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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 9 + 2 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 8 = 16
    2. 9 + 16 = 25
    Ergebnis:
    25
  2. ●40
    Rechne: (8 + 8) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 8 = 16
    2. 16 · 7 = 112
    Ergebnis:
    112

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 10 + 6 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 8 = 48
    2. 10 + 48 = 58
    Ergebnis:
    58
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 17 und erhalte 34. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    17

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 15 + 31 + 25
153125
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 15 + 25 + 31
  2. 15 + 25 = 40
  3. 40 + 31 = 71
  1. Vertauschen: 15 + 25 + 31
  2. 15 + 25 = 40
  3. 40 + 31 = 71
Ergebnis:
71

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 13 + 32 + 37
    133237
    So fängst du an:
    Vertauschen: 13 + 37 + 32
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 13 + 37 + 32
    2. 13 + 37 = 50
    3. 50 + 32 = 82
    Ergebnis:
    82
  2. ●2
    Mia rechnet 27 + 31 + 3 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    27313
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 27 + 3 + 31
    2. 27 + 3 = 30
    3. 30 + 31 = 61
    Ergebnis:
    61
  3. ★3
    Rechne geschickt: 24 + 807 + 176
    24807176
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 24 + 176 + 807
    2. 24 + 176 = 200
    3. 200 + 807 = 1007
    Ergebnis:
    1007

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Paul rechnet 99 + 83 als 100 + 83. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
9983
Schritt für Schritt
  1. Paul hat 99 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 100 + 83 = 183.
  3. 1 wieder abziehen: 183 − 1 = 182
  1. Paul hat 99 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 100 + 83 = 183.
  3. 1 wieder abziehen: 183 − 1 = 182
Ergebnis:
182

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 38 + 68 = 40 + ___
    3868
    So fängst du an:
    38 wird zu 40: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
    2. Also muss 68 um 2 kleiner werden: 68 − 2 = 66
    3. 40 + 66 = 106
    Ergebnis:
    66
  2. ●5
    Emma rechnet 98 + 93 als 100 + 93. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
    9893
    Lösung zeigen
    1. Emma hat 98 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 93 = 193.
    3. 2 wieder abziehen: 193 − 2 = 191
    Ergebnis:
    191
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 698 + 558
    698558
    Lösung zeigen
    1. 698 bekommt 2 dazu, 558 gibt 2 ab.
    2. 698 + 558 = 700 + 556
    3. 700 + 556 = 1256
    Ergebnis:
    1256

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 19
Schritt für Schritt
  1. 19 = 20 − 1
  2. 9 · 20 = 180 und 9 · 1 = 9
  3. 180 − 9 = 171
  1. 19 = 20 − 1
  2. 9 · 20 = 180 und 9 · 1 = 9
  3. 180 − 9 = 171
Ergebnis:
171

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 3 Hefte mit je 41 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    3 · 41
    Lösung zeigen
    1. 3 · 41
    2. 41 = 40 + 1
    3. 3 · 40 = 120 und 3 · 1 = 3
    4. 120 + 3 = 123
    Ergebnis:
    123 Hefte
  2. ●8
    Es gibt 6 Hefte mit je 45 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 6 · 45
    2. 45 = 40 + 5
    3. 6 · 40 = 240 und 6 · 5 = 30
    4. 240 + 30 = 270
    Ergebnis:
    270 Hefte
  3. ★9
    Es gibt 9 Hefte mit je 77 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 77
    2. 77 = 70 + 7
    3. 9 · 70 = 630 und 9 · 7 = 63
    4. 630 + 63 = 693
    Ergebnis:
    693 Hefte

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 80 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 80 : 5?
80: 5
Schritt für Schritt
  1. 80 = 50 + 30
  2. 50 : 5 = 10 und 30 : 5 = 6
  3. 10 + 6 = 16
  1. 80 = 50 + 30
  2. 50 : 5 = 10 und 30 : 5 = 6
  3. 10 + 6 = 16
Ergebnis:
16

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 76 : 4
    So fängst du an:
    76 = 40 + 36
    Lösung zeigen
    1. 76 = 40 + 36
    2. 40 : 4 = 10 und 36 : 4 = 9
    3. 10 + 9 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●11
    Zerlege 186 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 186 : 3?
    186: 3
    Lösung zeigen
    1. 186 = 180 + 6
    2. 180 : 3 = 60 und 6 : 3 = 2
    3. 60 + 2 = 62
    Ergebnis:
    62
  3. ★12
    348 Sticker werden gleichmäßig auf 4 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 348 : 4
    2. 348 = 320 + 28
    3. 320 : 4 = 80 und 28 : 4 = 7
    4. 80 + 7 = 87
    Ergebnis:
    87 Sticker

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 87 − 68 = ___ − 78
Schritt für Schritt
  1. 68 wird zu 78: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 87 um 10 größer.
  3. 87 + 10 = 97
  1. 68 wird zu 78: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 87 um 10 größer.
  3. 87 + 10 = 97
Ergebnis:
97

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 24 + 29 = 23 + ___
    So fängst du an:
    24 wird zu 23: 1 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 24 wird zu 23: 1 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 29 um 1 größer.
    3. 29 + 1 = 30
    Ergebnis:
    30
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 46 + 24 = 47 + ___
    Lösung zeigen
    1. 46 wird zu 47: 1 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 24 um 1 kleiner.
    3. 24 − 1 = 23
    Ergebnis:
    23
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 84 + 19 = 83 + ___
    84 + 19=83 + ?
    Lösung zeigen
    1. 84 wird zu 83: 1 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 19 um 1 größer.
    3. 19 + 1 = 20
    Ergebnis:
    20

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 15 = 7 · 30
  3. 7 · 30 = 210
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 15 = 7 · 30
  3. 7 · 30 = 210
Ergebnis:
210

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Aylin verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  2. ●17
    Zeynep verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  3. ★18
    Lina verdoppelt bei 14 · 35 beide Faktoren und rechnet 28 · 70. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 70 = 1960, aber 14 · 35 = 490
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 227 + 497? Nenne ihn. Rechne danach.
227 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
  2. 227 + 497 = 224 + 500
  3. 224 + 500 = 724
  1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
  2. 227 + 497 = 224 + 500
  3. 224 + 500 = 724
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 724

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 142 + 497? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 142 + 497 = 139 + 500
    3. 139 + 500 = 639
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 639
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 6 · 28? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 28 = 20 + 8.
    2. 6 · 20 = 120 und 6 · 8 = 48
    3. Zusammen: 168
    Ergebnis:
    zerlegen, 168
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 132 + 598? Nenne ihn. Rechne danach.
    132 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    2. 132 + 598 = 130 + 600
    3. 130 + 600 = 730
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 730

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Paul rechnet 370 : 5 und erhält 75. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
370 : 5Ergebnis 75?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 75 · 5 = 375
  2. 375 ist nicht 370: Es ist falsch.
  3. 370 : 5 = 74
  1. Umkehraufgabe: 75 · 5 = 375
  2. 375 ist nicht 370: Es ist falsch.
  3. 370 : 5 = 74
Ergebnis:
falsch, richtig ist 74

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Ben rechnet 413 : 7 und erhält 69. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    413 : 7Ergebnis 69?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 69 · 7 = 483
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 69 · 7 = 483
    2. 483 ist nicht 413: Es ist falsch.
    3. 413 : 7 = 59
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 59
  2. ●23
    Paul rechnet 180 : 3 und erhält 61. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    180 : 3Ergebnis 61?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 61 · 3 = 183
    2. 183 ist nicht 180: Es ist falsch.
    3. 180 : 3 = 60
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 60
  3. ★24
    Elias rechnet 7038 − 2700 und erhält 4338. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 4338 + 2700 = 7038
    2. 7038 ist genau 7038: Es stimmt.
    3. 7038 − 2700 = 4338
    Ergebnis:
    stimmt, 4338

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Can rechnet 11 + 83 + 9 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    11839
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 11 + 9 + 83
    2. 11 + 9 = 20
    3. 20 + 83 = 103
    Ergebnis:
    103
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 2 · 13 · 5 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    2135
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 2 · 5 · 13
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 13 = 130
    Ergebnis:
    130
  3. ●27
    Aylin rechnet 49 + 75 als 50 + 75. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
    4975
    Lösung zeigen
    1. Aylin hat 49 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 50 + 75 = 125.
    3. 1 wieder abziehen: 125 − 1 = 124
    Ergebnis:
    124
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 214 − 199
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 1 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 214 − 199 = 215 − 200
    3. 215 − 200 = 15
    Ergebnis:
    15
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 43
    Lösung zeigen
    1. 43 = 40 + 3
    2. 8 · 40 = 320 und 8 · 3 = 24
    3. 320 + 24 = 344
    Ergebnis:
    344
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 6 Reihen mit je 26 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2066
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 6 · 20 = 120
    2. Rechter Teil: 6 · 6 = 36
    3. Zusammen: 120 + 36 = 156
    Ergebnis:
    156 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Emma rechnet 91 + 14 + 9 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    91149
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    114

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 69 + 63
    6963
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    132

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 49
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    343

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 270 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 270 : 6?
    270: 6
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    45

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 22 + 67 = 20 + ___
    22 + 67=20 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    69

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    70

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 20 + 66 + 80? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 166

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Hanna erhält für 59 · 17 das Ergebnis 1203. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1003

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 82
  2. 61
  3. 1007
  4. 66
  5. 191
  6. 1256
  7. 123 Hefte
  8. 270 Hefte
  9. 693 Hefte
  10. 19
  11. 62
  12. 87 Sticker
  13. 30
  14. 23
  15. 20
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 490
  19. gegensinnig verändern, 639
  20. zerlegen, 168
  21. gegensinnig verändern, 730
  22. falsch, richtig ist 59
  23. falsch, richtig ist 60
  24. stimmt, 4338
  25. 103
  26. 130
  27. 124
  28. 15
  29. 344
  30. 156 Kästchen
  31. 114
  32. 132
  33. 343
  34. 45
  35. 69
  36. 70
  37. vertauschen, 166
  38. falsch, richtig ist 1003
  39. 25
  40. 112
  41. 58
  42. 17