Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

●39
Rechne: 3 + 3 · 9
Lösung zeigen
1. Punkt vor Strich: erst 3 · 9 = 27
2. 3 + 27 = 30
Ergebnis:
30
●40
Rechne: (7 + 8) · 4
Lösung zeigen
1. Die Klammer zuerst: 7 + 8 = 15
2. 15 · 4 = 60
Ergebnis:
60

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

●41
Berechne: 7 + 2 · 7
Lösung zeigen
1. Punkt vor Strich: erst 2 · 7 = 14
2. 7 + 14 = 21
Ergebnis:
21
●42
Ich denke mir eine Zahl, addiere 11 und erhalte 71. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
Lösung zeigen
Ergebnis:
60

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 9 + 55 + 21

Schritt für Schritt

Vertauschen: 9 + 21 + 55
9 + 21 = 30
30 + 55 = 85

Vertauschen: 9 + 21 + 55
9 + 21 = 30
30 + 55 = 85

Ergebnis:

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht

50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40

So richtig

50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

○1
Milan rechnet 19 + 87 + 21 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
So fängst du an:
Vertauschen: 19 + 21 + 87
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 19 + 21 + 87
2. 19 + 21 = 40
3. 40 + 87 = 127
Ergebnis:
127
●2
Welche Zahlen fasst du bei 16 + 57 + 34 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 16 + 34 + 57
2. 16 + 34 = 50
3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 57 = 107
Ergebnis:
107
★3
Welche Zahlen fasst du bei 145 + 737 + 71 + 55 + 29 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 145 + 55 + 71 + 29 + 737
2. 145 + 55 = 200 und 71 + 29 = 100
3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 200 + 100 + 737 = 1037
Ergebnis:
1037

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Paul rechnet 199 + 43 als 200 + 43. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?

Schritt für Schritt

Paul hat 199 um 1 vergrößert.
Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 200 + 43 = 243.
1 wieder abziehen: 243 − 1 = 242

Paul hat 199 um 1 vergrößert.
Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 200 + 43 = 243.
1 wieder abziehen: 243 − 1 = 242

Ergebnis:

242

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht

143 − 97: 143 − 100 = 43

So richtig

143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

○4
Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 99 + 67
So fängst du an:
99 bekommt 1 dazu, 67 gibt 1 ab.
Lösung zeigen
1. 99 bekommt 1 dazu, 67 gibt 1 ab.
2. 99 + 67 = 100 + 66
3. 100 + 66 = 166
Ergebnis:
166
●5
Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 48 + 77
Lösung zeigen
1. 48 bekommt 2 dazu, 77 gibt 2 ab.
2. 48 + 77 = 50 + 75
3. 50 + 75 = 125
Ergebnis:
125
★6
Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 998 + 768
Lösung zeigen
1. 998 bekommt 2 dazu, 768 gibt 2 ab.
2. 998 + 768 = 1000 + 766
3. 1000 + 766 = 1766
Ergebnis:
1766

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 29

Schritt für Schritt

29 = 30 − 1
3 · 30 = 90 und 3 · 1 = 3
90 − 3 = 87

29 = 30 − 1
3 · 30 = 90 und 3 · 1 = 3
90 − 3 = 87

Ergebnis:

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht

7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288

So richtig

7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

○7
Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 35
So fängst du an:
35 = 30 + 5
Lösung zeigen
1. 35 = 30 + 5
2. 4 · 30 = 120 und 4 · 5 = 20
3. 120 + 20 = 140
Ergebnis:
140
●8
Es gibt 4 Reihen mit je 56 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Lösung zeigen
1. 4 · 56
2. 56 = 50 + 6
3. 4 · 50 = 200 und 4 · 6 = 24
4. 200 + 24 = 224
Ergebnis:
224 Stühle
★9
Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 29
Lösung zeigen
1. 29 = 30 − 1
2. 7 · 30 = 210 und 7 · 1 = 7
3. 210 − 7 = 203
Ergebnis:
203

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 330 : 6

Schritt für Schritt

330 = 300 + 30
300 : 6 = 50 und 30 : 6 = 5
50 + 5 = 55

330 = 300 + 30
300 : 6 = 50 und 30 : 6 = 5
50 + 5 = 55

Ergebnis:

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht

385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben

So richtig

385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

○10
Rechne halbschriftlich: 335 : 5
So fängst du an:
335 = 300 + 35
Lösung zeigen
1. 335 = 300 + 35
2. 300 : 5 = 60 und 35 : 5 = 7
3. 60 + 7 = 67
Ergebnis:
67
●11
105 Bücher werden gleichmäßig auf 3 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Lösung zeigen
1. 105 : 3
2. 105 = 90 + 15
3. 90 : 3 = 30 und 15 : 3 = 5
4. 30 + 5 = 35
Ergebnis:
35 Bücher
★12
582 Bücher werden gleichmäßig auf 6 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Lösung zeigen
1. 582 : 6
2. 582 = 540 + 42
3. 540 : 6 = 90 und 42 : 6 = 7
4. 90 + 7 = 97
Ergebnis:
97 Bücher

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 13 + 75 = 3 + ___

Schritt für Schritt

13 wird zu 3: 10 weniger.
Damit die Summe gleich bleibt, wird 75 um 10 größer.
75 + 10 = 85

13 wird zu 3: 10 weniger.
Damit die Summe gleich bleibt, wird 75 um 10 größer.
75 + 10 = 85

Ergebnis:

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht

9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98

So richtig

9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

○13
Ergänze die Lücke: 52 − 21 = ___ − 22
So fängst du an:
21 wird zu 22: 1 mehr.
Lösung zeigen
1. 21 wird zu 22: 1 mehr.
2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 52 um 1 größer.
3. 52 + 1 = 53
Ergebnis:
53
●14
Ergänze die Lücke: 18 · 8 = 9 · ___
Lösung zeigen
1. 18 wird halb so groß: 9.
2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
3. 8 · 2 = 16
Ergebnis:
16
★15
Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 9 · 26 + 9 · 2 = 9 · ___
Lösung zeigen
1. Beide Produkte haben den Faktor 9.
2. 9 mal 26 und 9 mal 2 sind zusammen 9 mal (26 + 2).
3. 26 + 2 = 28
Ergebnis:
28

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.

Schritt für Schritt

Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
14 · 15 = 7 · 30
7 · 30 = 210

Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
14 · 15 = 7 · 30
7 · 30 = 210

Ergebnis:

210

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht

8 · 25 → 16 · 50 = 800

So richtig

8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

○16
Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
So fängst du an:
16 · 25 = 8 · 50
Lösung zeigen
1. 16 · 25 = 8 · 50
2. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400
●17
Mia verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
Lösung zeigen
1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 400
★18
Sofia verdoppelt bei 24 · 125 beide Faktoren und rechnet 48 · 250. Bleibt das Ergebnis gleich?
Lösung zeigen
1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
2. 48 · 250 = 12.000, aber 24 · 125 = 3000
3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 3000

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 8 · 54? Nenne ihn. Rechne danach.

Schritt für Schritt

Den zweiten Faktor zerlegen: 54 = 50 + 4.
8 · 50 = 400 und 8 · 4 = 32
Zusammen: 432

Den zweiten Faktor zerlegen: 54 = 50 + 4.
8 · 50 = 400 und 8 · 4 = 32
Zusammen: 432

Ergebnis:

zerlegen, 432

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht

299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447

So richtig

299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

○19
Wie rechnest du am schnellsten: 37 + 79 + 63? Nenne ihn. Rechne danach.
So fängst du an:
Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
Lösung zeigen
1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
2. 37 + 63 = 100
3. 100 + 79 = 179
Ergebnis:
vertauschen, 179
●20
Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 12 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
Lösung zeigen
1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
2. 12 · 25 = 6 · 50
3. 6 · 50 = 300
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 300
★21
Wie rechnest du am schnellsten: 33 + 67 + 67? Nenne ihn. Rechne danach.
Lösung zeigen
1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
2. 33 + 67 = 100
3. 100 + 67 = 167
Ergebnis:
vertauschen, 167

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Tom erhält für 67 · 38 das Ergebnis 3546. Prüfe mit einem Überschlag.

Schritt für Schritt

Überschlag: 70 · 40 = 2800
3546 liegt zu weit weg. Genau: 67 · 38 = 2546
Das Ergebnis ist falsch.

Überschlag: 70 · 40 = 2800
3546 liegt zu weit weg. Genau: 67 · 38 = 2546
Das Ergebnis ist falsch.

Ergebnis:

falsch, richtig ist 2546

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht

425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft

So richtig

425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

○22
Elias rechnet 427 : 7 und erhält 61. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
So fängst du an:
Umkehraufgabe: 61 · 7 = 427
Lösung zeigen
1. Umkehraufgabe: 61 · 7 = 427
2. 427 ist genau 427: Es stimmt.
3. 427 : 7 = 61
Ergebnis:
stimmt, 61
●23
Aylin erhält für 45 · 24 das Ergebnis 1280. Prüfe mit einem Überschlag.
Lösung zeigen
1. Überschlag: 50 · 20 = 1000
2. 1280 liegt zu weit weg. Genau: 45 · 24 = 1080
3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 1080
★24
Lea erhält für 256 · 27 das Ergebnis 7112. Prüfe mit einem Überschlag.
Lösung zeigen
1. Überschlag: 300 · 30 = 9000
2. 7112 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 256 · 27 = 6912
3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 6912

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Paul rechnet 47 + 27 + 53 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 47 + 53 + 27
2. 47 + 53 = 100
3. 100 + 27 = 127
Ergebnis:
127
●26
In einem Lager stehen 2 Regale mit je 5 Packungen. In jeder Packung sind 3 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
Lösung zeigen
1. Bälle: 2 · 5 · 3
2. 2 · 5 = 10
3. 10 · 3 = 30
Ergebnis:
30 Bälle
●27
Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 68 + 24 = 70 + ___
Lösung zeigen
1. 68 wird zu 70: 2 mehr.
2. Also muss 24 um 2 kleiner werden: 24 − 2 = 22
3. 70 + 22 = 92
Ergebnis:
22
●28
Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 215 − 199 = ___ − 200
Lösung zeigen
1. 199 wird zu 200: 1 mehr.
2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 215 um 1 größer: 216.
3. 216 − 200 = 16
Ergebnis:
216
●29
Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 16
Lösung zeigen
1. 16 = 10 + 6
2. 8 · 10 = 80 und 8 · 6 = 48
3. 80 + 48 = 128
Ergebnis:
128
●30
Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 5 · 18?
Lösung zeigen
1. Links: 5 · 10 = 50
2. Rechts: 5 · 8 = 40
3. 5 · 18 = 50 + 40 = 90
Ergebnis:
5 · 10 und 5 · 8, zusammen 90

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen: Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig: Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen: Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen: Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert: Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren: Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen: Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe: Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.
31
Welche Zahlen fasst du bei 64 + 43 + 36 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
Lösung zeigen
Ergebnis:
143
Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.
32
Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 98 + 84
Lösung zeigen
Ergebnis:
182
Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.
33
Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 29
Lösung zeigen
Ergebnis:
87
Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.
34
Zerlege 288 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 288 : 6?
Lösung zeigen
Ergebnis:
48
Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.
35
Ergänze die Lücke: 58 − 31 = ___ − 32
Lösung zeigen
Ergebnis:
59
Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.
36
Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
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Ergebnis:
200
Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.
37
Welcher Weg passt zu 18 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
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Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 90
Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.
38
Jonas erhält für 89 · 18 das Ergebnis 1402. Prüfe mit einem Überschlag.
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Ergebnis:
falsch, richtig ist 1602

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz: was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt: was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe: was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

127
107
1037
166
125
1766
140
224 Stühle
203
67
35 Bücher
97 Bücher
53
16
28
400
Nein, viermal so groß; richtig ist 400
Nein, viermal so groß; richtig ist 3000
vertauschen, 179
halbieren und verdoppeln, 300
vertauschen, 167
stimmt, 61
falsch, richtig ist 1080
falsch, richtig ist 6912
127
30 Bälle
22
216
128
5 · 10 und 5 · 8, zusammen 90
143
182
87
48
59
200
halbieren und verdoppeln, 90
falsch, richtig ist 1602
30
60
21
60