  1. Vertauschen: 12 + 48 + 42
  2. 12 + 48 = 60
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 42 = 102
Ergebnis:
102

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Noah rechnet 13 + 35 + 47 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    133547
    So fängst du an:
    Vertauschen: 13 + 47 + 35
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 13 + 47 + 35
    2. 13 + 47 = 60
    3. 60 + 35 = 95
    Ergebnis:
    95
  2. ●2
    Hanna rechnet 33 + 74 + 7 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    33747
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 33 + 7 + 74
    2. 33 + 7 = 40
    3. 40 + 74 = 114
    Ergebnis:
    114
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 584 + 388 + 416 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    584388416
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 584 + 416 + 388
    2. 584 + 416 = 1000
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 1000 + 388 = 1388
    Ergebnis:
    1388

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Emma rechnet 198 + 55 als 200 + 55. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
19855
Schritt für Schritt
  1. Emma hat 198 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 200 + 55 = 255.
  3. 2 wieder abziehen: 255 − 2 = 253
  1. Emma hat 198 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 200 + 55 = 255.
  3. 2 wieder abziehen: 255 − 2 = 253
Ergebnis:
253

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 97 + 47 = 100 + ___
    9747
    So fängst du an:
    97 wird zu 100: 3 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
    2. Also muss 47 um 3 kleiner werden: 47 − 3 = 44
    3. 100 + 44 = 144
    Ergebnis:
    44
  2. ●5
    Lea rechnet 49 + 67 als 50 + 67. Was muss Lea danach noch tun? Was kommt heraus?
    4967
    Lösung zeigen
    1. Lea hat 49 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 50 + 67 = 117.
    3. 1 wieder abziehen: 117 − 1 = 116
    Ergebnis:
    116
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 998 + 684 = 1000 + ___
    998684
    Lösung zeigen
    1. 998 wird zu 1000: 2 mehr.
    2. Also muss 684 um 2 kleiner werden: 684 − 2 = 682
    3. 1000 + 682 = 1682
    Ergebnis:
    682

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 19
Schritt für Schritt
  1. 19 = 20 − 1
  2. 4 · 20 = 80 und 4 · 1 = 4
  3. 80 − 4 = 76
  1. 19 = 20 − 1
  2. 4 · 20 = 80 und 4 · 1 = 4
  3. 80 − 4 = 76
Ergebnis:
76

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 49
    So fängst du an:
    49 = 40 + 9
    Lösung zeigen
    1. 49 = 40 + 9
    2. 5 · 40 = 200 und 5 · 9 = 45
    3. 200 + 45 = 245
    Ergebnis:
    245
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 9 · 50 = 450 und 9 · 1 = 9
    3. 450 − 9 = 441
    Ergebnis:
    441
  3. ★9
    Es gibt 4 Hefte mit je 91 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 4 · 91
    2. 91 = 90 + 1
    3. 4 · 90 = 360 und 4 · 1 = 4
    4. 360 + 4 = 364
    Ergebnis:
    364 Hefte

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 72 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 72 : 6?
72: 6
Schritt für Schritt
  1. 72 = 60 + 12
  2. 60 : 6 = 10 und 12 : 6 = 2
  3. 10 + 2 = 12
  1. 72 = 60 + 12
  2. 60 : 6 = 10 und 12 : 6 = 2
  3. 10 + 2 = 12
Ergebnis:
12

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 315 : 5
    So fängst du an:
    315 = 300 + 15
    Lösung zeigen
    1. 315 = 300 + 15
    2. 300 : 5 = 60 und 15 : 5 = 3
    3. 60 + 3 = 63
    Ergebnis:
    63
  2. ●11
    276 Bücher werden gleichmäßig auf 6 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 276 : 6
    2. 276 = 240 + 36
    3. 240 : 6 = 40 und 36 : 6 = 6
    4. 40 + 6 = 46
    Ergebnis:
    46 Bücher
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 369 : 9
    Lösung zeigen
    1. 369 = 360 + 9
    2. 360 : 9 = 40 und 9 : 9 = 1
    3. 40 + 1 = 41
    Ergebnis:
    41

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 74 + 13 = 72 + ___
74 + 13=72 + ?
Schritt für Schritt
  1. 74 wird zu 72: 2 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 13 um 2 größer.
  3. 13 + 2 = 15
  1. 74 wird zu 72: 2 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 13 um 2 größer.
  3. 13 + 2 = 15
Ergebnis:
15

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 16 · 14 = 8 · ___
    16 · 14=8 · ?
    So fängst du an:
    16 wird halb so groß: 8.
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
    3. 14 · 2 = 28
    Ergebnis:
    28
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 14 · 10 = 7 · ___
    Lösung zeigen
    1. 14 wird halb so groß: 7.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
    3. 10 · 2 = 20
    Ergebnis:
    20
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 92 − 32 = ___ − 34
    Lösung zeigen
    1. 32 wird zu 34: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 92 um 2 größer.
    3. 92 + 2 = 94
    Ergebnis:
    94

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
Schritt für Schritt
  1. 14 · 5 = 7 · 10
  2. 7 · 10 = 70
  1. 14 · 5 = 7 · 10
  2. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    So fängst du an:
    16 · 25 = 8 · 50
    Lösung zeigen
    1. 16 · 25 = 8 · 50
    2. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  2. ●17
    Jonas verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  3. ★18
    Hanna verdoppelt bei 32 · 25 beide Faktoren und rechnet 64 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 64 · 50 = 3200, aber 32 · 25 = 800
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 800

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 42 + 62 + 58? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 42 + 58 = 100
  3. 100 + 62 = 162
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 42 + 58 = 100
  3. 100 + 62 = 162
Ergebnis:
vertauschen, 162

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 7 · 54? Nenne ihn und rechne.
    7 · 54zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 54 = 50 + 4.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 54 = 50 + 4.
    2. 7 · 50 = 350 und 7 · 4 = 28
    3. Zusammen: 378
    Ergebnis:
    zerlegen, 378
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 18 + 79 + 82? Nenne ihn und rechne.
    18 + 79 + 82zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 18 + 82 = 100
    3. 100 + 79 = 179
    Ergebnis:
    vertauschen, 179
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
    16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Tom rechnet 300 : 5 und erhält 62. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
300 : 5Ergebnis 62?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 62 · 5 = 310
  2. 310 ist nicht 300: Es ist falsch.
  3. 300 : 5 = 60
  1. Umkehraufgabe: 62 · 5 = 310
  2. 310 ist nicht 300: Es ist falsch.
  3. 300 : 5 = 60
Ergebnis:
falsch, richtig ist 60

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Hanna rechnet 216 : 9 und erhält 24. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    216 : 9Ergebnis 24?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 24 · 9 = 216
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 24 · 9 = 216
    2. 216 ist genau 216: Es stimmt.
    3. 216 : 9 = 24
    Ergebnis:
    stimmt, 24
  2. ●23
    Emma erhält für 53 · 24 das Ergebnis 1172. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 50 · 20 = 1000
    2. 1172 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 53 · 24 = 1272
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1272
  3. ★24
    Milan erhält für 163 · 46 das Ergebnis 7698. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 200 · 50 = 10.000
    2. 7698 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 163 · 46 = 7498
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 7498

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 25 + 51 + 35
    255135
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 + 35 + 51
    2. 25 + 35 = 60
    3. 60 + 51 = 111
    Ergebnis:
    111
  2. ●26
    Rechne geschickt: 25 · 12 · 4
    25124
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 12
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 12 = 1200
    Ergebnis:
    1200
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 297 + 78 = 300 + ___
    29778
    Lösung zeigen
    1. 297 wird zu 300: 3 mehr.
    2. Also muss 78 um 3 kleiner werden: 78 − 3 = 75
    3. 300 + 75 = 375
    Ergebnis:
    75
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 213 − 198 = ___ − 200
    Lösung zeigen
    1. 198 wird zu 200: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 213 um 2 größer: 215.
    3. 215 − 200 = 15
    Ergebnis:
    215
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 8 · 50 = 400 und 8 · 1 = 8
    3. 400 − 8 = 392
    Ergebnis:
    392
  6. ●30
    Lea rechnet 4 · 22 so: erst 4 · 20, dann 2 dazu. Lea erhält 82. Zeige am Bild, was fehlt.
    2024
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 4 Reihen mit je 2 Kästchen, nicht nur 2.
    2. Rechter Teil: 4 · 2 = 8
    3. 80 + 8 = 88
    Ergebnis:
    88

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 35 + 76 + 15 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    357615
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    126

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 97 + 97 = 100 + ___
    9797
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    94

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 4 Hefte mit je 27 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    108 Hefte

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 366 : 6
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    61

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 34 + 34 = 33 + ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    35

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 389 + 497? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 886

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Lea rechnet 136 : 4 und erhält 44. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    136 : 4Ergebnis 44?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 34

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 95
  2. 114
  3. 1388
  4. 44
  5. 116
  6. 682
  7. 245
  8. 441
  9. 364 Hefte
  10. 63
  11. 46 Bücher
  12. 41
  13. 28
  14. 20
  15. 94
  16. 400
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 800
  19. zerlegen, 378
  20. vertauschen, 179
  21. halbieren und verdoppeln, 80
  22. stimmt, 24
  23. falsch, richtig ist 1272
  24. falsch, richtig ist 7498
  25. 111
  26. 1200
  27. 75
  28. 215
  29. 392
  30. 88
  31. 126
  32. 94
  33. 108 Hefte
  34. 61
  35. 35
  36. 180
  37. gegensinnig verändern, 886
  38. falsch, richtig ist 34
  39. 31
  40. 99
  41. 89
  42. 58