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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 46 − 3 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 8 = 24
    2. 46 − 24 = 22
    Ergebnis:
    22
  2. ●40
    Rechne: (7 + 8) · 5
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 7 + 8 = 15
    2. 15 · 5 = 75
    Ergebnis:
    75

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 9 + 8 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 8 · 6 = 48
    2. 9 + 48 = 57
    Ergebnis:
    57
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 24 und erhalte 74. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    50

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Tom rechnet 18 + 48 + 12 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
184812
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 18 + 12 + 48
  2. 18 + 12 = 30
  3. 30 + 48 = 78
  1. Vertauschen: 18 + 12 + 48
  2. 18 + 12 = 30
  3. 30 + 48 = 78
Ergebnis:
78

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Hanna rechnet 17 + 78 + 33 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    177833
    So fängst du an:
    Vertauschen: 17 + 33 + 78
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 17 + 33 + 78
    2. 17 + 33 = 50
    3. 50 + 78 = 128
    Ergebnis:
    128
  2. ●2
    Lina rechnet 12 + 39 + 8 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    12398
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 12 + 8 + 39
    2. 12 + 8 = 20
    3. 20 + 39 = 59
    Ergebnis:
    59
  3. ★3
    Rechne geschickt: 225 + 899 + 32 + 75 + 68
    225899327568
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 225 + 75 + 32 + 68 + 899
    2. 225 + 75 = 300 und 32 + 68 = 100
    3. 300 + 100 + 899 = 1299
    Ergebnis:
    1299

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 299 + 28 = 300 + ___
29928
Schritt für Schritt
  1. 299 wird zu 300: 1 mehr.
  2. Also muss 28 um 1 kleiner werden: 28 − 1 = 27
  3. 300 + 27 = 327
  1. 299 wird zu 300: 1 mehr.
  2. Also muss 28 um 1 kleiner werden: 28 − 1 = 27
  3. 300 + 27 = 327
Ergebnis:
27

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Emma rechnet 97 + 89 als 100 + 89. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
    9789
    So fängst du an:
    Emma hat 97 um 3 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Emma hat 97 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 100 + 89 = 189.
    3. 3 wieder abziehen: 189 − 3 = 186
    Ergebnis:
    186
  2. ●5
    Ben rechnet 97 + 56 als 100 + 56. Was muss Ben danach noch tun? Was kommt heraus?
    9756
    Lösung zeigen
    1. Ben hat 97 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 100 + 56 = 156.
    3. 3 wieder abziehen: 156 − 3 = 153
    Ergebnis:
    153
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 1996 + 325 = 2000 + ___
    1996325
    Lösung zeigen
    1. 1996 wird zu 2000: 4 mehr.
    2. Also muss 325 um 4 kleiner werden: 325 − 4 = 321
    3. 2000 + 321 = 2321
    Ergebnis:
    321

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 9 Reihen mit je 23 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 9 · 23
  2. 23 = 20 + 3
  3. 9 · 20 = 180 und 9 · 3 = 27
  4. 180 + 27 = 207
  1. 9 · 23
  2. 23 = 20 + 3
  3. 9 · 20 = 180 und 9 · 3 = 27
  4. 180 + 27 = 207
Ergebnis:
207 Stühle

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 46
    So fängst du an:
    46 = 40 + 6
    Lösung zeigen
    1. 46 = 40 + 6
    2. 6 · 40 = 240 und 6 · 6 = 36
    3. 240 + 36 = 276
    Ergebnis:
    276
  2. ●8
    Es gibt 9 Reihen mit je 34 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 34
    2. 34 = 30 + 4
    3. 9 · 30 = 270 und 9 · 4 = 36
    4. 270 + 36 = 306
    Ergebnis:
    306 Stühle
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 21
    Lösung zeigen
    1. 21 = 20 + 1
    2. 6 · 20 = 120 und 6 · 1 = 6
    3. 120 + 6 = 126
    Ergebnis:
    126

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 294 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 294 : 6?
294: 6
Schritt für Schritt
  1. 294 = 240 + 54
  2. 240 : 6 = 40 und 54 : 6 = 9
  3. 40 + 9 = 49
  1. 294 = 240 + 54
  2. 240 : 6 = 40 und 54 : 6 = 9
  3. 40 + 9 = 49
Ergebnis:
49

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 144 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 144 : 3?
    144: 3
    So fängst du an:
    144 = 120 + 24
    Lösung zeigen
    1. 144 = 120 + 24
    2. 120 : 3 = 40 und 24 : 3 = 8
    3. 40 + 8 = 48
    Ergebnis:
    48
  2. ●11
    371 Murmeln werden gleichmäßig auf 7 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 371 : 7
    2. 371 = 350 + 21
    3. 350 : 7 = 50 und 21 : 7 = 3
    4. 50 + 3 = 53
    Ergebnis:
    53 Murmeln
  3. ★12
    Zerlege 201 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 201 : 3?
    201: 3
    Lösung zeigen
    1. 201 = 180 + 21
    2. 180 : 3 = 60 und 21 : 3 = 7
    3. 60 + 7 = 67
    Ergebnis:
    67

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 16 · 12 = 8 · ___
16 · 12=8 · ?
Schritt für Schritt
  1. 16 wird halb so groß: 8.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
  3. 12 · 2 = 24
  1. 16 wird halb so groß: 8.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
  3. 12 · 2 = 24
Ergebnis:
24

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 64 + 50 = 63 + ___
    64 + 50=63 + ?
    So fängst du an:
    64 wird zu 63: 1 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 64 wird zu 63: 1 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 50 um 1 größer.
    3. 50 + 1 = 51
    Ergebnis:
    51
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 73 − 13 = ___ − 15
    Lösung zeigen
    1. 13 wird zu 15: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 73 um 2 größer.
    3. 73 + 2 = 75
    Ergebnis:
    75
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 97 − 29 = ___ − 39
    Lösung zeigen
    1. 29 wird zu 39: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 97 um 10 größer.
    3. 97 + 10 = 107
    Ergebnis:
    107

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
Schritt für Schritt
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Mia verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  2. ●17
    Jonas verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  3. ★18
    Noah verdoppelt bei 36 · 5 beide Faktoren und rechnet 72 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 72 · 10 = 720, aber 36 · 5 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 18 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
18 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 90

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 38 + 58 + 62? Nenne ihn. Rechne danach.
    38 + 58 + 62zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 38 + 62 = 100
    3. 100 + 58 = 158
    Ergebnis:
    vertauschen, 158
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 25 + 48 + 75? Nenne ihn. Rechne danach.
    25 + 48 + 75zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 25 + 75 = 100
    3. 100 + 48 = 148
    Ergebnis:
    vertauschen, 148
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 332 + 198? Nenne ihn. Rechne danach.
    332 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 332 + 198 = 330 + 200
    3. 330 + 200 = 530
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 530

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Zeynep rechnet 406 : 7 und erhält 57. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
406 : 7Ergebnis 57?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 57 · 7 = 399
  2. 399 ist nicht 406: Es ist falsch.
  3. 406 : 7 = 58
  1. Umkehraufgabe: 57 · 7 = 399
  2. 399 ist nicht 406: Es ist falsch.
  3. 406 : 7 = 58
Ergebnis:
falsch, richtig ist 58

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Elias rechnet 501 − 358 und erhält 243. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 243 + 358 = 601
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 243 + 358 = 601
    2. 601 ist nicht 501: Es ist falsch.
    3. 501 − 358 = 143
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 143
  2. ●23
    Mia erhält für 46 · 35 das Ergebnis 1810. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 50 · 40 = 2000
    2. 1810 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 46 · 35 = 1610
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1610
  3. ★24
    Zeynep rechnet 1071 : 7 und erhält 153. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    1071 : 7Ergebnis 153?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 153 · 7 = 1071
    2. 1071 ist genau 1071: Es stimmt.
    3. 1071 : 7 = 153
    Ergebnis:
    stimmt, 153

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 9 + 22 + 21 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    92221
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 9 + 21 + 22
    2. 9 + 21 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 22 = 52
    Ergebnis:
    52
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 25 · 3 · 4 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    2534
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 3
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 3 = 300
    Ergebnis:
    300
  3. ●27
    Lina rechnet 38 + 75 als 40 + 75. Was muss Lina danach noch tun? Was kommt heraus?
    3875
    Lösung zeigen
    1. Lina hat 38 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 40 + 75 = 115.
    3. 2 wieder abziehen: 115 − 2 = 113
    Ergebnis:
    113
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 160 − 37 = ___ − 40
    Lösung zeigen
    1. 37 wird zu 40: 3 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 160 um 3 größer: 163.
    3. 163 − 40 = 123
    Ergebnis:
    163
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 3 · 60 = 180 und 3 · 1 = 3
    3. 180 − 3 = 177
    Ergebnis:
    177
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 3 Reihen mit je 13 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1033
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 3 · 10 = 30
    2. Rechter Teil: 3 · 3 = 9
    3. Zusammen: 30 + 9 = 39
    Ergebnis:
    39 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Tom rechnet 37 + 68 + 3 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    37683
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    108

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 198 + 33
    19833
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    231

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 5 Tüten mit je 32 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    160 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 175 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 175 : 5?
    175: 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    35

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 44 + 35 = 34 + ___
    44 + 35=34 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    45

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    80

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 179 + 198? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 377

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Emma erhält für 36 · 36 das Ergebnis 1096. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1296

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 128
  2. 59
  3. 1299
  4. 186
  5. 153
  6. 321
  7. 276
  8. 306 Stühle
  9. 126
  10. 48
  11. 53 Murmeln
  12. 67
  13. 51
  14. 75
  15. 107
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  19. vertauschen, 158
  20. vertauschen, 148
  21. gegensinnig verändern, 530
  22. falsch, richtig ist 143
  23. falsch, richtig ist 1610
  24. stimmt, 153
  25. 52
  26. 300
  27. 113
  28. 163
  29. 177
  30. 39 Kästchen
  31. 108
  32. 231
  33. 160 Bonbons
  34. 35
  35. 45
  36. 80
  37. gegensinnig verändern, 377
  38. falsch, richtig ist 1296
  39. 22
  40. 75
  41. 57
  42. 50